1、2.2 n 阶行列式的展开公式阶行列式的展开公式 式式一、余子式和代数余子一、余子式和代数余子 的展开法则的展开法则二、行列式按行（列）二、行列式按行（列） 三、小节、思考题三、小节、思考题 一、余子式与代数余子式 1定义定义 阶行列式阶行列式对对 n nnnjn iniji nj aaa aaa aaa 1 1 1111 在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 n ij a ij 1 n ij a .M ij ， ij ji ij MA 1记记叫做元素叫做
2、元素 的的代数余子式代数余子式 ij a 例如对例如对 , 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D 444241 343231 141211 23 aaa aaa aaa M 23 32 23 1MA , 23 M . 23的代数余子式 的代数余子式叫做元素叫做元素a 注意：注意： 只与该元素所处位置只与该元素所处位置一个元素的代数余子式一个元素的代数余子式 多少无关！多少无关！相关；而与该元素等于相关；而与该元素等于 , 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aa
3、aa aaaa D , 444341 343331 242321 12 aaa aaa aaa M 12 21 12 1MA . 12 M , 333231 232221 131211 44 aaa aaa aaa M .1 4444 44 44 MMA .个代数余子式个代数余子式 对应着一个余子式和一对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别行列式的每个元素分别 ,312213332112322311 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 3223332211 aaaaa 33213123
4、12 aaaaa 3122322113 aaaaa 3331 2321 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa a 行列式，有行列式，有按照这个定义，对三阶按照这个定义，对三阶 131312121111 MaMaMa 131312121111 AaAaAa 上式推广后即得上式推广后即得 定理定理1 1 n n 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即 n k ikikininiiii AaAaAaAa 1 2211 ni, 2 , 1 二、
5、行列式按行（列）展开法则 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 列展开：列展开：阶行列式也可以按第阶行列式也可以按第事实上，事实上，in n21j, nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 n k kjkjnjnjjjjj AaAaAaAa 1 2211 例例 1 计算行列式计算行列式 277 010 353 D 解解 27 01 )1(3 11 D .272106 按第一行展开，得按第一行展开，得 27 00 )1()5( 21 77 10 )1(3 31 注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得注意到第二行零元素较多
6、，按第二行展开，得 23 22 21 0 27 33 )1)(1(0AAD .270270 05320 00140 00320 25271 02135 D例例2 计算行列式计算行列式 解解 05320 00140 00320 25271 02135 D 5320 0140 0320 2135 12 52 14 32 5)10( .700)122(50 532 014 032 5)2( 5320 0140 0320 2135 12 52 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列 式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 三、小结 n k ikikininiiii AaAaAaAaD 1 2211 . 2 n21ji, n k kjkjnjnjjjjj AaAaAaAa 1 2211 的行、列！的行、列！ 建议挑选含零最多建议挑选含零最多在按行、按列展开时，在按行、按列展开时，. 3
