大学精品课件：第7-2章弯曲应力.ppt

1、7 7- -1 1 弯曲正应力弯曲正应力 7 7- -2 2 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理 7 7- -3 3 弯曲切应力计算弯曲切应力计算 第第7章章 弯曲强度和刚度弯曲强度和刚度 目录 7 7- -4 4 挠曲线近似微分方程及其积分挠曲线近似微分方程及其积分 7-5 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法 7 7- -6 6 梁的强度梁的强度, ,刚度条件和合理设计刚度条件和合理设计 纯弯曲纯弯曲 梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲 梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲 目录 1 弯曲时梁的正应

2、力弯曲时梁的正应力 一 基本假设 1 现象 纵线弯曲后为弧线 横线为直线,与弯曲后 的纵线正交. 2 假设 (1)变形后,横截面仍保持平面,并绕垂直于纵 对称面的某一轴转动,且下纵线正交.(弯曲平 截面假定) (2)梁内各纵向纤维仅受轴向拉应力或压应 力.(单向受力假定) M M 一、变形几何关系一、变形几何关系 1010- -1 1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力 目录 1 1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力 目录 平面假设：平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截横截面变形后保持为平面，只是绕截 面内某一轴线偏转了一个角度。面内某一轴线偏转了一个角度。 1010- -1 1

3、纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力 目录 凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短 突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长 中间一层纤维长中间一层纤维长 度不变度不变 中性层中性层 中间层与横截面中间层与横截面 的交线的交线 中性轴中性轴 1 1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力 目录 二、物理关系二、物理关系 胡克定理胡克定理 E y E 1 11 1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力 目录 三、静力学条件三、静力学条件 y E Z 1 EI M 1 1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力 目录 正应力公式正应力公式 变形几何关系变形几何关系 物理关系物理关系 y E y E 静力学关系静力学

4、关系 Z 1 EI M Z I My 为梁弯曲变形后的曲率为梁弯曲变形后的曲率 1 为曲率半径为曲率半径 1010- -1 1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力 目录 正应力分布正应力分布 Z I My Z max max I My Z max W M max Z Z y I W min Z W M 1010- -1 1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力 目录 常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ 圆截面圆截面 矩形截面矩形截面 空心圆截面空心圆截面 空心矩形截面空心矩形截面 A dAyI 2 Z max Z Z y I W 64 4 Z d I 32 3 Z d W )1 ( 64

5、 4 4 Z D I)1 ( 32 4 3 Z D W 12 3 Z bh I 6 2 Z bh W 1212 3 3 00 Z bhhb I)2/() 1212 ( 0 3 3 00 Z h bhhb W 1010- -2 2 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理 目录 12 3 2/ 2/ 22 Z bh bdyydAyI h hA z AA IdAzdAzyI22)( 222 矩形截面矩形截面 圆形截面圆形截面 642 4 Z d I I 一、简单截面的惯性矩一、简单截面的惯性矩 二、组合截面的惯性矩二、组合截面的惯性矩 由简单图形组合而成的截面称为组合截面，它的由简单图形组合而成的截面

6、称为组合截面，它的 惯性矩等于各个组成部分对同一惯性矩的代数和。惯性矩等于各个组成部分对同一惯性矩的代数和。 三、平行轴定理三、平行轴定理 截面对任一坐标轴截面对任一坐标轴z的惯性矩的惯性矩=z轴平行的形心轴轴平行的形心轴z0 的惯性矩的惯性矩+截面面积截面面积X两个轴间距离平方两个轴间距离平方 2 0Z AaII z z0 y0 z y a mm52 201202080 8020120102080 c y （2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩 46 2 3 2 3 m1064 . 7 2812020 12 12020 422080 12 2080 z I （1 1）

7、求截面形心）求截面形心 z1 y z 52 解：解： 目录 1010- -3 3 弯曲切应力计算弯曲切应力计算 式中式中梁横截面上距中性轴为梁横截面上距中性轴为y处的剪应力；处的剪应力； 横弯剪应力公式横弯剪应力公式 bI SF y Z Zs * )( y b h ) 4 ( 2 2 2 2/ 11 * y hb bdyyS h y z A Fs 2 3 max 10-4 挠曲线近似微分方程及其积分挠曲线近似微分方程及其积分 挠曲线定义定义: 弯曲后的梁轴线. 特点特点:梁发生平面弯曲时,挠曲线为连续光滑的平 面曲线. 挠度挠度: 横截面形心的纵向位移. 它是梁轴线位置 的函数. 挠曲线方程:

8、 符号: 下+, 上- 转角方程:顺+,逆- )(x )(tan x 2/32 Z ) (1 )(1 EI xM )( xMEI CdxxMEIEI )( 积分一次积分一次 DCxdxxMEI )( 例例:如图所示弯曲刚度为如图所示弯曲刚度为EI的悬臂梁的悬臂梁,受集度为受集度为q的作用的作用, 求梁的挠曲线方程和转角方程求梁的挠曲线方程和转角方程. 解解(1)确定弯矩方程确定弯矩方程: M(x)=-0.5qx2 挠曲线方程挠曲线方程: (2)由边界条件确定积分常数由边界条件确定积分常数C,D 在在x=l, w=0,w=0 代入上式代入上式 得得 C=-ql3/6, C, D代入积分后的方程可

9、以得转角方程和挠度方程代入积分后的方程可以得转角方程和挠度方程. 2 5 . 0 qxEI CqxEI 3 6 1 DCxqxEI 4 24 1 4 8 1 qlD 10-5 计算梁的位移叠加法计算梁的位移叠加法 当梁截面应力在弹性阶段时,梁的挠度和转 角与荷载成线性关系.因此当梁在几个荷载 的作用时,梁的挠度和转角等于每个荷载单 独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 如图所示简支梁,作用均布荷载q和集中荷载F的作用,试求梁 跨中的挠度. 解:梁的变形由q和F共同产生. 由附录D查得: Wq=5l4/384EI, WF=Fl3/48EI W=Wq+WF 横力弯曲横力弯曲 目录 1010- -6

10、6 梁的强度梁的强度,刚度条件条件和合理设计刚度条件条件和合理设计 横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式 弯曲正应力分布弯曲正应力分布 Z I My max Z maxmax max z W M I yM 横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力 目录 一、强度条件一、强度条件 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 Z * max,max, max bI SF zs h l 2 max max 弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式适用范围 弯曲正应力分布弯曲正应力分布 Z I My 细长梁的细长梁的纯弯曲纯弯曲或或横力弯曲横力弯曲 横截面惯性积横截面惯性积 I IYZ YZ=0 =0 弹性变形阶段

11、弹性变形阶段 目录 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 I yM z max max max 1.1.弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上 2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处 4.4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑 tt max, cc max, 3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与 M z I 目录 FAY FBY B A l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K 1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力 2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应

12、力 3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力 4.4.已知已知E=200GPa， C 截面的曲率半径截面的曲率半径 FS x 90kN 90kN mkN605 . 0160190 C M 1. 求支反力求支反力 kN90 Ay FkN90 By F 45 33 Z m10832. 5 12 18. 012. 0 12 bh I MPa7 .61Pa107 .61 10832. 5 10)30 2 180 (1060 6 5 33 Z KC K I yM （压应力）（压应力） 解：解： 例题10-2-1 目录 B A l = 3m FAY q=60kN/m FBY x C 1m M x m67.

13、5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN 2. C 截面最大正应力 C 截面弯矩 mkN60 C M C 截面惯性矩 45 Z m10832. 5 I MPa55.92Pa1055.92 10832. 5 10 2 180 1060 6 5 33 Z max max I yM C C 目录 B A l = 3m FAY q=60kN/m FBY x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN 3. 全梁最大正应力全梁最大正应力 最大弯矩最大弯矩 mkN5 .67 max M 截面惯性

14、矩截面惯性矩 45 m10832. 5 z I MPa17.104Pa1017.104 10832 . 5 10 2 180 105 .67 6 5 33 Z maxmax max I yM 目录 （4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号 （5 5）讨论）讨论 （3 3）根据）根据 z W M max max 计算计算 336 6 3 max cm962m10962 10140 4 5 . 910)507 . 6( M Wz （1 1）计算简图）计算简图 （2 2）绘弯矩图）绘弯矩图 解：解： 36c36c工字钢工字钢 3 cm962 z W kg/m6 .67q 目录 作弯矩图，寻找需要校核

15、的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面 cctt max,max, , 要同时满足要同时满足 分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 试校核梁的强度。试校核梁的强度。 MPa,60,MPa30 ct 例题10-2-4 目录 mm52 201202080 8020120102080 c y （2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩 46 2 3 2 3 m1064 . 7 2812020 12 12020 422080 12 2080 z I （1 1）求截面形心）求截面形心 z

16、1 y z 52 解：解： 目录 （4 4）B B截面校核截面校核 t t MPa2 .27Pa102 .27 1064. 7 1052104 6 6 33 max, c c MPa1 .46Pa101 .46 1064. 7 1088104 6 6 33 max, （3 3）作弯矩图）作弯矩图 目录 kN.m5 .2 kN.m4 （5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ t t MPa8 .28Pa108 .28 1064. 7 1088105 . 2 6 6 33 max, （4 4）B B截面校核截面校核 （3 3）作弯矩图）作弯矩图 tt MPa2 .27 max, cc MP

17、a1 .46 max, 目录 kN.m5 .2 kN.m4 二、梁的刚度条件 ll max l / 土木工程中 许可值通常取1/2501/1000 一般土木工程的构件，如果满足了强度条件，往往也 能满足刚度条件。 提高刚度的措施:增大抗弯刚度;减小跨度. Z max max W M 1. 1. 降低降低 M Mmax max 合理安排支座合理安排支座 合理布置载荷合理布置载荷 三、梁的合理设计三、梁的合理设计 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 目录 合理布置支座合理布置支座 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 目录 F F F 合理布置支座合理布置支座 提高梁强度的主要措施提高梁

18、强度的主要措施 目录 1010-3 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 目录 合理布置载荷合理布置载荷 F 1010- 3 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 Z max max W M 2. 2. 增大增大 W WZ Z 合理设计截面合理设计截面 合理放置截面合理放置截面 目录 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 目录 合理设计截面：增大抗弯模量（高度平方成正合理设计截面：增大抗弯模量（高度平方成正 比），比）， 把较多的材料放置在远离中性轴的位置。把较多的材料放置在远离中性轴的位置。 如对称的工字形和箱形截面（抗拉、压强度相同如对称的工字形和箱形截面（抗拉、压强度相同 的

19、材料）。的材料）。 抗压强度高于抗拉强度的脆性材料，采用中性轴抗压强度高于抗拉强度的脆性材料，采用中性轴 靠受拉一侧的截面，如靠受拉一侧的截面，如T T形与槽形截面。形与槽形截面。 1010-3 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 目录 合理设计截面合理设计截面 6 2 bh WZ 左 6 2 hb WZ 右 1010-3 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 目录 合理放置截面合理放置截面 3、等强度梁、等强度梁 1010-3 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 目录 b xh 1010-3 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 目录 1 1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推 导方法导方法 2 2、熟练掌握弯曲正应力的计算、熟练掌握弯曲正应力的计算、 弯曲正应力强度条件及其应用弯曲正应力强度条件及其应用 3 3、了解提高梁强度的主要措施、了解提高梁强度的主要措施 目录 小小 结结