大学精品课件：第十章：组合变形.ppt

1、 组合变形组合变形 材料力材料力 学学 一、概述一、概述 构件同时发生两种或两种以上的基本 变形称为组合变形。 T4 T3 T1 T2 烟囱 传动轴 材料力材料力 学学 烟囱：烟囱： 自重引起轴向压缩，水平风力引起弯曲。 传动轴：传动轴：将皮带拉力向杆轴线简化，可知轴除 了作用平面为垂直于杆轴线的力偶引 起的扭转外，还有横向力引起的弯曲。 T4 T3 T1 T2 材料力材料力 学学 T4 T3 T1 T2 m1 P1 P2 m2 材料力材料力 学学 范畴：小变形 线弹性 方法：叠加法 先将荷载分解成符合基本变形外力条件的 外力系，分别计算构件在每一种基本变形时的 内力、应力、然后进行叠加，以确

2、定组合变形 情况下的危险截面，危险点以及危险点的应力 状态，据此选择合适的强度理论进行强度计算。 材料力材料力 学学 二、两相互垂直平面内的弯曲的组合二、两相互垂直平面内的弯曲的组合 在屏幕平面内绕 z 轴弯： y I M z z Iz: 对中性轴的惯性矩 y: 到中性轴的距离 P 平面弯曲 y z 中性轴 y Mz z 荷载作用面 材料力材料力 学学 在垂直于屏幕平面内绕 y 轴弯 z I M y y P 中性轴 荷载作用面 y z y My z 材料力材料力 学学 1.1.外力分解外力分解 ( (使每个力单独作使每个力单独作 用时，仅发生基本变形用时，仅发生基本变形) ) Py=P cos

3、 Pz=P sin y L P x z x Pz Py 材料力材料力 学学 2.2.分别计算各基本变形的内力、应力分别计算各基本变形的内力、应力 内力：x截面 cos)(cos)(MxlPxlPM yz sin)(sin)(MxlPxlPM zy (上拉、下压) (后拉、前压) y L P x z x Pz Py 材料力材料力 学学 可不定义弯矩的符号，标明弯曲方向 M=P(lx) 总弯矩 Qy= Py =P cos Qz =Pz=P sin 组合变形时，通常忽略弯曲剪应力。 材料力材料力 学学 应力 Mz: y I M z z My: z I M y y Mz z y z y D1 D2 M

4、y D1 D2 材料力材料力 学学 3.3.叠加叠加 由于两种基本变形横截面上只有正应力， 于是 “加” 成了代数和。 截面上任意点应力： z I M y I M y y z z 对第一象限的任意C点 (yc0 , zc0) c y y c z z z I M y I M My Mz z y D1 D2 C 材料力材料力 学学 4.4.强度计算强度计算 危险截面 x=0 危险点 D1点最大拉应力， D2点最大压应力 危险点应力状态 单向应力状态 (数值相等) 强度条件： max (D1是单向拉伸， D2是单向压缩) My Mz z y D1 D2 C 材料力材料力 学学 点D1(y1, z1)

5、 11max z I M y I M y y z z 显然 , 1 z z W y I y y W z I 1 强度条件： y y z z W M W M 材料力材料力 学学 5.5.中性轴中性轴( (零应力线零应力线) ) 不失一般性，令第 一象限的点的应力为零 即可得到中性轴方程. z I M y I M y y z z y0, z0为中性轴上的点 Mz My z y c(y, z) 0 00 材料力材料力 学学 可见中性轴为一条过截 面形心的直线，它与z轴 的夹角为： tg I I I I M M z y tg y z y z z y 0 0 当Iz Iy时， 即中性轴不再垂直于荷载 作

6、用面。 Mz My z y 中性轴中性轴 荷载作用荷载作用 或写成 00 z I I M M y y z z y 材料力材料力 学学 对任意横截面，做与 中性轴平行的直线， 与截面相切于点D1、 D2，即为最大拉应力 和最大压应力点。将 这些点的坐标(y, z)代 入应力公式，即可求 得最大正应力。 D1 D2 Mz My z y 中性轴中性轴 荷载作用面荷载作用面 材料力材料力 学学 6.6.变形变形 Py引起的自由端的挠度 z y y I l f E3 P 3 Pz引起的自由端的挠度 y z z I l f E3 P 3 y z fy fz （） （ ） 材料力材料力 学学 22 | zy

7、 fff tg I I IP IP I l I l f f tg y z yy zz z y y z y z E3 P E3 P 3 3 当Iz Iy时， 即位移不再发生在荷载作 用面。因而不属于平面弯曲。 y z f fy fz 材料力材料力 学学 xy面内y方向的力引起Mz xz面内z方向的力引起My 合弯矩M=My+Mz仍在对称 面内，于是总是可以用平 面弯曲的公式来进行应力 计算，不过此时中性轴已 不是y轴或 z轴。 Mz My My Mz M z y 对于Iz=Iy的截面(如圆形截面) 材料力材料力 学学 如求a点应力 d I M M: 合弯矩 I: 对中性的惯性矩 64 4 D I

8、II zy d: a点到中性轴的矩离。 My Mz M z y d a 中性轴中性轴 材料力材料力 学学 例例101 图示悬臂梁由25b工字钢制成，弹性 模量E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的应力； (2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 C C o z q q=5kN/m P=2kN =30 30 P 3m y z y 1m 材料力材料力 学学 解解：(1) 外力分解 kNPP y 732. 130cos2cos kNPP z 130sin2sin (2) 求C点所在截面弯矩 2 ) 13( 2 1 ) 13(qPM y c z mkN46.1325 2

9、1 2732. 1 2 mkNPM z c y 221) 13( (上拉，下压) (后拉，前压) z q P y x 1m 3m C z P x y 材料力材料力 学学 (3) 求 c 查表： 4 )( 96.5283cmIz 3 )( 72.422cmWz 4 )( 297.309cmI y 3 )( 423.52cmWy mmt h yc 11213 2 250 2 mm b zc 59 2 118 2 t z y h . C b mmbmmtmmh118 13 250， 材料力材料力 学学 c y y c z zC z I M y I M 059. 0 10093. 3 102 112.

10、 0 10284. 5 1046.13 6 3 5 3 Pa 62. 91062. 9 6 MPa 材料力材料力 学学 (4)求Lmax , Cmax 在固定端有最大弯矩，因而Lmax , Cmax发生在该面上。 22 max 35 2 1 3732. 1 2 1 qllPM yz (上拉，下压) mkNlPM zy 331 max (后拉，前压) mkN70.27 材料力材料力 学学 显然，最大拉应力发生在固端截面上的A点。 最大压应力发生在固端截面上的B点。 t z y b h A B 材料力材料力 学学 A y y A z z AL z I M y I M max 6 3 6 3 104

11、2.52 103 107 .422 1070.27 y y z z W M W M Pa 6 10123 aMP 123 aM BC P 123 max 材料力材料力 学学 三、拉伸三、拉伸(压缩压缩)与弯曲组合与弯曲组合 P力作用在杆自由端形心处，作用线 位于xy面内，与x轴夹角为. P力既非轴向力，也非横向力，所 以变形不是基本变形。 L x y P 材料力材料力 学学 1.1.外力分解外力分解 Py=Psin y为对称轴，引起平面弯曲 Px=Pcos 引起轴向拉伸 l x Px Py y P x 材料力材料力 学学 2.2.内力分析内力分析 N=Px M z=Py(lx) 只有一个方向的

12、 弯矩，就用平面 弯曲的弯矩符号 规定。 + + Px Py Px N Mz Pyl l 材料力材料力 学学 3.3.应力及强度条件应力及强度条件 N对应的应力 Mz对应的应力 A N y I M z z 叠加： y I M A N z z y z 材料力材料力 学学 由于忽略了剪切应力，横截面上只有正应 力，于是叠加后，横截面上正应力分布规律只 可能为以下三种情况： | z z W M A N | z z W M A N | z z W M A N 材料力材料力 学学 中性轴(零应力线)发生平移。 危险点的位置很容易确定，在截面的最上缘或最下缘 由于危险点的应力状态为简单应力状态(单向拉伸或

13、 单向压缩)，故： 强度条件 max 材料力材料力 学学 例例102 如图所示构架已知材料许用应力为 3m 1m 30 C B =160MPa。试为AB梁设计一工字形截面。 P=45kN A 材料力材料力 学学 解： AB梁受力分析 由AB梁的平衡方程易求得 NBC=120kN, XA=104kN， + XA P YA 30 NBC 45kN m 104kN Mz N YA=15kN， 作内力图 材料力材料力 学学 显然危险截面为B截面左侧 。 危险点位于B截面最上缘。 由强度条件： max max A N W M z 由于型钢的Wz, A无一定的函数关系， 一个不等式不可能确定两个未知量，因

14、 此采用试算的方法来求解。 材料力材料力 学学 试算： 先不考虑轴力N，仅考虑弯矩M设计截面 max z W M 36 6 3 max 10281 10160 1045 m M Wz 3 )( 281 cm 查型钢表： 22a 工字钢 Wz = 309 (cm)3 A=42 (cm)2 材料力材料力 学学 校核22a工字钢能否满足弯矩和轴力同时 存在时的强度条件。 Pa A N W M z 6 4 3 6 3 max max 10170 1042 10104 10309 1045 170MPa 强度不够，选大一号： 22b Wz = 325 (cm)3 A=46.4 (cm)2 材料力材料力

15、学学 MPa8 .160 104 .46 10104 10325 1045 4 3 6 3 %5%5 . 0 160 1608 .160 max 可认为安全。 可取22b工字钢。 A N W M z max max 材料力材料力 学学 四、偏心压缩四、偏心压缩 外力特点：外力特点：外力平行轴线，但与轴线不重合。 o P A (yP, zP) z y x 材料力材料力 学学 1.1.外力简化外力简化 将P力向形心简化 0 mz P A (yP, zP) z y x my P B P my m y =Pz P m y =Py P P x 材料力材料力 学学 于是得到一个与原力系静力等效的 力系：与

16、轴线重合的压力P和两个作用 在互相正交的纵向对称面内的力偶my, mz。 材料力材料力 学学 轴向压力P 引起轴向压缩 my 引起绕 y 轴转动的平面弯曲 mz 引起绕 z 轴转动的平面弯曲 偏心压缩是轴向压缩与两个互相正交平面 内的弯曲的组合变形。 当杆比较短而粗的时候，可按叠加原理求解。 材料力材料力 学学 2.2.内力分析内力分析 对任意横截面，显然有 N = P My= my=PzP (左拉，右压) Mz= mz=PyP (前拉，后压) N， My ， Mz 不是 x 的函数， 即任意横截面上的内力为常量。 MZ N z y My x x 材料力材料力 学学 3.3.应力计算应力计算

17、由于N， My ， Mz单独作用时，引起的 横截面上的应力均为正应力，因此，由叠加 原理， N， My， Mz共同作用时引起的应力， 应是单独作用时的应力的叠加。由于均为正 应力，因此为代数和。 材料力材料力 学学 对横截面上任意点： zy MMN y I M z I M A N z z y y 对第一象限的点E(y, z) y I M z I M A N z z y y MZ N z E(y,z) y My x x 材料力材料力 学学 对矩形截面，很容易判断最大压应力发生 在D1点，最大拉应力(如果有的话)发生在D2点， 显然D1点应力绝对值将大于D2点应力的绝对值。 MZ N z y D1

18、 D2 My x x 4.4.强度条件强度条件 max max 材料力材料力 学学 例例103 图示 结构，求底截面上 A，B，C，D四点 的正应力，以及最 大拉应力和最大压 应力。 a=0.2m A B C D y z x P=100kN 0.05m 材料力材料力 学学 解： 外力简化 yP=0.05m zP=0.2m P=100kN mz =PyP =1000.05=5kNm my =PzP =1000.2=20kNm a=0.2m A B C D y z x P=100kN 0.05m 材料力材料力 学学 内力计算 底截面上： My= my = 20kNm (前拉，后压) Mz= mz

19、= 5kNm (左拉，右压) N = P = 100 kN a=0.2m A B C D y z x P My Mz 材料力材料力 学学 应力计算 截面有关几何参数： A=ab=0.20.4=0.08m2 443 3 10667. 22 . 04 . 0 12 1 12 m ba I z 433 3 10067. 14 . 02 . 0 12 1 12 m ab I y a=0.2m A B C D y z x 材料力材料力 学学 A z z A y y A y I M z I M A N 1 . 0 10667. 2 105 2 . 0 10067. 1 1020 08. 0 10100 4

20、 3 3 33 aMPaP 37. 41037. 4 6 a=0.2m A B C D y z x （拉） 材料力材料力 学学 B z z B y y B y I M z I M A N 1 . 0 10667. 2 105 2 . 0 10067. 1 1020 08. 0 10100 4 3 3 33 aMP 63. 0 a=0.2m A B C D y z x （拉） 材料力材料力 学学 C z z C y y C y I M z I M A N 1 . 0 10667. 2 105 2 . 0 10067. 1 1020 08. 0 10100 4 3 3 33 aMP 87. 6 a

21、=0.2m A B C D y z x （压） 材料力材料力 学学 D z z D y y D y I M z I M A N 1 . 0 10667. 2 105 2 . 0 10067. 1 1020 08. 0 10100 4 3 3 33 aMP 13. 3 Cmax= 6.87MPa Lmax= 4.37MPa a=0.2m A B C D y z x （压） 材料力材料力 学学 5.5.中性轴中性轴 ( (零应力线零应力线) ) 不失一般性。我们令第一象 限的点的应力为零。 y I M z I M A N z z y y y I Py z I Pz A P z P y P 1 y

22、I Ay z I Az A P z P y P 材料力材料力 学学 引入惯性半径： , A I i y y A I i z z 01 2 0 2 0 z P y P i yy i zz A P 令 中性轴方程： 01 0 2 0 2 y i y z i z z P y P 材料力材料力 学学 显 然 中 性 轴为一条直线， 作中性轴的平 行线与截面相 切D1，D2即为 最大拉应力和 最大压应力所 在的点。 (零应力线) D2 D1 y z 中性轴 o 材料力材料力 学学 6.6.中性轴的特性中性轴的特性 中性轴为一条 不过形心的直 线，它将截面 分成受拉，受 压两个区. 一一对应 偏心力作用点

23、 一条零应力线 y z A(yP, zP) (零应力线) 中性轴 受压区受压区 受受 拉拉 区区 o 材料力材料力 学学 中性轴在y, z轴的截距分别为： P z y y i a 2 (令z0=0) P y z z i a 2 (令y0=0) ay与yP 符号相反 偏心力P的作用点与中性轴分居形心 (坐标原点)的两侧。 ay az y z A(yP, zP) 中性轴 (零应力线) o az与zP 符号相反 材料力材料力 学学 只要足够小(绝对值)，中性轴将会在截面以外。 P z y y i a 2 P y z z i a 2 由 可知： 偏心力的偏心距与中性轴的截距成反比。 材料力材料力 学学

24、 截面核心： 在截面形心附近将存在这样一个区 域：当偏心力作用在该区域以内时，中 性轴将在截面以外，当偏心力在该区域 的边界上时，中性轴将与截面相切，当 偏心力作用在该区域以外时，中性轴与 截面相割。这个区域称为截面核心截面核心。 材料力材料力 学学 确定任意形状截面的截面核心边界的方法： 1. 建立坐标系：oyz, O形心 y, z截面互相正交的主惯性轴 求出 22 zy ii ， O z y 材料力材料力 学学 2. 以任意一根与截面相切的直线为中性轴， 1 1 2 y z p a i y 1 1 2 z y p a i z 则其对应的偏心力 作用点1的坐标为 其截矩为 11, zy aa

25、 O 1 z y , 1 y a , 1 z a 材料力材料力 学学 3. 同样的方法将与截面相切的直线,看成 中性轴，求出对应的偏 心力作用点2，3， O 1 2 3 4 5 y 1 y a 1 z a 的坐标，连接1，2， 3，点所得到的封 闭曲线即为截面核 心的边界，该边界 包围的黄色面积即 为截面核心。 材料力材料力 学学 例例104 求直径为d的圆形截面的截面核心。 解：建立坐标如图所示。 作一条与圆截面相切 于A点的直线，将直 线看成中性轴，则： 2 1 d ay 1 z a 16 4 64 2 2 4 z 2 z 2 y d d d A I ii z y A o C 材料力材料力

26、 学学 8 2 16 2 1 y 2 z p1 d d d a i y 0 1 1 z 2 y p a i z 于是1点的坐标为 )0 , 8 ( d 由于圆关于圆心极对称，于是截面核心， 也应为关于圆心极对称的截面，所以截面核 8 d 为半径的圆截面。 心为以o为圆心， z y A o 1 C 8 d 材料力材料力 学学 五、扭转与弯曲五、扭转与弯曲 仅讨论圆杆的扭转与弯曲组合变形。 材料力材料力 学学 1.1.外力分析外力分析 P： 对称面内的横向力引起平面弯曲。 m ： 作用平面为横截面的力偶，引起扭转。 P m x l y z 材料力材料力 学学 2.2.内力内力( (略去弯曲剪应力略

27、去弯曲剪应力) ) M = P(lx) T = m T M Pl m P m l x 材料力材料力 学学 3.3.应力应力 y I M p I T M引起的正应力 T引起的剪应力 C1 C2 C3 3 C y z y C1 C3 C2 y z 材料力材料力 学学 转90 t W T W M 外表面 外表面 横截面 t W T W M C1 叠加：C1点 材料力材料力 学学 转90 t W T W M 外表面 横截面 t W T W M C2点 C2 材料力材料力 学学 危险截面上的C1或C2点为危险点。 外轮廊线 C3点 t W T 3 C y I M 外表面 横截面 材料力材料力 学学 4.

28、4.强度条件强度条件 一般轴多采用塑性材料， 因而可选第三或第四强度理论。 C1 材料力材料力 学学 r3 = 1 3 )()()( 2 1 2 13 2 32 2 214r 求单元体C1的主应力： 22 min max ) 2 ( 2 材料力材料力 学学 22 3 ) 2 ( 2 0 2 4) 2 (2 2222 31 3 r 3 22 4 r 22 1 ) 2 ( 2 材料力材料力 学学 W M , 32 3 d W 而且 t W T , 16 3 t d W WW2 t 代入第三强度理论： 1 )(4)( 222 t 2 r3 TM WW T W M 75.0 1 )(3)( 222 t

29、 2 r4 TM WW T W M 对弯扭组合变形，危险点C1的变形为： 材料力材料力 学学 例例105 图示 一 弯 拐 ， 受 荷 载 F=4kN，弯拐直径 d=100mm，许用应 力为 =160MPa。 试按第三强度理论 校核强度。 3m B A C F 材料力材料力 学学 解：BC为平面弯曲Mmax=F2=8kN m， AB为弯扭组合Mmax=F3=12kN m， 最危险截面为A截面。 F=4kN 12kNm + 8kNm M T m=F2=8kN A 作AB杆的内力图： 材料力材料力 学学 22 3 22 r 321 3 AAAA TM d TM W 2323 93 )108(4)1012( 10100 32 MPaMPa16014710147 6 强度足够。