2020届北京石景山区高三数学一模试卷含答案.doc

1、高三数学试题第 1 页（共 14 页） 2020 年年石景山区石景山区高高三三统一测试统一测试 数数 学学 本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟请务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡 第一部分第一部分（选择题 （选择题 共共 40 分）分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1. 设集合4321，P，, 3|RxxxQ，则QP等于 A. 1 B. 1,23， C. 34， D. 3, 2,

2、1,0,1,2,3 2. 在复平面内，复数5+6i, 3-2i对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是 A. 8+4i B. 2+8i C. 4+2i D. 1+4i 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间0,上单调递减的是 A. 2 2yx B. 2 x y C. lnyx D. 1 y x 4. 圆 22 28130xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则a A. 4 3 B. 3 4 C. 3 D. 2 5. 将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36 B. 64 C. 72 D. 81

3、6. 如图，网格纸的小正方形的边长是 1， 粗线表示一正方体被某平面截得的几 何体的三视图，则该几何体的体积为 高三数学试题第 2 页（共 14 页） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 7. 函数 cos 6 f xx （0）的最小正周期为，则 f x满足 A. 在0, 3 上单调递增 B. 图象关于直线 6 x 对称 C. 3 32 f D. 当 5 12 x 时有最小值1 8. 设 n a是等差数列，其前n项和为 n S. 则“ 132 +2SSS”是“ n a为递增数列”的 A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设( )

4、f x是定义在R上的函数，若存在两个不等实数 12 ,x x R，使得 1212 ( )() () 22 xxf xf x f ，则称函数( )f x具有性质P，那么下列函数： 1 0 ( ) 00 x f xx x ； 2 ( )f xx ； 2 ( ) |1|f xx； 具有性质P的函数的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 点MN，分别是棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D中棱 1 ,BC CC的中点，动点 P在正方形 11 BCC B（包括边界）内运动.若 1 PA面AMN，则 1 PA的长度范围是 A. 2, 5 B. 3 2 , 5 2 C. 3 2 ,

5、3 2 D.2,3 D1C1 B1 A1 N M C D AB P 高三数学试题第 3 页（共 14 页） 第二部分第二部分（非选择题共（非选择题共 110110 分）分） 二、填空题共二、填空题共 5 小题小题，每，每小题小题 5 分，共分，共 25 分分 11. 已知向量 13 ( ,) 22 BA uuv ， 3 1 (, ) 22 BC uuu v ，则ABC_ 12. 已知各项为正数的等比数列 n a中， 1 1a ，其前n项和为* n SnN，且 123 112 aaa ，则 4 S _ 13. 能够说明“设, a b是任意非零实数，若“ab，则 11 ab ”是假命题的一组 整数

6、, a b的值依次为_ 14. 已知F是抛物线C: 2 4yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于 点N若M为FN的中点，则 FN _ 15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由 13 名一线中小学教师 组成的支教团队， 记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况， 此队员 回答：有中学高级教师；中学教师不多于小学教师；小学高级教师少于中 学中级教师； 小学中级教师少于小学高级教师； 支教队伍的职称只有小学中 级、小学高级、中学中级、中学高级；无论是否把我计算在内，以上条件都成 立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_、_ 高三数学试题第 4 页（共 14 页

7、） 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题 14 分） 如图，在正四棱锥PABCD中，2 2ABPB，ACBDO （）求证：BO面PAC； （）求二面角A PCB的余弦值 17.（本小题 14 分） 2020 年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科 目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考 科目若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确 定；否则，称该学生选考方案待确定例如，学生甲选择

8、“物理、化学和生物”三个选考 科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案 某校为了解高一年级 840 名学生选考科目的意向，随机选取 60 名学生进行了一次调 查，统计选考科目人数如下表： 性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案确定的有 16人 16 16 8 4 2 2 选考方案待确定的有 12 人 8 6 0 2 0 0 女生 选考方案确定的有 20人 6 10 20 16 2 6 选考方案待确定的有 12 人 2 8 10 0 0 2 ()估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ ()从选考方案确定的 16 名

9、男生中随机选出 2 名，求恰好有一人选“物理、化学、生物” 的概率； （）从选考方案确定的 16 名男生中随机选出 2 名， 设随机变量 两名男生选考方案相同 两名男生选考方案不同 1 0 ，求的分布列和期望. O P C D AB 高三数学试题第 5 页（共 14 页） 18.（本小题 14 分） 已知锐角ABC，同时满足下列四个条件中的三个： 3 A p = 13a= 15c= 1 sin 3 C = ()请指出这三个条件，并说明理由； ()求ABC的面积. 19.（本小题 15 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为(1,0)F，离心率为 2 2 . 直线

10、l过点 F且不平行于坐标轴，l与C有两个交点,A B，线段AB的中点为M. （）求椭圆C的方程； （）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （） 延长线段OM与椭圆C交于点P， 若四边形OAPB为平行四边形， 求此时直线l的 斜率 20. （本小题 14 分） 已知函数 2 ( )(0), ( )ln (0)f xxxg xax a （）若( )( )f xg x恒成立，求实数a的取值范围； （）当1a 时，过( )f x上一点1 1（ ，）作( )g x的切线，判断：可以作出多少条切线，并 说明理由 高三数学试题第 6 页（共 14 页） 21.（本小题 14 分） 有限个元素组成的

11、集合, 21n aaaA， * Nn，记集合A中的元素个数为 ( )card A，即( )card An.定义|,AAxy xA yA，集合A A中的元素个数 记为( + )card A A,当 (1) ( + )= 2 n n card A A 时，称集合A具有性质P. ()7 , 4 , 1A，8 , 4 , 2B，判断集合BA,是否具有性质P，并说明理由； （）设集合2020, 321 aaaA ，2020 321 aaa且)3 , 2 , 1( * iNai，若集 合A具有性质P，求 321 aaa的最大值； （）设集合, 21n aaaA，其中数列 n a为等比数列，), 2 , 1

12、(0niai且公 比为有理数，判断集合集合A是否具有性质P并说明理由. 高三数学试题第 7 页（共 14 页） 2020 年年石景山区石景山区高高三三统一测试统一测试 数学试数学试卷答案卷答案及评分参考及评分参考 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A A B D C C B 二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11 6 ； 1215； 13 21，-；答案不唯一 143； 15. 小学中

13、级 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 个小题，共个小题，共 85 分分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步解答题应写出文字说明，证明过程或演算步 骤骤 16 （本小题 14 分） （）证明：联结PO 在正四棱锥PABCD中， PO底面ABCD 因为BO平面ABCD， 所以POBO 3 分 在正方形ABCD中，BOAC ， 又因为POACO， 所以BO面PAC 6 分 （）解：由（）知，PO，AO，BO两两垂直， 以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 . 7 分 在正方形ABCD中，因为2 2AB ， 所以2AO 又因为2 2PB ， 所以2PO z y x O P C D A

14、B 高三数学试题第 8 页（共 14 页） 所以点P的坐标为(0, 0, 2)P，点C的坐标为(2,0,0)C ， 点B的坐标为(0, 2, 0)B 8 分 则(2, 0,2)PC ，(2, 2,0)CB 9 分 由（）知，BO平面PAC 所以平面PAC的一个法向量为 1 (0,2,0)nOB 10 分 设平面PBC的一个法向量 2 ( , )nx y z 则 2 2 0, 0, n PC n CB 即 220, 220. xz xy 令1y ，则1x，1z 故平面PBC的一个法向量 2 ( 1,1,1)n 13 分 12 12 12 3 cos, 3| nn n n nn 所以二面角A PC

15、B的余弦值为 3 3 14 分 17.（本小题 14 分） 解：()由数据知，60 人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有 8+20=28 人 1 分 所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 392 60 28 840人 4 分 ()选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有 8 人。 5 分 设“恰好有一人选物理、化学、生物”为事件 A 6 分 15 8 )( 2 16 1 8 1 8 C CC Ap 8 分 高三数学试题第 9 页（共 14 页） （）由数据可知，选考方案确定的男生中有 8人选择物理、化学和生物；有 4人选择物 理、化学和历史；有 2 人选择物理、化学

16、和地理；有 2 人选择物理、化学和政 治. 9 分 的可能取值为10，. 10 7 )0( 2 16 1 2 1 2 1 4 1 4 1 8 1 8 C CCCCCC P 10 3 ) 1( 2 16 2 2 2 2 2 4 2 8 C CCCC P 12 分 所以的分布列为： 0 1 P 10 7 10 3 10 3 10 3 1 10 7 0E 14 分 18. （本小题 14 分） 解： （）ABC同时满足， 3 分 理由如下： 若ABC同时满足，则在锐角ABC中， 11 sin 32 C ，所以0 6 C 又因为 3 A ,所以A+ 32 C 所以 2 B ,这与ABC是锐角三角形矛盾

17、， 高三数学试题第 10 页（共 14 页） 所以ABC不能同时满足, ， 6 分 所以ABC同时满足， . 7 分 因为ca 所以C A 若满足 则 6 AC , 则 2 B ,这与ABC是锐角三角形矛盾 故ABC不满足. 9 分 故ABC满足， （）因为 222 2cosabcbcA， 10 分 所以 222 1 1315215 2 bb 解得 8b 或7b 12 分 当7b 时， 222 71315 cos0 2 7 13 C 所以C为钝角，与题意不符合，所以 8b 13 分 所以ABC的面积 1 sin30 3 2 SbcA 14 分 19. （本小题 15 分） 解： （）由已知1c

18、 ， 2 2 c e a ， 2 分 又 222 abc，解得2,1ab 4 分 所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y. 5 分 （）设直线l的方程为(1)(0)yk xk 联立 2 2 (1)( 1 2 0)ykk x x y 消去y得 2222 (21)4220kxk xk，不妨设 1122 ( ,), (,)A x yB xy 7 分 高三数学试题第 11 页（共 14 页） 则 2 12 2 4 21 k xx k ，因为M为线段AB的中点 所以 2 12 2 2 221 M xxk x k ， 2 (1) 21 MM k yk x k 8 分 所以 1 2 M OM M y k x

19、k 9 分 所以 11 22 OMl kkk k 为定值. 10 分 （）若四边形OAPB为平行四边形,则OA OB OP 12 分 所以 2 12 2 4 21 P k xxx k 121212 2 2 (1)(1)(2 ) 21 P k yyyk xk xk xx k 13 分 因为点P在椭圆上，所以 2 22 22 42 ()2 ()2 2121 kk kk 14 分 解得 2 1 2 k 即 2 2 k 所以当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为 2 2 k . 15 分 20.（本小题 14 分） .解： （）令 2 (= ( )( )ln(0)h xf xg xxax x）

20、 1 分 所以 22 2 ( )=2 axa h xx xx 高三数学试题第 12 页（共 14 页） 令 22 2 ( )=0 xa h x x ，解得 2 a x . 3 分 当x变化时，( ), ( )h x h x的变化情况如下表： x (0,) 2 a 2 a (,) 2 a ( )h x 0 + ( )h x 减 极小值 增 5 分 所以在(0, )的最小值为 ()lnln 222222 aaaaaa ha 6 分 令 ( )0 2 a h 解得02ae. 所以当02ae时， ( )0h x 恒成立，即( )( )f xg x恒成立. 7 分 （）可作出 2 条切线. 8 分 理由

21、如下：当1a 时，( )lng xx. 设过点1 1（ ，）的直线l与( )lng xx相切于点 00 (,)P x y， 9 分 则 0 0 0 1 () 1 y g x x 即 0 00 ln11 1 x xx 整理得 000 ln210xxx 10 分 令( )ln21m xxxx，则( )m x在(0,)上的零点个数与切点P的个数一一对应. ( )ln1m xx，令( )ln10m xx 解得xe . 11 分 高三数学试题第 13 页（共 14 页） 当x变化时， ( ),( )m x m x 的变化情况如下表： x (0, ) e e ( ,)e ( )m x 0 + ( )m x

22、 减 极小值 增 所以 ( )m x在(0, ) e上单调递减，在( , )e 上单调递增. 且 22222 11124 ()ln110m eeeee ( )l n2110m eeeee 2222 ()ln21 10m eeee 13 分 所以 ( )m x在 2 1 (, ) e e 和 2 ( ,)e e上各有一个零点，即ln210xxx 有两个不同的解. 所以 过点1 1（ ，）可作出lnyx的 2 条切线. 14 分 21.（本小题 14 分） 解：()集合A不具有性质P，集合B具有性质P. 14,11, 8 , 5 , 2 AA, 3(3 1) ( + )=5 2 card A A

23、不具有性质P; 16,12,10, 8 , 6 , 4 BB, 3(3 1) ( + )=6 2 card B B ,具有性质P. 3 分 （）若三个数cba,成等差数列，则,cbaA 不具有性质P，理由是bca2. 因为2020 321 aaa且)3 , 2 , 1( * iNai所以2019 3 a， 要使 321 aaa取最大，则2019 3 a； 2018 2 a，易知,20202018,2019不具有性质P，要使 321 aaa取最大， 则2017 2 a； 2016 1 a，要使 321 aaa取最大，检验可得2013 1 a； 6049)max 321 aaa（ 8 分 高三数学

24、试题第 14 页（共 14 页） （）集合A具有性质P. 设等比数列的公比为为q，所以)0 1 1 1 aqaa n n （且q为有理数， 假设当jlki时有 lkji aaaa 成立，则有 1 ilikij qqq 10 分 因为q为有理数，设),( * Nnm n m q且（ nm, 互质） ，因此有 1)()() ilikij n m n m n m （即 ijljilkjikij nnmnmm （1） ， （1）式左边是m的倍数，右边是n的倍数，又 nm, 互质， 显然 lkji aaaa 不成立. 12 分 所以 2 ) 1( )( 21 nn CCAAcard nn ，所以集合A具有性质P. 14 分 【若有不同解法，请酌情给分】【若有不同解法，请酌情给分】