第2章-解析函数-复变函数与积分变换-教学课件.ppt

1、第第2章章 解析函数解析函数2.1 解析函数的概念解析函数的概念2.1.1 复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分n1、复变函数的导数复变函数的导数n定义定义1 设函数 在包含 的某区域 内有定义，当变量 在点 处取得增量 时，相应地，函数 取得增量 若极限 （或 ）（2.1）存在，则称 在点 处可导，)(zf0zDz0zz)(0Dzz)()(00zfzzfw)(zfzzfzzfz)()(lim000000()()limzzf zf zzz)(zf0zn此极限值称为 在点 处的导数，记作 或 ，即 如果函数 在区域 内每一点都可导，则称 在 内可导.)(zf0z)(0zf 0zzdwdz00

2、0()()limzf zzf zz 0()fz0zzdwdz)(zfD)(zfD例例1 求函数 的导数（为正整数）.()nf zzn解解 因为0()()nnkkn knkzzC zznnnnnnnnnnzzCzzCzzCz)()()()(22211所以，由导数定义有()fzzzzzznnzn)(lim)(0)()(lim112110nnnnnnzzCzzCz1nnzn例例2 求 的导数.()f z 2z解解 由例1可知，zdzdfzf2)(例例3 问 是否可导？yixzf2)(解 这里，zzfzzfz)()(lim0yixyixzyixiyyxxzz2lim2)(2)(lim00设 沿着平行于

3、 轴的直线趋向于 ，因而 ，这时极限zzxz0y1lim2lim00 xxyixyixzz设 沿着平行于 轴的直线趋向于 ，因而 ，这时极限zzyz0 x22lim2lim00yyiyixyixzz 所以 的导数不存在.yixzf2)(n2、可导与连续的关系可导与连续的关系n若函数 在点 处可导，则 在点 处必连续.n证证因为 知 ，故 在点 处连续.)(zfw 0z)(zf0z0000)()()(lim)()(lim00zzzfzfzzzfzfzzzz000)()(lim)(lim00zzzfzfzzzzzz0)(00zf)()(lim00zfzfzz)(zf0zn反之，函数 在 连续却未必

4、在 可导，例如，例3中的函数 在复平面内处处连续却处处不可导.n3、复变函数的微分复变函数的微分n定义定义2 称函数 的改变量 的线性部分 为函数 在点 处的微分，记作 或 ，即)(zf0z0zyixzf2)()(zfw0()fzz)(zf0z0z zdw0z zdf(z)0()fzz0z zdwn2.1.4 导数运算法则导数运算法则n复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）：（1）其中 为复常数；（2）其中 为正整数；（3）；,0)(CC,1nnnzz）（n)()()()(zgzfzgzf)()()()()()(zgzfzgzfzgzf)0)()()()()()()()(2zgzgzg

5、zfzgzfzgzf （4）（5）；（6）；（7）是两个互为反函数的单值函数，且 .)(),()()(zwzwfzf其中1()()()()fzwf zzww，其中和0w（）.n例例3 求下列函数的导数.（1）（2）52)2()(izzf)0()1()(242zzzzf解解（1）()fz4242)2(204)2(5izzziz（2）2332444(1)22(1)()zzzzfzz2 3232(1)(31)zzz例例4 设()f z)(,)42(22ifzz求解解 因为()fz)22()42(22zzz所以2)(24)(2)(2)(2iiiif)1)(23(4iii204n2.2 解析函数解析函数

6、n2.2.1解析函数的定义及其性质解析函数的定义及其性质n1.解析函数的定义解析函数的定义n定义定义3 如果函数 不仅在点 处可导，而且在点 的某邻域内的每一点都可导，则称 在点 处解析，并称点 是函数的解析点；如果函数 在区域 内每一点都解析，则称 在区域 内解析或称 为区域 内的解析函数，区域 称为 的解析区域.0z)(zfD0z)(zf0z0z)(zf)(zfD)(zfDD)(zf如果 在点 处不解析，,则称 为 的奇点.)(zf0z0z)(zfn例例1 讨论函数 的解析性.2)(zzf解解 由例2知，在整个复平面内处处可导且 ，则由函数在某区域内解析的定义可知，函数 在整个复平面上解析

7、.2)(zzfzzf2)(2)(zzfn2.解析函数的运算性质：解析函数的运算性质：（1）若函数 和 在区域 内解析，则 、在 内也解析；（2）若函数 在区域 内解析，而 在区域 内解析，且 ，则复合函数 在 内也解析，且.)(zf()g zD()f z()g z()()f zg z()()0)()f zg zg zD)(hfw G()hg z()g DG()wf g zD()()()df g zdf hdg zdzdhdz.Dn2.2.2函数解析的充要条件函数解析的充要条件n定理定理 设函数 在区域 内有定义，则 在 内可导的充分必要条件为 在 内任一点 处 （1）可微；（2）满足n上式称为

8、柯西黎曼（Cauchy-Riemann）条件（或方程），简称CR条件（或方程）.),(),()(yxivyxuzfD)(zf,u vzxiyDD,uvxyxvyun定理定理 函数 在区域 内解析的充要条件为n（1）在 内连续；n（2）在 内满足CR条件，),(),()(yxivyxuzfD,uuvvxyxyD,u v,uvxyxvyuDn例例2 讨论函数 的可导性，并求其导数.2()f zz解解 由2()f zz222()2xiyxyi xy得22(,),(,)2u x yxyv x yxy则2,2,2,2uuvvxyyxxyxy 显然，在复平面内 和 的偏导数处处连续，(,)u x y(,)

9、v x y且2,2uvuvxyxyyx 即 和处处满足CR条件且处处可微，所以，在复平面内处处可导且(,)u x y(,)v x y2()f zzzxvixuzf2)(n例例3 讨论函数 的可导性.()Ref zzz解解 因为2()()f zxiy xxixy得2(,),(,)u x yxv x yxy2,0,uuvvxyxxyxy显然，、处处具有一阶连续偏导数，但仅当 时，、满足CR条件.因此，仅在点 处可导.(,)u x y(,)v x y0,0 xy(,)u x y(,)v x y)(zf0z n例例4 证明 在复平面上不可微.()f zz证证 由于 ，于是，()f zxiy(,),(,

10、)u x yx v x yy 从而1,1uvxy 显然，对复平面上任意一点 ，都不满足CR条件，所以 在整个复平面上不可微.(,)x y)(zf()f zz例例5 讨论下列函数的解析性.（1）；（2）；（3）.)2()1(2)(22yyxiyxzfzzf)()Re()(zzzf 解解（1）设yyxvyxu2),1(2222(1),uvyxyxvxyu2因为且这四个偏导数处处连续，故)2()1(2)(22yyxiyxzf在复平面上处处解析.（2）因为 ，iyxzzf)(设 ，而yvxu,1,ux1yv所以 在复平面上处处不解析zzf)(（3）因为ixyxxiyxzzzf2)()Re()(设 ，x

11、yvxu,2由于2,uvxxxyyxvyu,0n 这四个偏导数虽然处处连续，但CR条 件仅在原点处成立，因而函数 在复平面内的原点处可导，其它点不可导，可知该函数在复平面上处处不解析.)Re()(zzzfn2.3 初等函数初等函数n2.3.1 指数函数指数函数n定义定义4 复变量的指数函数定义为n指数函数的一些重要性质：n（1）指数函数 在整个 的有限平面内都有定义，且处处不为零.n（2）n（3）指数函数是以 为周期的周期函数n（4）指数函数在整个复平面上解析，且有 (cossin)zx iyxeeeyiyzeZ2121zzzzeeei2()zzee zen（5）；n（6）因 ，从而n（7）虽

12、然在 平面上，但n ，即不满足罗尔定理。n（8）n例例 2.3.1 证明：对任意的复数 ，若 ，则必有 。yeeeZxzarg,0|10eeezz2121;1zzzzzzeeeeez为整数）keeikzz(20)(zzee),2,1,0(22121kikzzeezzzzzee),1,0(2kikn2.3.2 对数函数对数函数n定义定义5 对数函数定义为指数函数的反函数.若 ，则称 是 的对数函数，记作 n令 ，则有 n显然，对数函数是一个多值函数，每一个 对应着多个 的值.n若令 ，则上式中的多值函数便成为了单值函数，则称这个单值函数为多值函数 的主值，记作 ，即(0,)wzezwzLnwzz

13、Ln z0kLn zzlnzizzarglnlnLnln2zzki),2,1,0(k ivu irez)2(|lnkizLnz例例1 求ln(1),Ln(1),lnLnii和解解 因为 的模为 ，其辐角的主值为 ，11所以ln(1)ln1ii而Ln(1)2(21)(0,1,2,)ik iki k 又因为 的模为 ，而其辐角的主值为 ，i12所以lnln1,22iii1Ln2(2)22iikiki),2,1,0(kn复变量对数函数具有与实变量对数函数类似的基本性质：（1）（2）（3）（4）；但是，一般不再成立.xzxzlnln0时，0 Lnln(21)zxxxi k，),2,1,0(kLn,Ln

14、2zzezezki),2,1,0(k1 212Ln()LnLnz zzz1122Ln()LnLnzzzz LnznzLnnLnzLnznn1 ,n（5）对数函数的解析性）对数函数的解析性n 可以证明 在除去原点与负实轴的 平面内解析，所以 的各个分支也在除去原点与负实轴的 平面内解析（因 的每一个单值连续分支与 只相差一个复常数,且 ln zZLnzzdzzd1lnZLnzln zn2.3.3 幂函数幂函数n定义定义6 设 为任意复常数，定义一般幂函数为n它是指数函数与对数函数的复合函数，是多值函数(因 是多值的).n幂函数的几种特殊情形：n（1）当 为整数时，是与 无关的单值函数（为正整数）

15、时，n 为 的 次乘方，当 （为正整数）时，）；Ln z21ike lnzwzeknnnzzf)(zn1()nnf zzzz）；n n)0(,)2(|lnzeezkizLnz（2）为有理数 时（为既约分数，），n n 只有 个不同的值，即当 取 时的对应值，n因此，mn0n Ln(ln2)mmmzz i knnnzzee1ln2ln2()mmmzikzi kmnnnneeee12()i kmnenk0,1,2,1n1ln2()(0,1,2,1)mmnnnzi kmwzeekn.n（3）当 为无理数或复数时，有无穷多个值.n此时的 与根式函数 的区别是：是无穷多值函数，而 是 值函数.n幂函数

16、的解析性：n（1）当 （为正整数）时，在整个复平面内单值解析，且 zznz1nznz1znnnz1()nnznz；n（2）当 （为正整数）时，在除原点的复平面内解析，且n（3）当 （为整数）、无理数或复数时，由于对数函数 的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析，因而 的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内也是解析的，且n nnnzz11()nnznz mn,m nLn z.1)(zzzn例例2 求 .2(1)n解解 2(1)2Ln(1)2(21)kiee22 2(0,1,2,)ik ieek n例例3 求 .ii解解(ln12)Ln2iii kiiiiee1(2)2(0,1,2,)kek

17、n例例4 求 .23i解解222Ln(2)333 2ikiiee44cos()sin(),0,1,23333kikk所以 的三个值分别为23i1313,12222iin2.3.4 三角函数三角函数n定义定义7 设 为任一复变量，称n与 分别为复变量 的正弦函n数与余弦函数，分别记为 与 ，即n正弦函数与余弦函数的性质：n（1）与 都是以 为周期的周期函数，即n z)(21)(izizeeizfzsinzcosz2sin(2)sin,zzcos(2)coszz=，zsinzcos)(21)(izizeezg)(21cos),(21sinizizizizeezeeizn（2）为奇函数，为偶函数，即

18、对任意的 有n（3）实变函数中的三角恒等式，在复变函数 中依然成立，如zsinzcoszsin()sin,zzcos()coszzsin()cos,2zz22sincos1zz212121sincoscossin)sin(zzzzzz212121sinsincoscos)cos(zzzzzz n（4）在复数范围内不再成立.如：取 ，则有n可见，当 无限增大时，趋于无穷 大.n（5）的零点（即 的根）为n 的零点为yzcos1|cos|,1|sin|zz|2|2|)cos(|)()(yyiyiiyieeeeiyiyz zsin0sinz),2,1,0(nnzzcos),2,1,0(,)21(nn

19、zn（6），在复平面内均为解析函数，且n其它四个三角函数，利用 和 来定义 zsinzcos(sin)cos,zz(cos)sinzz zsinzcossincostan,cot,cossinzzzzzz11sec,csc.cossinzzzz例例5 求 .cos,sin(12)iin解解 根据定义，有1cos22i ii ieeeei(1 2)(1 2)sin(12)2iiiieei22(cos1sin1)(cos1sin1)2eieii2222sin1cos122eeeein2.3.5 反三角函数反三角函数n定义定义8 如果 ，则称 分别为 的反正弦、反余弦、反正切函数，分别记为n反三角函

20、数与对数函数之间的关系：（1）（2）（3）wzwzwztan,cos,sinwzArcsin,Arccos,Arctanwzwzwz2ArcsinLn(1)ziizz 2ArccosLn(1)zizz 1ArctanLn21iizziz n2.3.6 双曲函数双曲函数n定义定义n ，n分别称为双曲余弦、正弦和正切函数分别称为双曲余弦、正弦和正切函数.n显然，显然，和和 都是以都是以 为周期的周期为周期的周期函数函数.n 为偶函数，为偶函数，为奇函数为奇函数.而且它们都是而且它们都是复平面内的解析函数，导数分别为：复平面内的解析函数，导数分别为：2zzeechz2zzeeshzzzzzeeeethzchzshzi2chzshzchzshzshzchz)(,)(n2.3.7 反双曲函数反双曲函数n反双曲函数定义为双曲函数的反函数.n反双曲正弦：n反双曲余弦：n反双曲正切：)1(2zzLnArshz)1(2zzLnArchzzzLnArthz1121