第四章网络的代数方程课件.ppt

1、41 概述 网络方程的分类：线性或非线性电阻电路的方程线性动态电路的变换域方程线性或非线性动态电路的时域方程手工计算手工计算节点电压、树支电压网孔电流、回路电流状态变量通用性节点电压附加电流节点电压支路电压支路电流且方程适合计算机建立42 支路方程的矩阵形式 两类约束：1.基尔霍夫定律的矩阵形式 2.支路方程的矩阵形式选取支路的主要方式：（1 1）复合支路）复合支路（一般支路或标准支路）（2 2）元件级支路）元件级支路 skekkUUUskskkekkUIIZU)(ssUIIZU)(eZZ)(1skkekskkUUZIIskskkekkIUUYI)(ssIUUYI)(eYY kI-+USk+-

2、+-IdkUdkUekIekZek(Yek)Isk+-IkUk2、含受控源（复合支路）、含受控源（复合支路）P149受另一支路的电压或电流控制，均可转化成受该支路的元件电压或电流控制。受另一支路的电压或电流控制，均可转化成受该支路的元件电压或电流控制。skbkppbkjjejkjepkpekskdkekkskbkmmbkllelklemkmekskdkekkbkppbkjjejkjepkpejkjepkpdkbkmmbkllelklemkmelklemkmdkIUIIIIIIUUIUUUUUUIUIIUIUIUgggrrr,1,1,1,1,1,1,1,1把上式写成矩阵形式：设受控源的各控制量均

3、为各支路的元件电压或电流（均可化为这种形式）则：无互感对角，有互感对称IsgUeIeIIUUrIUUIIIUUUggggggIIIIIIIIIUUUUUUIIIrrrrrrUUUUUUeseeesbssebeebbbbebeebbbbebeebsbssebeebbbbebeebbbbebeeb.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.2121212211122121221112212121212122111221212211122121eeeeeeUYIIZU元件上的电压和电流关系为1 YeZe1 ZeYe代入上式得：sseeseeeeUUrYUUUrYUU)1(seeseeeeIIg

4、ZIIgZIII)1(由上式得：)()1()()1(11seeseeIIgZIUUrYUeeeUYI l控制系数有“”、“”之分。支路方向与标准支路相同者为+号，相反为-号，没有为0。称为流控型支路方程 为支路阻抗矩阵)()1()1()()1()()1(111seeesseeseUUrYYgZIIUUrYYIIgZ1)1()1(eeebssbbrYYgZYIUYUYI称为压控型支路方程 为支路导纳矩阵由 得：ZeIeUe 1)1()1(eeebSSbbgZZrYZUIZIZUeeeUYI 由 得：当电路中只有VCCS时：当电路中只有CCVS时：rZZrZZgYYgYYeeebeeeb)1()1

5、(11无受控源无受控源ebebZZYYVCCSCCVSVCVSVCCSCCCSVCCSIUUYICCVSVCCSCCCSCCVSVCVSCCVSUIIZUssbssb)()(有串联阻抗或，受控源的形式：）（有并联阻抗或，受控源的形式：）（本书：3、复合（典型、标准）支路与、复合（典型、标准）支路与本本科的科的区别：区别：kUSkISkUkIekI kYSSIUYUYI kU+kISkUejkjdkUgISkIkYekUSemIUYI SSmmIUYUY 1)()(eeebgZ1ZrY1Z1)()(eeebrY1YgZ1Y 例例 电路如图 所示，图中元件的下标代表支路的编号，取支路2、4、5为树

6、支。在下列两种情况下写出关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵、支路阻抗矩阵、支路导纳矩阵、支路电压源列向量和支路电流源列向量（1）（2）045M045M1su6si1R6R2C3C4L5L45M解解 电路的有向图如图所示，实线为树支，虚线为连支110100001110010011A111010010110001011B110100101001100111Q1234561su6si1R6R2C3C4L5L45M 支路电压源列向量为TssU000001UTssI600000I045M,1,1,654321RLjLjCjCjRdiagbZ1,1,1,1654321RLjLjCjCjRdiagbY（1

7、）1234561su6si1R6R2C3C4L5L45M(2)045 M1234454556000001000001000000000000000000bRj Cj Cj Lj Mj Mj LRZ444455545455UjL IjMIUjMIjL I 1234561su6si1R6R2C3C4L5L45M1235454546100000000000000000000000100000bRj Cj CLMMLRY24445jL LM 4544ML L0 编号规律：存在耦合时，应将各耦合电感的支路连续编号编号规律：存在耦合时，应将各耦合电感的支路连续编号（全耦合）（全耦合）例例 电路及其有向图分

8、别如图所示sI1U1gU2I2rI2R3R4R1R1234 电路中没有独立电压源，故支路电压源列向量TssI000IsU0sI1U1gU2I2rI2R3R4R1R1234,4321RRRRdiageZ1,1,1,14321RRRRdiageY1)()(eeebgZ1ZrY1Z1)()(eeebrY1YgZ1YsI1U1gU2I2rI2R3R4R1R1)()(eeebgZ1ZrY1Z1)()(eeebrY1YgZ1Y00000000000000000rr000000000000000gg123411)1()1()()(eeeeeebgZZrYgZ1ZrY1Z4331210000000000RrR

9、RgRRRbZ44232110001000100001RRRrRgRRbY11)1()1()()(eeeeeebrYYgZrY1YgZ1Y4331210000000000RrRRgRRRbZ44232110001000100001RRRrRgRRbYsI1U1gU2I2rI2R3R4R1R1234受控源变受控电流源，控制量再用元件电压表示受控源变受控电压源，控制量再用元件电流表示4、非线性电阻电路的复合（典型、标准）、非线性电阻电路的复合（典型、标准）支路（支路（p151）请自己看。）请自己看。）一、线性电路代数方程的矩阵形式一、线性电路代数方程的矩阵形式ssbbIUYUYI 0AI nTUA

10、U 0AIUAYUAAYssbnTbsbsnTbUAYAIUAAYTbnAAYY sbsnUAYAIJnnnJUY 例例 在图电路中 。试写出该电路对应的运算电路的节点电压方程的矩阵形式。图 中 V2)0(3u0)0(4uA3)0(5iA5)0(6i11R25.02RF23CF14CH45LH36LA)(5)(ttis(a)(b)isu3i5R1C3R2C4i6123153264解解 作出电路的有向图和运算电路分别如图(b)和(c)所示。关联矩阵为由图(c)可得支路电压源列向量为(c)101010110100011001ATsss000200)（U5/s2/s11/41/s1234s3sU1(

11、s)3/s5/s1/2s支路电流源列向量为支路导纳矩阵为把以上各矩阵代入即得运算形式的节点电压方程的矩阵形式 5/s2/s11/41/s1234s3sU1(s)3/s5/s1/2sTsssss530005)（I31,41,2,4,1)(ssssdiagsbY)()()()()(ssssssbsnTbUAYAIUAAYssssUsUsUssssssssssssnnn5842)()()(3143131127241414113212、回路电流方程的矩阵形式ssbbUIZIZUlTfIBI 0UBf0UBIZBIBZBffsbflTfbfsbfsflTfbfIZBUBIBZBTfbflBZBZ sbf

12、sflIZBUBE回路电压源列向量lllEIZ 例例2 电路及其有向图(实线代表树支)如图所示。用相量形式写出回路电流方程的矩阵形式。解解 相应的基本回路矩阵为 1011001101fBR3R2jL4U(s)jL5IsR1jM13542支路阻抗矩阵为 支路电压源列向量支路电源源列向量 把上述各矩阵代入 54321000000000000000000LjMjMjLjRRRbZTssU0000UTssI0000IsbfsflTfbfIZBUBIBZB得本例所选基本回路正好对应网孔，因此，回路电流方程即为网孔电流方程。ssIRUIILjRRMjRMjRLjRR22153233431)()(3、割集电

13、压方程的矩阵形式 sbfsftTfbfUYQIQUQYQ定义TfbftQYQY sbfsftUYQIQJtttJUYssbbIUYUYI fQ I0TfnUQ UTfbftfsfbsQ Y Q UQ IQ Y U0例例 电路及其有向图(实线代表树支)如图3所示。试写出该电路割集电压方程的矩阵形式。解解 基本割集矩阵为 100011010101001101fQ1j10/00V4/300A15461j1Sj2S23C1C2C3支路电压源列向量 支路电流源列向量 支路导纳矩阵为将以上各矩阵代入割集电压方程的矩阵形式得 Ts000000100UTs000030400Ij2,j1,j0.5,-1,1,1

14、diagbY065430410102211122125.02UUUjjjsbfsftTfbfUYQIQUQYQ 二、非线性电路代数方程的矩阵形式二、非线性电路代数方程的矩阵形式P155+-IjUj+-IiUi 混合分析法混合分析法顾名思义，就是类似于混合参数的形式列出方程，待求量或未知量均既有电压又有电流。1 .目的目的：让受控源和独立源都以其最自然的形式出现。VCCS，VCVS，CCCS，CCVS，理想电压源或理想电流源（无伴电压、电流源）均可。2 .取支路的方法取支路的方法：独立源可以与Ze，Ye组合，而受控源单独作为一条支路单列一条支路+ISkUSkUkIkIekZek(Yek)-+1）

15、：以树支电压Ute，连支电流Ile为独立变量,对除去独立源的网络列H参矩阵leteleteIUHHHHUI22211211很方便地处理各种受控源受控源和无伴独立源无伴独立源：表示，用：应用teleIIKCL)2PAPAPAQQPAAABQQQltltflltTtlltf1 1 1，0IQf，由复合支路得：seIII0）（关系为支路电流与元件电流的sefIIQsfleltesfleltesfleteltsfefIQIQIIQIQIIQIIQIQIQ，1 tetsflesfletetsfleteltsfefsefsefleteUBUBUUBUUBUBUUBUBUBUUBUUUUBUUKVL，）（由

16、复合支路得：，：表示，用应用100)34）把2)，3)代入1)中整理得：sfsfletetlUBIQIUHBHQHH22211211letetetsfletelelsfIHUHUBUBIHUHIQIQ22211211，这就是混合分析法混合分析法的矩阵方程。由该式解出的是树支的元件电树支的元件电压压和连支的元件电流连支的元件电流。sflelteIQIQIleteleteIUHHHHUI22211211或写成P157的形式sfsfletellTlltltlttUBIQIUHQHQHH树支：控制电压控制电压支路，支路，无伴（理想）电流源无伴（理想）电流源，受控电流源受控电流源支路，支路，连支：控制电

17、流控制电流支路，无伴（理想）电压源无伴（理想）电压源，受控电压源受控电压源支路支路，电阻、电感和电容既可以是树支也可以是连支。该方法要求这种树存在这种树存在。leteleteIUHHHHUI22211211控制电压支路：控制电压支路：VCCS，VCVS控制电流支路：控制电流支路：CCCS，CCVS受控电流支路：受控电流支路：VCCS，CCCS受控电压支路：受控电压支路：VCVS，CCVSleteleleteteIHUHUIHUHI22211211VCCS，控制支路选树支，受控支路树支；，控制支路选树支，受控支路树支；teteUHI11CCCS，控制支路选连支，受控支路树支：，控制支路选连支，受

18、控支路树支：leteIHI12VCVS，控制支路选树支，受控支路连支：，控制支路选树支，受控支路连支：CCVS控制支路选连支控制支路选连支受控支路连支：受控支路连支：树支：控制电压控制电压支路，支路，无伴（理想）电流源无伴（理想）电流源，受控电流源受控电流源支路，支路，连支：控制电流控制电流支路，无伴（理想）电压源无伴（理想）电压源，受控电压源受控电压源支路支路，teleUHU21leleIHU22)1()1(1221riuriu)2()2(1221guigui 或 采用采用1，1式：式：CCVS；采用采用2，2式：式：VCCS 连连 连连 树树 树树 )2(1)1(2121ininuu采用采

19、用1式：式：VCVS；采用；采用2式：式：CCCS 树树 连连 连连 树树n:1i1i2+u1u2+i1i2u2u1r效果相同开路线：是控制电压量开路线：是控制电压量树支树支短路线：是控制电流量短路线：是控制电流量连支连支总结以上规则：VCCS 的控制支路和受控支路均应选作树支CCCS 的控制支路应为连支,受控支路为树支 VCVS 的控制支路应为树支,受控支路为连支CCVS的两条支路均应选作连支理想变压器和负阻抗变换器的两条支路分属连支和树支回转器的两条支路均为连支或均为树支电阻、电感、电容可以选作树支,也可以选作连支开路线只能选作树支,短路线只能选作连支3）受控源方向与复合支路一致（与支路方

20、向相同）为正，反为负，无为零1）Is、Us与复合支路一致（与支路方向相反）为正，反为负，无为零；2）Is、Us的顺序与Qf，Bf支路的列写顺序一致；-+USk+-+-IdkUdkUekIekZek(Yek)Isk+-IkUk树支：控制电压控制电压支路，支路，无伴（理想）电流源无伴（理想）电流源，受控电流源受控电流源支路，支路，连支：控制电流控制电流支路，无伴（理想）电压源无伴（理想）电压源，受控电压源受控电压源支路支路，例例4-1 列出图示电路的混合分析法矩阵方程解（1）图、选树；n:1i8i3+u8u3-+i8i3+u8u3ni8nu321345876R6uS1-i2R2+n:1-R1i1+

21、-u2C5i8i3i4C4u2i7i6i5+P157876543216542187654321000000000000000000000000100000000000000000000000000000000IIIIUUUUnRSCSCnGGUUUUIIIIuS1-i2R2R6+n:1-R1i1+-u2C5i8i3i4C4u2i7i6i5(2）建立除去独立源的H参阵-+i8i3+u8u3ni8nu321345876011010000110010010010010100100010110011010011001fTtlQBQ，1 110000011010011000010110000010011

22、ltfltfQQBB，(3）写出Bf，Qf：21345876(4）写出Us、Is，TssUU00000001uS1-i2R2R6+n:1-R1i1+-u2C5i8i3i4C4u2i7i6i5，TsI00000000为象函数，111000sTsssfsfUUUUBIQ(5）写出Bf Us，Qf Is：(6）写出Ql+H12，Bt H21：011110110000110110110100110012112nBHnQHtl，876543216542187654321000000000000000000000000100000000000000000000000000000000IIIIUUUUnRS

23、CSCnGGUUUUIIII118765432165421000000000001100001100001100000100110110000110000010010001001000ssleleleleteteteteUUIIIIUUUUnRSCSCnGG 可见，各元件以其自然形式出现。如果找不到特定树，方法失效得标准形式）代入（sfsfletetlUBIQIUHBHQHH222112117 ;010个方程，：）方程，（：bUAUKVLnAIKCLnTbssNTIUIUUNMAA0000100：，把上述方程合在一块支路方程：ssIUNIMU是电阻的量纲或无量纲，是电导的量纲或无量纲NM1.方

24、法实质 KCL、KVL、VAR联立构成2b+n-1 个方程2.不取复合支路做为支路3 .方程组优点：对元件和支路无限制,适应性很强，而且方程易于建立，如同填写表格一样，所以叫做列表法。缺点：方程多，规模大；但其矩阵中零元素所占比例很大，稀疏矩阵技术的发展已使这一问题得到解决。与本科“2b表格法”相近)1(:nKCL0IA)1(:nblKVL0UB)(:bVARsseeIUIZUYsseeIU00IUZ0AYB0共2b个方程0,10kjkkkjkjkkjkjkjkjkNNMMUUUU，100kkkjkkkkkkkkNMGMIUGUGI，4 支路方程M,N系数的填写举例对电阻或电感支路ssIUNI

25、MU对电导或电容支路0,kkkkkkIRUIRUkkkkjkkRNMM，01100kkkjkjkkjkjkjkjkNgMMUgIUgI，对VCVS支路对VCCS支路当电路中电感间有耦合时，设为k，j支路jkjkjjjjjkjkjkkkkkkjkjjjjkjKkKjKjkjjkjKkKMjNLjNMMjNLjNMIMjILjUIMjILjUILjIMjUIMjILjU ，1100j可见方程的建立非常的灵活方便。稀疏列表法常用于大型的电路分析软件，手工计算的不多。5 列方程的步骤：列方程的步骤：;0.310.2个方程，：）方程，（：bUAUKVLnAIKCLnTb1，画有向图，一个元件一条支路，写

26、A4，支路方程的矩阵形式ssIUNIMU）个变量及方程（共12nb稀疏表格法例题例例 在图示电阻网络中,双口电阻元件的伏安关系为21211532iuui0),(0),(2121221211iiuuhiiuuhsinVEt1u1i4i2uRN3u2i3iP165 例461解解 将节点和连接在一起，可画出图示的网络有向图。相连点选为参考点ssNTIUIUUNMAA000010000011010014321iiii000001101001214321nnuuuuuu412321211532iuuitEuRiuiuuiuisin0050324332122111,11,1,53,1,2441133222

27、221121111 MRNMNMMNNMtEiiiiRuuuusin0000000000001000311000010000150002432143211,11,1,53,1,2441133222221121111MRNMNMMNNM00011010014321iiii000001101001214321nnuuuuuu把以上诸式合成一个总的矩阵方程即为表格方程tEiiiiuuuuuuRnnsin0000000000000100000000010000001000150000310002000000100001000001001000000010100000000101011000000000

28、010000004321432121ATA10MN(2)支路方程为支路方程为 0),(21211iiuuh0),(21212iiuuh033 RiutEusin4 节点法节点法一一.传统节点法传统节点法：节点法是应用最广泛的一种系统化、规范化的方法。因为在计算机上找节点最容易；在工程实际中（如电力系统中,特别是对电力系统潮流计算）独立节点数往往少于独立回路数。可以直接处理VCCS，间接处理CCCS，而对无伴电压源，较难处理。下面简单复习一下节点法。元件方程（关系或约束）为(支路电流的矩阵方程支路电流的矩阵方程)1.方程：方程：设网络的节支关联矩阵为A设网络的所有支路均为压控型压控型，则SSIU

29、YUYI 由由KCL A i=00AAAA SSIUYUYI0AAAAT SSnIUYUY节点导纳阵节点导纳阵TnYYAA 令令SSnnnUYIIUYA-A得节点电压方程得节点电压方程由此求得支路电压和电流由此求得支路电压和电流nUUnUTAISSIUYUYI SSnUYIIA-A节点电流列向量节点电流列向量由由KVLnUUTAnnnIUY称）。得到节点导纳（不再对得到支路导纳阵，进而直接添写控制系数阵而处理。或按复合支路节点电压表出，再移项把受控源的控制量用先按独立源处理，然后2.含受控源（含受控源（CS）的处理方法）的处理方法：号）（有互感的支路连续编法一：1 ZY3.含互感支路含互感支路

30、TnTnnTnnnnnnAYAYAYAYMLYAYAYYMLYYYY ，支路的，只考虑）支路的（，除去，法二：;含互感支路的处理方法同名端流入：12122212212212111LMMLYsLsMsMsLYMLLsMLLssLsMsMsLZIsLsMIUsMIIsLUjijjii，），（令：）（，L1L2M12abC 101101cbaA异名端流入：11121222121211100111101101LLMMLMMLLLMMLMLLMMLYnML1L212abC 101101112121cbaAYLMMLZYsLsMsMsLZ，110011111222LMLMLMMLYn11112122221

31、nYLLMMLMMLLLMMLML 确定量处理。如果编程可以当作一个不变。上反映从可见互感流入的方向，nYA 例例4-1 列出图示电路的节点电压方程。+US5R5R1L2L3C4IS1M12345解：含互感。用方法一选为参考节点，支路编号如图写出关联矩阵A，Us，Is 101000111000011ATssUU5,0,0,0,0TssII0,0,0,0,1处理互感支路求出支路阻抗阵kU+kISkUejkjdkUgISkIkYekU+US5R5R1L2L3C4IS1M处理互感互感支路求出支路阻抗阵33233222ILIMUIMILUjjjj32)3,2(LMMLZjjjj123455411RCj

32、RdiagZ543210000010000000000000RCLMMLRZjjjjj求出支路阻抗阵导纳阵Y=Z-1+US5R5R1L2L3C4IS1M或直接生成支路导纳阵33233222ILIMUIMILUjjjj32233222232)(1UULMMLLLMIIjjjj123452332222)(1)3,2(LMMLLLMYjjjj)()3,2(23223MLLjLMMLY54111RCjRdiagYY=Z-1 54231100000j00000000000001RCLMMLRY)(j232MLL 其中其中SSnnUIUYA-AY TnAYAY 5222323331121RLLMMLMML

33、LLMMLMLRYn例4-2 列出图示电路的节点电压方程C6*ML2L1uS5R5。C7R3iS7R4563 34721解：方法二：（1）选5节点为参考点，节点支路编号、画出图00001101000011010100111100004321AssIUA，写出）（2TSssUU0000005TsssII0000007nnYI，）（3TsssssnsIsISRUYUIAI007755）（)(221MLLS）（00diagY 121LMMLY 2121222211020000001LLMMLMMLLLMMLMLMLLsAYAYTn）（TnAYAY 去掉去掉简单简单 110011110011Y 110

34、011432A补零补零因为 是4阶方阵nY3776467676510000000101RscscscRscscscscscRAYAYTnTnAYAY),1,1,1(0076543CjCjRRRdiagdiagY）（000207755432113111772264676675）（）（）（SISIsUGUUUULGLMMLMMLLSCLMSCMLMLSCGSCSCSCSCSCGsssnnnn22nnnYYY 代入可得：nnnIUY)4(563 347121563 34721如上例题如上例题,列出图示电路的节点方程列出图示电路的节点方程该题前面用矩阵分块处理过，下面用刚讲的部分节点相联法处理。解：从

35、节点处把原网络分开网络N1网络N2C6*ML2L1uS5R5。C7R3iS7R421563 3471C6*ML2L1E5R5。C7R3iS7R400000000007754321377647766751）（）（）（：SISIsEGUUUUGSCSCSCGSCSCSCSCSCGNsssnnnn对网路N1列节点电压方程网络N1nY21网络N2 212121122221112101101004321IISLSMSMSLUUSMIISLUSMIISLUAN，：对网路N2列全节点电压方程）（，令）（，）（221122212211222122111MLLSSLSMSMSLMLLSYUUSLSMSMSLML

36、LSII C6*ML2L1E5R5。C7R3iS7R4000212111212222niILLMMLMMLLLMMLMLY，划去第一行后相乘所得但相当于上式AAYAYTi ,2全节点方程:0002143211121222nnnUUULLMMLMMLLLMMLMLnYLLMMLMMLLLMMLML111212220000000相当于000000077543243212）（）（）（：合并sISIsEGUUUUUUUYYsssnnnnnnnin00020775432113111772264676675）（）（）（SISIsEGUUUULGLMMLMMLLSCLMSCMLMLSCGSCSCSCSCSC

37、Gsssnnnn22 37764776675100000000GSCSCSCGSCSCSCSCSCGN：111212220000000LLMMLMMLLLMMLML1.适用范围：a）：求转移函数，b）：节点方程的降阶解法（手算）。二二.外节点方程（实际为节点电压方程的分块解法）外节点方程（实际为节点电压方程的分块解法）节点法是以电路中的全部节点（对参考节点）电压为待求量的方法。在很多情况下，关心的只是电路部分节（例如端口的电压），则把这些节点称为外节点，其余称为内节点。在很多情况下，只要求出外节点的节点电压即可。用Ua Ub分别表示外节点和内节点的节点电压列向量。2 .外节点方程：，把该式化简

38、得：矩阵分块：bababbbaabaaIIUUYYYY节点电压方程为：YnUn=In，设外节点为a，内节点为b。）（2bbbbabaIUYUY:1:21）得代入（）得由（ababbbbUYIYU）（1ababaaaIUYUYaababbbabaaaIUYIYYUY1bbbabaababbabaaIYYIUYYYY11）（这就是外节点方程：解：例4-4 求图示双T选频网络的转移函数：0122)()(IsUsU选参考节点如图取和节点为外节点，、节点为内节点，令G=1/R，（1）列出 YnUn=In0、CC2C R/2RRU1（S）+U2（S）+0002200220014321IUUUUSCGGGS

39、CGSCSCGSCSCGGSCSCG式中电压和电流均为像函数bababbbaabaaIIUUYYYY1001212100211）（）（）（SCGSCGSCGYbbabbbabaababbabaaIIYYIUYYYY11）（0002200220014321IUUUUSCGGGSCGSCSCGSCSCGGSCSCGYaaYbaYabYbbUbUaIbIa00bI1111221212222222222222221）（）（）（SCGCSGCSGCSGCSGCSGSCGGGSCSCGSCGSCSCGYYYbabbab)(2)(2)(2)(22222222222221GSCCSGGSCGSCCSGGSCC

40、SGGSCCSGGSCYYYYbabbabaa）（abbbabaababbabaaIIYYIUYYYY11）（TTbabbabaaIUUYYYY)0,(),(1211）（2222222220122222122241140222CSGGSCGSCCSGCSGsUsUUSCGCSGGSCsUSCGCSGSI）（）（）（）（）（）（0)(2)(2)(2)(2121222222222222IUUGSCCSGGSCGSCCSGGSCCSGGSCCSGGSC三三.节点方程的降阶（类似外节点方程法）节点方程的降阶（类似外节点方程法）N1N2adlImIaaddN2N1lIlIN2N1mImIadda切断支路

41、后，a、d为N1、N2的共有节点，选为外节点。Il，Im一为流入一为流出，N1、N2只有一点相连，可以分别计算。bbbbbabaTmlababaaaUIUYUYIIIUYUYN1111111111消：对二式相加消去(切割支路的电流），从而达到降阶和简化计算的目的注意事项：（1）切割电路时，切割支路与N1，N2间，N1，N2间应无耦合，有共同的参考节点，切割支路电流应保留，可能的情况下N1、N2应尽量对称（2）a，d作为N1、N2的共有节点，作为外节点，Il，Im对N1、N2的a，d节点方向相反。（3）通过N1、N2的外节点方程相加消去Il，Im。bbbbbabaTmlababaaaUIUYUY

42、IIIUYUYN2222222222:消对例例45用节点方用节点方程的程的降阶解法降阶解法求求图示电路中的各图示电路中的各节点电压（电阻节点电压（电阻均为均为1）俞）俞P20在曲线处切断ae,bd支路，分成左右两个网络；a，d为N1，N2的共有节点取为外节点，切割支路的电流设为Il，Im。）（，节压方程为：，对11534111507111132311401110013203310114110110110311a1b1baUUUUmlcbdaIIUUUUNa d b c解：20A3A-2A13A9A4AeImaaaIlCbddfN1N2）（代入化简得外节点方程把22471118442411103

43、011110031mldabmlIIUUUII1baUU代入得外节点方程把）（，节点方程为：，对bmlfedaUIIUUUUN2231534111366411142031141011004209031101411113001012a2b2baUUUUTcbTdaUUUU1baUU,52791111615111366411136626622111161511150711116fecbUUUU），得：）代入（把（），得：）代入（把（）（，得：）求解：由（）（）：（）（消去割断支路的电流：61311141141515,4588811132883211142,3)4(16411124448111dad

44、adamldaUUUUUUIIUU外节点电压（3）方程：设无伴电压源支路有m条，相应的电流列向量为：I=I1Im 除去无伴电压源支路（看成断开断开、没有或可移去）节点法是一种有效的方法，但节点法不能处理无伴电压源，改进的节点法就是为解决这一问题提出的。（1）意义：可有效地处理无伴电压源。（2）方法：把无伴电压源支路的电流作为未知量，同时添加相应 的电路方程。，nnnIUY，nTUAU 对应无伴电压源支路断开无伴电压源支路后的节点电压方程，VVnnnIAIUYvAAA把关联矩阵A分成两块。中流出为正，流入为负”号，“VA设无伴电压源支路共有m条，则增加了m个变量，应增加m个方程。svnvnTvv

45、nUIIUAAY0SVVnTVnVVnnUIUAIIAUY0SVnTVnTVTSVUUAUAAUU，如果电路中不含受控源，或把受控源暂做独立源处理，改进节点法的方程形式如上列向量无伴电压源支路的电流vI svnvnnUIIUHHY02112当电路中含受控源时，要把方程右边的受控源涉及到的电压和电流移至方程的左边，则改进的节点法方程变为：其中，Yn是把无伴电压源除外的节点导 纳阵，H12，H21反映节点与无伴电压源支路的关联性质。该项通常为零，但当电l路中含CCVS，而其控制量又是另一个无伴电压源的电流时，该项不为零。下面介绍书上P168方法改进节点法的一般形式改进节点法的一般形式（核心思想是矩

46、阵的分块矩阵的分块处理）把网络中的元件分成三组（三类）三组（三类），1类）压控型压控型元件且其电流不是电流不是控制量控制量（用导纳描述的元件，这些元件只需选节点电压为方程的变量，不必选支路电流为变量）2类）非压控非压控型元件和电流为控制量电流为控制量的压控压控型元件（不用导纳描述的元件，如独立电压源、VCVS、CCVS、CCCS等和需要支路电流作为输出量的元件，如电感、互感元件）3类）独立电流独立电流源；则KCL方程为对应每一类的关联矩阵分别为A1、A2、A3，也就是A分成了三个子块。相应的支路电压电流列向量分别记为 U1、I1，U2、I2，U3、I3，0321321IIIAAA0332211

47、IAIAIA则KVL方程为nTUAAAUUU3213210321321nTTTUAAAUUUnTUAU11nTUAU22nTUAU33支路方程为第一组（压控支路电流非控制量）0111UYI第二组（非压控支路或电流为控制量电流为控制量的压控支路）22222WIQUP第三组独立电流源SII330332211IAIAIASIAIAIA332211nTUAU110111UYInTUAYI111SnTIAIAUAYA3322111)(令：TnAYAY11112AB nTUAU2222222WIQUAPnT22222WIQUPTAPC222QD SnIAJ33221YWJIUDCBnnn线性网络改进节点法

48、方程的一般形式代入KCL方程 为压控支路（非控制量）部分的节点导纳阵，无伴电压源除外 1nY,2流列向量未知无伴电压源支路电I已知独立电压源列向量2W控制电流时，不为零的的中的电流是另一个无伴当多数情况下是零阵。但无伴电压源支路方程添加方程流出节点为的电流与节点的关系，常数矩阵，无伴电压源节点的关联性质无伴电压源支路与有关 CCVSI-D:-B.2CDCB量：未知独立节点电压列向nUnJ它们的性质和形成方法与前述节点法形成的节点导纳阵和等效电流源向量 的方法完全相同。是等效电流源向量如果没有附加电流变量，改进节点法便退化为节点法221YWJIUDCBnnn221YWJIUDCBnnnTnAYA

49、Y11112AB TAPC222QD SnIAJ33C由于方程组的未知变量由节点电压和支路电流组成，系数矩阵中的元素既有导纳，又有阻抗，以及无量纲的量，所以又称该方程组为混合方程组2222221EJIUZAYAYnnTnP179 例472例例1 1 用改进节点法列写图示电路的改进节点电压方程。解解 图中两个电压源为流控元件,故应将相应电流作为附加变量。分别对各独立节点列写 KCL 方程,并考虑到各电导的 VAR,得 2G3G4G5Gsusi1i6i3u3u相应的附加方程为012212iuGuG0)(4433243212uGuGuGGGuGsiuGGuG35323)(064424iuGuGsuu

50、 1000000100000001100000000000006143214453343432222ssuiiiuuuuGGGGGGGGGGGGG将以上诸式写成矩阵形式,得改进节点电压方程为 2G3G4G5Gsusi1i6i3u3u034uu5列1行为1例例4 列写图示通用阻抗变换器网络的改进节点电压方程。135678249105G6G7G8G9GsIP169 例471 多口元件的MNA前四个支路表示两个运算放大器u1i1解解 网络的有向图如图所示。00000100000000010000000001000000000143214321IIIIUUUU210000001101001000010