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1、第第1 1章章 质点运动学质点运动学 本章内容：本章内容： 1. 1 确定质点位置的方法确定质点位置的方法 1. 2 质点的位移、速度和加速度质点的位移、速度和加速度 1. 3 用直角坐标表示位移、速度和加速度用直角坐标表示位移、速度和加速度 1. 4 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度度 1. 5 圆周运动的角量表示圆周运动的角量表示 角量与线量的关系角量与线量的关系 1. 6 不同坐标系中的速度和加速度变换定理简介不同坐标系中的速度和加速度变换定理简介 Xian Jaotong University 1.1 确定质点位置的方法确定质点位置的方

2、法 1.1.1 质点运动学的基本概念质点运动学的基本概念 质质 点点: 可忽略形状和大小的物体可忽略形状和大小的物体 有质量而无形状有质量而无形状 和大小。和大小。 质点系质点系: 若干质点的集合。若干质点的集合。 x y z O P 参照物参照物 参考系参考系: 参照物参照物 + 坐标系坐标系 (1) 运动学中参考系可任选。运动学中参考系可任选。 (2) 参考物选定后参考物选定后, 坐标系可任选坐标系可任选。 运动形式相同运动形式相同, 数学表述不同。数学表述不同。 (3) 常用坐标系常用坐标系 直角坐标系直角坐标系（ x , y , z ） 球坐标系球坐标系（ r, ） 柱坐标系柱坐标系（

3、 , , z ） 自然坐标系自然坐标系 ( s ) 讨论讨论 Xian Jaotong University 质点某时刻位置质点某时刻位置P 1.1.2 确定质点位置的方法确定质点位置的方法 1. 直角坐标法直角坐标法 z x y O z ),(zyxP y x 2. 位置矢量法位置矢量法 kzj yi xr 由由位置矢量位置矢量 表示。表示。 r 位置矢量的大小：位置矢量的大小： 222 zyxr r P (x, y, z) 位置矢量的位置矢量的方向方向： 参考物参考物 r x cos cos r z r y cos Xian Jaotong University 3. 自然坐标自然坐标法法

4、 已知质点相对参考系的运动轨迹时已知质点相对参考系的运动轨迹时, 常用自然法。常用自然法。 1.1.3 运动学方程运动学方程 O s P s )(tss 参考物参考物 位置矢量位置矢量 ktzjtyitxtrr )()()()( 直角坐标直角坐标 )(txx )(tyy )(tzz 自然坐标自然坐标 )(tss 已知运动学方程已知运动学方程, 可求质点运动轨迹、速度和可求质点运动轨迹、速度和 加速度。加速度。 意义意义 Xian Jaotong University 一质点作匀速圆周运动，半径为一质点作匀速圆周运动，半径为r ，角速度为，角速度为 。 以圆心以圆心O 为原点。建立直角坐为原点。

5、建立直角坐 标系标系Oxy ，O 点为起始时刻，点为起始时刻， 设设t 时刻质点位于时刻质点位于P（x , y）， 用用直角坐标直角坐标表示的质点运动学表示的质点运动学 方程为方程为 sin , costrytrx trs 位矢位矢表示为表示为 自然坐标自然坐标表示为表示为 x y P t x y O r s 例例 解解 ),(yx O j tri trj yi xr sincos 求求 用用直角坐标直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。 Xian Jaotong University 求求 解解 h v x 22 0 ) ()(htltxv坐标表

6、示为坐标表示为 例例 如图所示，以速如图所示，以速 度度v 用绳跨一定用绳跨一定 滑轮拉湖面上的滑轮拉湖面上的 船，已知绳初长船，已知绳初长 l 0 0，岸高，岸高 h 取坐标系如图取坐标系如图 依题意有依题意有 tltl )( 0 v 质点运动学的基本问题之一是确定质点运动学方程质点运动学的基本问题之一是确定质点运动学方程. 为正确为正确 写出质点运动学方程写出质点运动学方程, 先要选定参考系、坐标系先要选定参考系、坐标系, 明确起始明确起始 条件等条件等, 找出质点坐标随时间变化的函数关系。找出质点坐标随时间变化的函数关系。 0 l )(tl )(txO 船的运动方程船的运动方程 说明说明

7、 Xian Jaotong University 参照物参照物 1.2 质点的位移、速度和加速度质点的位移、速度和加速度 1.2.1 位移位移 位移矢量位移矢量反映了物体运动中位反映了物体运动中位 置置 ( 距离与方位距离与方位 ) 的变化。的变化。 讨论：讨论： (1) 位移是矢量（有大小位移是矢量（有大小, ,有方向）有方向） 位移不同于路程位移不同于路程 (2) 位移与坐标系原点的位置无关位移与坐标系原点的位置无关 rtrttrPQ )()( (3) 与与r 的区别的区别 r O P Q r s O r O r 分清分清 )(tr )(ttr PQsr Xian Jaotong Univ

8、ersity 1.2.2 速度速度 ( 描述物体运动状态的物理量描述物体运动状态的物理量 ) 1. 平均速度平均速度 rt t trttr t r )()( v o )(ttr )(tr 2. 瞬时速度瞬时速度 t r t trttr t d d)()( lim 0 v A B B A v 讨论讨论 (1) 速度有速度有矢量性矢量性、瞬时性瞬时性和和相对性相对性。 (2) 注意速度与速率的区别注意速度与速率的区别 t r t s t r t r d d d d d d , d d vvv r r Xian Jaotong University 1.2.3 加速度加速度（反映速度变化快慢的物理量

9、）（反映速度变化快慢的物理量） 1. 平均加速度平均加速度 v t t ttt t a )()(vvv 2. 瞬时加速度瞬时加速度 讨论讨论 (1) 加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。 2 2 0 d d d d)()( lim t r tt ttt a t vvv )(tv )(ttv v A B )(tv )(ttv )(tr )(ttr O (2) 加加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。 Xian Jaotong University 1.3 用直角坐标表示位移、速度和加速度用直角坐标表示位移、速度和加速

10、度 1.3.1 位移位移 12 rrr kzj yixr x y z O r 1 r 2 r P Q 时刻时刻 t 质点位于质点位于 P 位矢为位矢为 1 r 时刻时刻 t + t 质点位于质点位于Q , 位矢为位矢为 2 r kzjyixr 1111 kzjyixr 2222 时间时间 t 内质点的位移为内质点的位移为 kzzjyyixx )()()( 121212 ),( 111 zyx ),( 222 zyx 建如图所示坐标，则建如图所示坐标，则 Xian Jaotong University 1.3.2 速度速度 1. 平均速度平均速度 k t z j t y i t x t r v

11、2. 瞬时速度瞬时速度 k t z j t y i t x t r d d d d d d d d v d d , d d , d d t z t y t x zyx vvv 222 zyx vvvv速度的大小为速度的大小为 速度的方向用方向余弦表示为速度的方向用方向余弦表示为 cos , cos , cos v v v v v v z y x 其中其中 kji zyx vvvv Xian Jaotong University 1.3.3 加速度加速度 t a d dv k t z j t y i t x 2 2 2 2 2 2 d d d d d d k t j t i t z y x d

12、d d d d dv v v kajaiaa zyx d d d d , d d d d , d d d d 2 2 2 2 2 2 t z t a t y t a t x t a z z y y x x v v v 222 zyx aaaa cos cos cos aaa z y x a a a 大小为大小为 方向用方向余弦表示为方向用方向余弦表示为 其中其中 Xian Jaotong University 运动学的二类问题运动学的二类问题 1. 第一类问题第一类问题 ar ,v 已知运动学方程，求已知运动学方程，求 (1) t =1s 到到 t =2s 质点的位移质点的位移 (2) t =

13、2s 时时 a ，v jir 2 1 jir 24 2 jijirrr 321)2(2)(4 12 j tt r ajtj t r 2 d d d d , 22 d d 2 2 v v jaji 2 , 4 2 22 v 已知一质点运动方程已知一质点运动方程 jtitr )( 2 22 求求 例例 解解 (1) (2) 当当 t =2s 时时 Xian Jaotong University 解解 ja t 16 d d v t jt 0 (t) (0) d16d v v v jt-t 16(0)(vv tjtir)d 166(d kjti ttr 88 6)( 2 已知已知 ja 16kri

14、8060)(,)(v v 求求 和运动方程。和运动方程。 代入初始条件代入初始条件 kr 8(0) 代入初始条件代入初始条件 2. 第二类问题第二类问题 jt d16dv jtit 166)(v )( d d t t r v ttr r tjtir 0 )( )0( )d 166(d 已知加速度和初始条件已知加速度和初始条件, ,求求 r, v 例例 ,t =0 时时 Xian Jaotong University 1.4 用自然坐标表示平面曲线运用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度动中的速度和加速度 1.4.1 速度速度 )()(tsttss 1lim 0 s r s s r s 0

15、 lim t s vv d d t s d d v t s s r t s s r sts d d )lim()lim)(lim( 000 )(limlim 0 00 t s s r t r s tt v )(tr )(ttr r P sv Q 1 O s L O (速度在切线方向上的投影速度在切线方向上的投影) 参考物参考物 Xian Jaotong University 1.4.2 加速度加速度 t s vv d d ) d d ( d d d d t s tt a v t t s t s d d d d d d 2 2 大小大小: : tt s d d d d 2 2 v 方向方向: :

16、 t s a 2 2 d d 令令 ( (切向加速度）切向加速度） ( (反映速度大小的变化反映速度大小的变化) ) t t s an d d d d )(tn )(ttn P )(t Q L O )(tt )()(ttt )(t )(tt 令令 ( (法向加速度）法向加速度） 反映速度方向的变化反映速度方向的变化 大小大小(t0): )( t 方向方向(t0): : n n n tt t 0 lim d d Xian Jaotong University n s t s t nanaa n 1 ) dt d ( d d d d 2 2 22 vv n r naa nn 2 v nn t t

17、s an 2 1 d d d dv vv 对于圆周运动对于圆周运动 aaa t s tfs n , d d )(v 对于平面曲线运动对于平面曲线运动 nn t s s n t tt v 1 limlim 00 t t t 0 lim d d Xian Jaotong University 一汽车在半径一汽车在半径R=200m 的圆弧形公路上行驶的圆弧形公路上行驶, ,其运其运 动学方程为动学方程为s =20t 0.2 t 2 (SI) . . t t s 4 . 020 d d v 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式, 有有 4 . 0 d d t

18、 a v R t R an 22 )4 . 020( v 2 2 2 22 )4 . 020( 4 . 0 R t aaa n m/s)(6 .19(1)v )m/s(96. 1 200 ) 14 . 020( 4 . 0(1) 2 2 2 2 a 例例 汽车在汽车在 t = 1s 时的速度和加速度。时的速度和加速度。 求求 解解 Xian Jaotong University 已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为 BtztAytAx , sin , cos 在自然坐标系中任意时刻的速度在自然坐标系中任意时刻的速度 解解 ts zyx dd 222 vvv BA t s d d 222 v

19、v 例例 求求 tBtAtAd cossin 22 2 2 2 设自然坐标的正方向与质点运动方向相同设自然坐标的正方向与质点运动方向相同 Xian Jaotong University 讨论讨论 (1) 在一般情况下在一般情况下 n t s t t t a 2 2 2 d d d d d d )( d dv v v v 其中其中 为曲率半径，为曲率半径， 引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不 同曲率半径的圆弧所构成同曲率半径的圆弧所构成 n 的方向指向曲率圆中心的方向指向曲率圆中心 B OC x y v (2) 思考思考抛体运动过程中的曲率半径？抛体

20、运动过程中的曲率半径？ A Xian Jaotong University )(t P Q o )极轴(x 角坐标角坐标 对圆周运动：对圆周运动： )(trr （运动学方程（运动学方程) ) 极极 径径 r cr )(t （运动学方程（运动学方程) ) 角位移角位移 t（逆时针逆时针 为为正正） ttt ttt tt d d lim )()( lim 00 1.5 圆周运动的角量表示圆周运动的角量表示 角量与线量的关系角量与线量的关系 1. 极坐标、极坐标、角位置与角位移角位置与角位移 2. 角速度角速度（描述质点转动快慢的物理量描述质点转动快慢的物理量） 3. 角加速度角加速度（描述质点转动

21、角速度变化快慢的物理量描述质点转动角速度变化快慢的物理量） 2 2 0 d d d d)()( lim ttt ttt t 与与同号质点作加速运动同号质点作加速运动 与与异号质点作减速运动异号质点作减速运动 Xian Jaotong University 4. 角量与线量的关系角量与线量的关系 速度与角速度的关系速度与角速度的关系 P Q o )极轴(x r s rs r t r t s t d d lim 0 v r t a d d v r r an 2 v v 2 加速度与角速度和加速度与角速度和 角加速度的关系角加速度的关系 Xian Jaotong University (2) 当当

22、=? 时时, ,质点的加速度与半径成质点的加速度与半径成45o角？角？ (1) 当当t =2s时时, ,质点运动的质点运动的an 和和 a (rad)42 3 t 一质点作半径为一质点作半径为0.1m 的圆周运动的圆周运动, ,已知运动学方已知运动学方 程为程为 (1) 由运动学方程可得由运动学方程可得 求求 a 解解 例例 以及以及 的大小的大小 2 12 d d t t t t 24 d d 2 2 )m/s(4 .230 22 ran)m/s(8 . 4 2 ra )m/s(5 .230 2 22 n aaa (2) 设设 t 时刻时刻, 质点的加速度与半径成质点的加速度与半径成45o角

23、角, 则则 n aat : rr 2 24)12( 22 tt 24144 4 tt s)(55. 0 trad)(67. 242 3 t Xian Jaotong University 1.6 不同坐标系中的速度和加速度变换不同坐标系中的速度和加速度变换 定理简介定理简介 r r tu 1. 基本概念基本概念 绝对参照系绝对参照系S 相对参照系相对参照系S 研研 究究 对对 象：象： 三种三种 运动运动: S 系相对于系相对于S系的位移：系的位移： tu P 点相对于点相对于S 系的位移：系的位移： r P 点相对于点相对于S 系的位移：系的位移： r 绝对绝对、相对相对和和牵连运动牵连运动

24、 两个参照系：两个参照系： s O O y x s u P A A A PB 动点动点 P 牵连位移牵连位移 相对位移相对位移 绝对位移绝对位移 turr Xian Jaotong University 2. 速度变换定理速度变换定理 加速度变换定理加速度变换定理 1. 速度变换速度变换 t tu t t t r t r ttt 000 lim limlim era u t r t r vvv d d d d ezrzazeyryayexrxax vvvvvvvvv 牵连 相对绝对 vvv 1 lim 0 t t t 牵连相对绝对 牵连相对绝对 aaa ttt d d d d d dvvv 2

25、. 加加速度变换速度变换 Xian Jaotong University 一个带篷子的卡车一个带篷子的卡车, ,篷高为篷高为h=2m , ,当它停在马路边当它停在马路边 时时, ,雨滴可落入车内达雨滴可落入车内达 d = 1m , ,而当它以而当它以15km/h 的的 速率运动时速率运动时, ,雨滴恰好不能落入车中。雨滴恰好不能落入车中。 era vvv 4 .63arctan d h h d a v e v r v 根据速度变换定理根据速度变换定理 画出矢量图画出矢量图 m/s)( 3 . 9km/h5 .33 cos 15 cos e a v v e v 例例 解解 雨滴的速度矢量。雨滴的

26、速度矢量。 求求 Xian Jaotong University 升降机以加速度升降机以加速度 1.22 m/s2 上升上升, ,有一螺母自升降机的有一螺母自升降机的 天花板松落天花板松落, ,天花板与升降机的底板相距天花板与升降机的底板相距 2.74m 。 h a O x O x 取螺母刚松落为计时零点取螺母刚松落为计时零点. . 三种三种加速度加速度 为为: : ? , , rea ai aai ga earrea aaaaaa , agaaa exaxrx 2 1 2 tah r 动点动点为螺母为螺母, ,取二个取二个坐标系坐标系如图如图 例例 解解 螺母自天花板落到底板所需的时间螺母自天花板落到底板所需的时间. . 求求 ) s (0.7 1.229.80 2.7422 ag h t