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中考二次函数压轴题解题通法课件.ppt

1、中考二次函数压轴题解题通法中考二次函数压轴题解题通法研究 二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题,同时在省级,国家级数学竞赛中也有二次函数大题,在宜宾市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题,在成都,绵阳,泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题,很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关,学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否,直接关系到未来数学的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专家的必选内容。我通过近年的研究,思考和演算了上1000道二次函数大题,总结出了解决二次函数压轴题的通法,供大家参考。两点间的距离公式 22

2、BABAxxyyAB中点坐标 线段的中点的坐标为:22BABAyyxx,一元二次方程有整数根问题解题步骤如下:用和参数的其他要求确定参数的取值范围 解方程,求出方程的根 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。二次函数与轴的交点为整数点问题 解题步骤如下:用和参数的其他要求确定参数的取值范围 解方程,求出方程的根 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。方程总有固定根问题 可以通过解方程的方法求出该固定根 已知关于的方程(为实数),求证:无论为何值,方程总有一个固定的根。23(1)230mxmxm 解:当0m时,1x当0m时,

3、032 m,mmx213,mx321、12x综上所述无论:m 为何值,方程总有一个固定的根是1。函数过固定点问题举例如下:已知抛物线22mmxxy(是常数),求证:不论为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。m解:把原解析式变形为关于 的方程mxmxy12201 02 2xxy解得:1 1 xy 抛物线总经过一个固定的点(1,1)。(题目要求:关于的方程不论为何值,方程恒成立)小结:关于x的方程bax有无数解0 0 ba路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)(1)如图,直线 ,点 在 上,分别在 、上确定两点 、,使得 之和最小。1l2lA2l1l2lMNMNAM 路径最

4、值问题路径最值问题在平面直角坐标系中求面积的方法 直接用公式、割补法函数的交点问题函数的交点问题方程法(1)设:设主动点的坐标或基本线段的长度(2)表示:用含同一未知数的式子表示其他相关的数量(3)列方程或关系式几何分析法 特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时,利用几何分析法能给解题带来方便。几何分析法几个自定义概念1.求证“两线段相等”的问题、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题5.常数问题6.“在定直线(常为抛物线的对称轴,或

5、x轴或y轴或其它的定直线)上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题8.三角形面积的最大值问题三角形面积的最大值问题9.“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”由于该四边形有三个定点,从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形(连结两个定点,即可得到一个定三角形)的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。10、“定四边形面积的求解”问题 有两种常见解决的方案:方案(一):连接一条对角线,分成两个三角形面积之和;方案(二):

6、过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点,向x轴(或y轴)作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形(常为直角梯形)和一些三角形的面积之和(或差),或几个基本模型的三角形面积的和(差)11.“两个三角形相似”的问题两个定三角形是否相似:已知有一个角相等的情形:运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例?若成比例,则相似;否则不相似。不知道是否有一个角相等的情形:运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例?若成比例,则相似;否则不相似。一个定三角形和动三角形相似:已知有一个角相等的情形:先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来(一母示),然后把两个目标三角形(

7、题中要相似的那两个三角形)中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例(要注意是否有两种情况),列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点。“两个三角形相似”的问题 不知道是否有一个角相等的情形:这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标

8、,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例?若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在。简称“找特角,求(动)点标,再验证”。或称为“一找角,二求标,三验证”。2.、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题 首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。(若某边底,则只有一种情况;若某边为腰,有两种情况;若只说该三点构成等腰三角形,则有三种情况)。先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标(一母示),按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程。解出此方程,即可求出动点的横坐

9、标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点(就是不能构成三角形这个题意)。3、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题 这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标),任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线(显然最多有3条),此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可。3、“某图象上是

10、否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题 进一步有:若是否存在这样的动点构成矩形呢?先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否?若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在。若是否存在这样的动点构成棱形呢?先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否?若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在。若是否存在这样的动点构成正方形呢?先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等?和两条对角线是否相等?若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在。4、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题 先用动点坐标“一母示”的方法设出直接

11、动点坐标,分别表示(如果图形是动图形就只能表示出其面积)或计算(如果图形是定图形就计算出它的具体面积),然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可。(注意去掉不合题意的点),如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可。5、“某图形直线或抛物线上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题6、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题7、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题 题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。18.“在相关函数的解析式

12、已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形(常为动三角形或动四边形)的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题(此为“单动问题”即定解析式和动图形相结合的问题,本类型实际上是前面14的特殊情形。)先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形(有一边在x轴或轴上,或者有一边平行于x轴或y轴)面积的和或差,设出相关点的坐标(一母示),按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可。一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点(动点)标,图形转化(分割),列出面积方程”。19.“在相关函数解析式不确定(系数中还含有某一个参数字母)的情况下,题中又含有动图形(常为动三角形或动四边形)的面积为定常

13、数,求相关点的坐标或参数的值”的问题此为“双动问题”(即动解析式和动图形相结合的问题)。如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割(转化或分割后的图形须为基本模型),设出动点坐标(一母示),利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程(或方程组)。解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标(注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉)。再注意图中另一个点与该点的位置关系(或其它关系,方法是常由已知或利用(2)问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可。如果动图形是基本模型,就无须分割(或转化)了,直接先设出动点坐标(一母式),然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同。一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化(分割),设点标,建方程,再代入,得结论”。常用公式或结论(5)中点坐标公式(7)两直线平行的结论(9)由特殊数据得到或猜想的结论

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