1、长沙市一中2023届高三月考试卷（三）数学时量：120分钟满分：150分一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的共轭复数为（）A. B. C. D. 3. 过点作圆的切线，则切线方程为（）A. B. C. 或D. 或4. 设m，n是空间两条不同直线，是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是（ ）A. 当n时，“n”是“”成立的充要条件B. 当时，“m”是“”的充分不必要条件C. 当时，“n/”是“”必要不充分条件D. 当时，“”是“”的充分不必要条件5. 已知，
2、则的大小关系是（）A. B. CD. 6. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（）A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，点在直线上，且满足.若存在实数使得，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2D. 38. 已知函数，若存在，使，则的最大值为（）A. 0B. C. D. 二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 已知数列满足，则下列结论正确的是（）A. 为等比数列B. 的通项公式为C. 为递减数列D. 前
3、项和10. 已知为第一象限角，为第三象限角，且，则的值可以为（）A. B. C. D. 11. 在椭圆中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家Monge（1746-1818）最先发现.若椭圆，则下列说法正确的有（）A. 椭圆外切矩形面积的最小值为48B. 椭圆外切矩形面积的最大值为48C. 点为蒙日圆上任意一点，点，当取最大值时，D. 若椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线与蒙日圆相交于点，则12. 是定义在上的函数，当，且为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，则（注：为互质的正整数，即为已约分的最简真分数）（）A. B. C. D
4、. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数满足，则函数在处的切线的斜率为_.14. 如图，在直角梯形中，是线段上的动点，则的最小值为_.15. 党的二十大是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程，向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在二十大即将胜利召开之际，某学校组织了喜迎二十大，谱写新篇章的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图1.已知球的表面积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图2，则球心离底面的距离为_.16. 已知抛物线，点，是抛物线上的四个动点，过点作分别作AB，MN
5、的垂线，垂足分别为E，F， ,则点距离的最大值为_.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求；（2）若，D为边上一点，且，求的值.18. 已知数列的首项为正数，其前项和满足（1）求实数的值，使得是等比数列；（2）设，求数列的前项和19. 如图，四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面是边长为2的正三角形，若顶点在底面的射影落在底边上，在上且满足.（1）求证：；（2）求二面角的大小.20. 某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标的
6、数量与连续用药天数具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据，其中表示连续用药天，表示相应的临床疗效评价指标的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标的数量变化明显，随着天数增加，的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：，.（1）求样本的相关系数（精确到；（2）新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为，第2条生产线出现不合格药品的概率为，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.（i）随机抽取一件该企业生产药品，求该药品不合格的概率；（ii）若在抽查中发现3件不合格药品，求其中至少有2件药品来自第1条生产线概率.附：相关系数21. 已知椭圆的离心率，且经过点，点为椭圆C的左、右焦点（1）求椭圆C的方程（2）过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点与直线交于点P若，且点Q满足，求面积的最小值22. 已知函数有两个不同的零点.（1）求实数的取值范围；（2）若方程有两个不同的实数根，证明：.6
