大学精品课件：第2章 平面问题（1-5）.ppt

1、物理方程（广义胡克定律物理方程（广义胡克定律- -应力应力- -应变关系应变关系) ) )( 1 )( 1 )( 1 yxzz xzyy zyxx E E E xyxy zxzx yzyz E E E )1 (2 )1 (2 )1 (2 C zx yz xy z y x zx yz xy z y x E )1 ( 2 )1 ( 2 )1 ( 2 1 1 1 1 用矢量表示的物理方程 第二章 平面问题的基本理论 一一. . 平面应力问题平面应力问题 y x y Z t/2 例如：简化为图示等例如：简化为图示等 厚度板受载情况厚度板受载情况-平平 行于板面且沿板厚均行于板面且沿板厚均 匀分布匀分布

2、 前后板面没有前后板面没有 载荷；此种情况即属载荷；此种情况即属 平面应力问题。平面应力问题。 2 21 1 平面应力与平面应变问题平面应力与平面应变问题 例：薄板厚度为例：薄板厚度为t, t, 板面上（板面上（z=z= t/2t/2）不受力，所以：）不受力，所以： 根据剪应力互等定理可知根据剪应力互等定理可知 0)( , 0)( , 0)( 222 t z zy t z zx t z z 0, 0, 0 zyzxz , 0, 0 yzxz 由于板很薄由于板很薄, ,外力又不沿厚度变化外力又不沿厚度变化, ,应力沿板的应力沿板的 厚度厚度是连续分布的是连续分布的, ,因此因此, ,可以认为可以

3、认为所有各点都有所有各点都有: : x y z y t/2 t/2 2.2.平面应力问题平面应力问题 只有平行于只有平行于x x、y y面的三个应力分量，即：面的三个应力分量，即： 此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图 ；、 yxxyyx xy xy yx yx xx y y y x xy yx 二二. . 平面应变问题平面应变问题 平面应变问题的定义： 1、仅x，y平面内的应变非零 2、应变仅是x,y的函数。 0 ),( );,( );,( z xyxy yy xx yx yx yx 二二. . 平面应变问题平面应变问题 简化为等长度很长的

4、截面柱体, 载荷垂直于长度方 向，且沿长度方向不变作为无限长柱体看待。 y x xy xz yx yz z zx zy x yy z 1. 1. 例例: : 水坝、隧洞等水坝、隧洞等 y x xy yx z z 平面应变问题的特征平面应变问题的特征位移分量位移分量 ),(),( )(00 yxvvyxuu z w w zz 且 对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对称截 面，而对称截面上的各点是不能产生沿Z向的位移 的，因此,对任一截面都应有： 特点：所有的应变与位移都发生xy面内， 平面应变平面应变- -独立的应力分量只有三个独立的应力分量只有三个 );,( );,( );,( yx yx

5、 yx yxxy yy xx 0, zyxxyyx 比较应变分量： )( 0)( 1 yxz yxz z E 这个应力分 量不独 立 平面问题的条件和结果 可以导致平面问题的物理条件原因 z方向无外力 z方向无约束 x,y方向的外力在z方向上无变化(均匀) 几何形状在z方向上无变化 平面问题的充要条件对结果数学描述 某问题为平面应力(应变)问题当且仅当 1、仅x，y平面内的应力(应变)非零 2、这些平面应力(应变)仅是x,y的函数。 平面问题列表比较 物理方程物理方程(应力应力-应变关系应变关系)： )( 1 )( 1 )( 1 yxzz xzyy zyxx E E E xyxy zxzx y

6、zyz E E E )1 (2 )1 (2 )1 (2 C（7-12A） 平面应变问题： 000w zyzxz )( 1 1 yxz xyy yxx E E 00, )1 (2 zxyzxyxy E 物理方程（物理方程（应力应力-应变关系应变关系) ： )( 1 )( 1 )( 1 yxzz xzyy zyxx E E E xyxy zxzx yzyz E E E )1 (2 )1 (2 )1 (2 C（7-12A） 平面应力问题： 000w zyzxz )( 1 1 yxz xyy yxx E E 00, )1 (2 zxyzxyxy E 2 22 2平衡微分方程平衡微分方程 一一. .平面

7、应力问题平衡方程平面应力问题平衡方程 取单元体尺寸取单元体尺寸dxdx, ,dydy, ,单位厚度单位厚度1 1，体积力，体积力f fx x、f fy y。 (1)由于应力分量是点的位 置坐标的函数，因此，在单 元体两个对应平面上,应力 相差一个微量。 (2)由于单元体是微小的， 故它的各面上所受应力可认 为是均匀分布的，体力也是 均匀分布的。 y yx x xy dy y y y dx x xy xy dy y yx yx dx x x x x y x f y f C 二元函数的 Taylor展开式 y y x x yxyyxx ),(),( 2.2.静力平衡条件：静力平衡条件： 剪应力互等

8、：上式即为材料力学中的剪应力互等剪应力互等：上式即为材料力学中的剪应力互等 定理定理( (正负号有差别正负号有差别) ) 0 22 )( 22 )( dy dx dy dxdy y dx dy dx dydx x yx yx yx xy xy xy 化简dy y dx x yx yx xy xy 2 1 : ) 12(, yxxy 即可得 略去高阶微量 0 MC (1)(1)对单元体形心取矩平衡对单元体形心取矩平衡, , y yx x xy dy y y y dx x xy xy dy y yx yx dx x x x x y x f y f C （3 3）平衡方程）平衡方程: : :0)2(

9、 x F ) 22 ( 化简得0: x yx x f yx 同理由00 y yxy y f yx F 0)( )( dxdyfdxdxdy y dydydx x xyx yx yx x x x y yx x xy dy y y y dx x xy xy dy y yx yx dx x x x x y x f y f C 含有三个未知量的 两个偏微分方程 :0) 1 ( x F 0 x yx x f yx y yx x xy dy y y y dx x xy xy dy y yx yx dx x x x x y x f y f C 平衡微分方程推导过程概要平衡微分方程推导过程概要 0)3( MC

10、 yxxy 注1、忽略高阶微量(小变形假设) 注2、采用变形前的尺寸(小变形假设) 应力体力的关系偏微分方程应力体力的关系偏微分方程(3个未知量个未知量) 0 y yxy f yx :0)2( x F 由于在、面内的受力平衡(同平面应力问题 的情况完全相同)，故平衡方程(-）同样适用 于平面应变问题。 平面应变问题在z方向上有正应力，但它们不随z的变 化而变化，所以能保持自平衡。 0 x yx x f yx 0 y yxy f yx 二二. .平面应变问题的平衡方程平面应变问题的平衡方程 2 23 3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态 一一. .研究对象：研究对象： 直六面体直

11、六面体: dx,dy,: dx,dy,单位厚度单位厚度. . 坐标面内的应力分量坐标面内的应力分量 xyyx , 斜面上的应力分量斜面上的应力分量 nn , yx xy x y x y n a b c n n x p y p mlwhere ldSdSdS mdSdSdS ababbc ababac sin,cos: cos sin 2.斜面上应力在坐标轴上的分量 yx pp , n n yx xy x y x y n a b c x p y p (2)斜面上的应力分量 ac,bcac,bc面的面积面的面积: : 1.ab1.ab面的面积面的面积 ab dS m l p p yyx xyx y

12、 x （2-3） 由平衡关系： 3.3.斜面上的正应力与切应力斜面上的正应力与切应力 比较：坐标的旋转变换公式 y x lm ml y x y x lm ml y x , 应力变换公式(矢量在同一个面， 不同方向上分量的关系)公式(2-3) o x y x y ),(),(yxyxP n n yx xy x y x y n a b c x p y p n n y x y x n n lm ml p p p p lm ml , ) 1( 22 1 ml lm ml lm ml m l lm ml yyx xyx n n xyxyn xyyxn mllm lmml )()( 22 22 斜面上的应

13、力与应力张量的关系斜面上的应力与应力张量的关系 m l ml yyx xyx n 用二次型表示： 用代数式表示： m l p p yyx xyx y x y x n n p p lm ml 2cos2sin 2 2sin2cos 22 xy yx n xy yxyx n m l lm ml yyx xyx n n 0 m l lm ml lm ml lm ml yyx xyx 0 m l lm ml yyx xyx 0 0, nn 主应力：考虑一个特殊面，剪应力为零 m l m l yyx xyx 0 m l yyx xyx 0 yyx xyx 0)( 22 xyyxyx 2 2 2 , 1

14、22 xy yxyx 从上式可以根据应力分量求出主应力 主应力是应力张量矩阵的特征值，主方向是特征向量 特征值 的定义 m l m l yyx xyx 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 m l m l m l m l yyx xyx yyx xyx (3) (3) 主方向正交的证明主方向正交的证明( (用矩阵用矩阵) ) 1 1 1 1 1 m l m l yyx xyx 1 1 22 1 1 221 m l ml m l ml yyx xyx 12 1 1 2221211 )(LL m l mlmmll T yyx xyx 21 2 2 1121212 )(LL m l mlmmll

15、T 1212 1221 LLLL LLLL TTT T TT T T )( 21 0)( 2121 mmll 所以0 2121 mmll正交。与 21 (2) 求主方向（主应力的方向）求主方向（主应力的方向） 0 1 1 1 1 m l yyx xyx xy x xyx l m ml 1 1 1 1 111 tan 0)( 正交。与 夹角成直角。和 21 2121 , 1tantan x xy l m 12 2 2 tan同理 2.2.最大剪应力最大剪应力 22 2112 n 取主应力单元体，把坐标轴放在主方 向尚，则任何一个斜面上的应力为： max n 1 2 lm ml m l lm ml

16、 n n )(0 0 12 2 2 2 1 2 1 2 2 212 1 2 2 2 1 1 2 211 1 2 2 2 1 )( )( 22 22 lml mml ml n ml n 2/12/1lmlm n )( 12 2112 2 n 12 n 2 24 4 几何方程几何方程 考虑一个水平线段的水平伸长 u x y o P A dx x u uuA 利用Taylor展开式，把A点的位移用P点的 位移表示为(只保留一次项得到)： dx x u uuA P A x u dx udx x u u PA PAAP x x :向线应变 y y u x x u yxuyyxxu ),(),( 一点处的

17、应变一点处的应变 一一. 几何变形图几何变形图 u v x y o P B A P A B b dx x u u dx x v v dy y v v dy y u u 利用二元函数的Taylor展开式， 只保留一次项后分别得到(认为 各方向的应变互不影响各方向的应变互不影响)： dy y v vvdy y u uu dx x v vvdx x u uu BB AA , , 二二. . 线应变线应变 b u v x y o P B P A B dx x u u dx x v v dy y v v dy y u u A x u dx udx x u u PA PAAP x x :向线应变 y v

18、dy vdy y v v PB PBBP y y :向线应变 三三. . 剪应变剪应变 b 注意小变形假设：注意小变形假设： x v dx vdx x v v sin y u dy udy y u u bbsin y u x v xy b u v x y o P B P A B dx x u u dx x v v dy y v v dy y u u A 四四. .几何方程几何方程 )82( y u x v y v x u xy y x 五五. .刚体位移刚体位移 (1)由几何方程可知，给定u、v 可完全确定x、y、xy (2)但给定x、y、xy，不能完全确定u、v；事实上取 所有的应变均为零：

19、 由 0 0 0 x v y u y v x u xy y x （） ）（）（ ） （）（ ） （）（ x x y y xv yu ff f f xy 21 2 1 x x y yff ）（）（ 21 From（c）we have -刚体位移刚体位移 -是待定常数，要由是待定常数，要由约束条件约束条件决定。决定。 要想使得上式对任何（要想使得上式对任何（x x，）都满足只有）都满足只有： )( 21 c x x y yff ）（）（ constyFyGyFyxxGyF)()()0()(),()()( 000 ,vu 0 2 0 1 )(;)(vxxuyythatsoff xvvxxv yuuy

20、yu namely f f 00 2 00 1 )( )( 上式是在应变分量均为零的情况下得出的，上式是在应变分量均为零的情况下得出的， 因此该位移因此该位移 )( )( 2 1 ） （ ） （ xv yu f f dx xd dy ydff)( , )( 21 2 2- -5 5 物理方程物理方程 一一. . 广义虎克定律：广义虎克定律： 应力与应变关系应力与应变关系 )102( 1 1 1 )( 1 )( 1 )( 1 zx zx yz yz xy xy yxzz xzyy zyxx G G G E E E )1(2 E Gwhere 弹性常数间的关系有弹性常数间的关系有 平面应力问题平面

21、应力问题 0 xzyzz xy xy xyy yxx G E E 1 1 1 )1(2 E G 0 1 0 1 1 )( 1 )( 1 )( 1 zx zx yz yz xy xy yxzz xzyy zyxx G G G E E E y x y x E 1 1 1 y x y xE 1 1 1 2 y x y x E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 y x y xE 1 1 1 2 xy xy xyy yxx E E E )1(2 )( 1 )( 1 2 2 平面应变问题平面应变问题 obtainwelawsHookeintoitInserting E yxz z yxz z a

22、nd from )(0 )( 1 0 z xy xy xyy yxx E E E )1 (2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 2 xy xy xyy yxx E E E )1(2 )( 1 )( 1 ; 1 , 1 2 E Ewhere 对方程特点的说明 ; 1 , 1 2 E E 力学关系、几何关系与材料性质无关，只有物理关系与材力学关系、几何关系与材料性质无关，只有物理关系与材 料性质有关；所以，平衡微分方程、几何方程对两种平面料性质有关；所以，平衡微分方程、几何方程对两种平面 问题是相同的，而物理方程须作代换：问题是相同的，而物理方程须作代换： 物理方程与坐标无关这是由于采用了：物理

23、方程与坐标无关这是由于采用了： 均匀性假设均匀性假设 从待定的刚体位移，我们发现仅仅这从待定的刚体位移，我们发现仅仅这8 8个方程不足以完全确个方程不足以完全确 定所有的变量。定所有的变量。 平面应力问题 平面问题基本方程小结平面问题基本方程小结 1、平衡微分方程 0 X yx yx x 0 Y yx yxy （2-2） （2个） 2、几何方程（3个） )82( y u x v y v x u xy y x 3、物理方程（3个） ） 122( 1 )( 1 )( 1 xy xy xyy yxx G E E 平面应变用下式代换： 1 , 1 2 E E 平面应力问题 平面问题基本方程的矩阵表达平面问题基本方程的矩阵表达 1、平衡微分方程 0 0 0 Y X xy yx xy y x 0 Y yx yxy （2个） 2、几何方程（3个） v u xy y x y u x v y v x u xy y x xy y x 0 0 )82( 0 X yx yx x 作业 2-14 2-15 思考题 2-3，2-4，2-7