第5章-振动和波动(波动)课件.ppt

1、1第第5章章 振动和波动振动和波动21.1.振动在空间的传播过程叫做波动。振动在空间的传播过程叫做波动。2.常见的波有两大类常见的波有两大类:(3)在微观领域中还有物质波。在微观领域中还有物质波。3.各种波的本质不同各种波的本质不同,但其基本传播规律有许多相同之处。但其基本传播规律有许多相同之处。(1)机械波机械波 (机械振动的传播机械振动的传播)(2)(2)电磁波（交变电场、磁场的传播）电磁波（交变电场、磁场的传播）5.4 平面简谐波平面简谐波3波动是振动波动是振动状态的传播状态的传播，是能量的，是能量的传播，而不传播，而不是质点本身是质点本身的传播。的传播。1.产生机械产生机械波的条件波的

2、条件产生波的条件产生波的条件存在存在弹性介质弹性介质和和波源波源波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。将振动传播开去，从而形成机械波。5.4.1 机械波的产生与描述机械波的产生与描述t=T/2 t=3T/4 t=Tt=T/40481620 12 t=041 1）横波）横波各质点振动方向与波的传播方向垂直的波。各质点振动方向与波的传播方向垂直的波。根据介质质元的振动方向与波的传播方向间的关系，根据介质质元的振动方向与波的传播方向间的关系，可以将机械波分为两类：可以将机械波分为两类：横波横波和和纵波纵波。2.波的分类波的分类

3、 5各质点振动方向与波的传播方向平行的波。各质点振动方向与波的传播方向平行的波。纵波是靠介质疏密部变化传播的。纵波是靠介质疏密部变化传播的。任一波任一波,如水波、地表波，都能分解为横波与纵如水波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。波来进行研究。2 2）纵波）纵波6横轴横轴 x 表示波的传播方向表示波的传播方向yoxu坐标坐标 x 表示质点的平衡位置表示质点的平衡位置纵轴纵轴 y 表示质点的振动方向表示质点的振动方向坐标坐标 y 表示质点偏离平衡位置的位移表示质点偏离平衡位置的位移表示某一时刻波中各质点位移的图表示某一时刻波中各质点位移的图横波的波形图与实际的波形是相同的，但是对于纵波，横

4、波的波形图与实际的波形是相同的，但是对于纵波，波形图表示的是各质点位移的分布情况。波形图表示的是各质点位移的分布情况。3.波形图波形图74.描述波特性的几个物理量描述波特性的几个物理量 周期周期T:传播一个完整的波形所用的时间，传播一个完整的波形所用的时间，或一个完或一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间整的波通过波线上某一点所需要的时间。频率频率 ：单位时间内传播完整波形的个数。单位时间内传播完整波形的个数。波长波长 ：两相邻波峰或波谷或相位相同点间的距离，两相邻波峰或波谷或相位相同点间的距离，或振动在一个周期中传播的距离。或振动在一个周期中传播的距离。yoxu周期、频率与介质无关，波在不

5、同介质中频率不变。周期、频率与介质无关，波在不同介质中频率不变。波速波速u:单位时间某种振动状态（或振动相位）所传单位时间某种振动状态（或振动相位）所传播的距离称为波速播的距离称为波速u，也称之相速，也称之相速。8机械波的波速决定于介质的惯性和弹性，因此，机械波的波速决定于介质的惯性和弹性，因此，不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。在各向同性均匀固体中在各向同性均匀固体中横波横波纵波纵波/Gu /Eu G 切变弹性模量，切变弹性模量，E 杨氏模量，杨氏模量，密度。密度。yoxuT1 T、u 的关系的关系 Tu9若波源若波源作简谐振动作简谐振动,在波传

6、到的区域在波传到的区域,媒质中的质元媒质中的质元均作简谐振动，这种波称为均作简谐振动，这种波称为简谐波。简谐波。5.4.2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数人们用人们用波函数波函数描述波，描述波，波函数应能描述质点在空间波函数应能描述质点在空间任一点、任一点、任一时刻的位移。任一时刻的位移。(,)yf x t这个函数表达式也叫做这个函数表达式也叫做波动方程波动方程10【例【例1】设原点（非振源，是参考点）处的简谐振动设原点（非振源，是参考点）处的简谐振动为为 。假设假设u为波速为波速,媒质无吸收即质元振幅媒质无吸收即质元振幅均为均为A，沿，沿 x 正方向传播的简谐波的波函数是什么？正方向传

7、播的简谐波的波函数是什么？tAy cos0【答【答】0yuxPx uxtAy cos波从原点传到任一点波从原点传到任一点P(坐标为坐标为 x）所需的时间是）所需的时间是 x/u,所以任一时刻所以任一时刻 t,任一点任一点 P 的位移（即波函数）为的位移（即波函数）为11或：沿波的传播方向或：沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。各质元的相位依次落后。抓住概念：某时刻某质元的相位（振动状态）抓住概念：某时刻某质元的相位（振动状态）将在较晚时刻于将在较晚时刻于“下游下游”某处出现。某处出现。如何写出平面（一维）简谐波的波函数？如何写出平面（一维）简谐波的波函数？须知三个条件：须知三个条件：1.某参

8、考点的振动方程某参考点的振动方程(A,)2.波长波长 (或或 k,或或 u)3.波的传播方向波的传播方向0yuxPx12)cos(kxtA y 另外常用的几种写法：另外常用的几种写法：uxtAy cos对于对于思考：波形曲线和振动曲线有什么不同？思考：波形曲线和振动曲线有什么不同？)xTt(2cosAy 13任意任意 P P点的振动表达式为点的振动表达式为P P点的振动比点的振动比 a 点点落后落后【例【例2】设设媒质无吸收，媒质无吸收，参考点参考点 a 的振动表达式为的振动表达式为 aatAy cos已知波长为已知波长为 ，写出，写出沿沿+x方向传播的简谐波？方向传播的简谐波？【解【解】dx

9、 2ux dx0pa )(2dxtcosA ya 14 )(2dxtcosA ya ux dx0pa 问：沿问：沿 -x方向传播的简谐波表达式如何方向传播的简谐波表达式如何?)(2dxtcosA ya 15对于某一给定的相位对于某一给定的相位两边求导得两边求导得utx d dd d说明波的相位的传播速度就是波速说明波的相位的传播速度就是波速 u，所以，波速所以，波速 u也称为也称为相速度相速度。它可以超过光速。它可以超过光速。相速度相速度-这就是某一给定的相位的这就是某一给定的相位的 位置位置 x 与时间与时间 t 的关系。的关系。称为称为x 处处t 时刻的时刻的相位或相相位或相，它是最活跃的

10、因素，它是最活跃的因素，通常说：它决定了通常说：它决定了振动的状态振动的状态。uxt 常量常量 uxt uxt16【例例3】下图是一平面简谐波在下图是一平面简谐波在t=2t=2秒时的波形图，秒时的波形图，由图中所给的数据求：由图中所给的数据求：（1 1）该波的周期；（）该波的周期；（2 2）传）传播介质播介质O O点处的振动方程；（点处的振动方程；（3 3）该波的波动方程。）该波的波动方程。20.02cos(2)3yt 32 Ooy3O O点振动方程为点振动方程为20.02cos(2)103xyt 波动方程波动方程25 【解【解】利用旋转矢量法求出利用旋转矢量法求出o)cm(ys/m10u 1

11、-25)m(xT 1052322 ）（）（(s)762T 17【例【例4】如图所示，平面简谐波向右移动速度如图所示，平面简谐波向右移动速度 u=0.08 m/s，求：，求：.原点处的振动方程；原点处的振动方程；.波函数；波函数；.P 点的振动方程；点的振动方程；.a、b 两点振动方向。两点振动方向。解：解：m4.02.02 /5TusT/2 5/2 t=0 时时，o点处的质点处的质点向点向 y 轴负向轴负向运动运动 2/原点的振动方程为：原点的振动方程为：2t52cos04.0y oyoyuabPm2.0m04.0 x18.P 点的振动方程点的振动方程 Pxm4.0 208.04.0t52co

12、s04.0y 25t52cos04.0 a、b 振动方向振动方向如图所示如图所示.波函数波函数 208.0 xt52cos04.0y oyuabPm2.0m04.0 x19处的处的p点振动曲线如图。求：点振动曲线如图。求：O点（点（x=0)的振动表达的振动表达式和波函数。式和波函数。)m(y05.0O1)(st解：解：s/radT2,s2T,m05.0A 2 )m()2tcos(05.0)t,1(y 处质点超前处质点超前处质点位相比处质点位相比而而PO,muT)(61 23xx=-1的振动表达式的振动表达式解法解法1：【例【例5】一平面波沿一平面波沿-x方向传播，方向传播，u=3m/s,若若x

13、=-1m20)m()t(.)tcos(A)t,(y65050320 )m()xt(cos.)t,x(y)(6530502 )m()tcos(.)t,(y20501 由由)m()xt(cos.)m()uxt(cos.)t,x(y 65305021050 有：有：)m()tcos(.)t,(y 650500 解法解法2：21随着波的行进随着波的行进,能量在传播。能量在传播。波的能量波的能量 =振动动能振动动能 +形变势能形变势能考虑细长棒上一段考虑细长棒上一段小质元小质元 x，如图：如图：动能密度动能密度以沿以沿 x 轴传播的轴传播的平面简谐纵波平面简谐纵波为例：为例：sxx+x波在弹性媒质中传播

14、时波在弹性媒质中传播时,各质元都在振动，各质元都在振动，5.4.3 波的能量波的能量1.波动的能量波动的能量2222K2121 tyxSmvW 小质元动能小质元动能 uxtAy cos当有平面波传播时，当有平面波传播时，x 处，纵向位移处，纵向位移动能密度为动能密度为:2KK21 tyxSWw sxx+xyy+y msxx+x23 势能密度势能密度考虑细棒上小质元的弹性形变考虑细棒上小质元的弹性形变 yxx+xyy+yS弹性拉力：弹性拉力：yF 21弹性势能弹性势能=弹性拉力作的功弹性拉力作的功（变力的功）（变力的功）F=k yxSyFw 21p因因xyESF 势能密度又写为势能密度又写为:2

15、p21 xyEw0llESF 势能密度为势能密度为:24对沿对沿 x 轴传播的平面简谐波轴传播的平面简谐波 y(x,t)=Acos(t-kx)wk、wp 均随均随 t 周期性变化周期性变化,两者两者同相同大同相同大。怎么动能和势能之和不等于常数怎么动能和势能之和不等于常数,也不相互转化也不相互转化？22pk2121 xyEtywww)(sin21222kkxtAw )(sin21222pkxtAw E=u2由于由于;222uk w=wk+wp=2A2sin2 (t-x/u)能量密度能量密度252.波的强度波的强度单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均

16、能量单位面积的平均能量,称为平均能流密度称为平均能流密度,又称为又称为 波的强度波的强度 I。按周期平均的平均能量密度为按周期平均的平均能量密度为2221Aw w=wk+wp=2A2sin2(t-kx)因为因为uSux 平均能流密度平均能流密度(波的强度波的强度)即即 2221AuuwSuwI 2221 uAI 26【解【解】t/EP (1)S/PI (2)1310702 sJ.21210009 msJ.uwI (3)3410562 mJ.u/Iw 【例【例6】一平面简谐波，波速为一平面简谐波，波速为 340ms-1，频率为，频率为 300Hz在横截面积为在横截面积为 3.00 10-2m2的

17、管内的空气中传播，的管内的空气中传播，若在若在10秒内通过截面的能量为秒内通过截面的能量为 2.70 10-2J，求：，求：（1）通过截面的平均能流；）通过截面的平均能流；（2）波的平均能流密度；）波的平均能流密度；（3）波的平均能量密度。）波的平均能量密度。275.6.1 惠更斯原理惠更斯原理“媒质中波传到的各点媒质中波传到的各点,都可看作开始发射都可看作开始发射子波子波(次级波次级波)的子波源的子波源(点波源点波源)，在以后的任一时刻在以后的任一时刻,这些子波面的包络面这些子波面的包络面就是新的波前就是新的波前”。研究波的传播方向：研究波的传播方向：知道某时刻波前的位置，知道某时刻波前的位

18、置，能否知道下一时刻的波前位置？能否知道下一时刻的波前位置？若媒质若媒质均匀、各向同性均匀、各向同性,各子波都是各子波都是以波速以波速 u 向外扩展的球面波向外扩展的球面波。5.6 波的叠加波的叠加28例：例：已知已知 t 时刻的波面，得出时刻的波面，得出 t+t 时刻的波面时刻的波面,就可得出波的传播方向就可得出波的传播方向.平面波平面波t+t 时刻波面时刻波面u tt 时刻波面时刻波面t+t球面波球面波t不足不足:(1)不能说明子波为何不能倒退不能说明子波为何不能倒退.(2)不能正确说明某些波动现象不能正确说明某些波动现象(如干涉等如干涉等)实验说明了惠更斯原理的正确性。实验说明了惠更斯原

19、理的正确性。295.6.2 波的叠加原理波的叠加原理媒质中同时有几列波时媒质中同时有几列波时,每列波都将保持每列波都将保持自己原有的特性自己原有的特性,不受其它波的影响不受其它波的影响 -波传播的独立性波传播的独立性。“在几列波相遇而互相交叠的在几列波相遇而互相交叠的区域中区域中,某点的振动是各列波某点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振单独传播时在该点引起的振动的合成动的合成”-波的叠加原理波的叠加原理.当波的振幅、强度过大时，媒当波的振幅、强度过大时，媒质形变与弹力的关系不再呈线质形变与弹力的关系不再呈线性，叠加原理就不再成立性，叠加原理就不再成立。30考虑频率相同、振动方向相同、有恒考

20、虑频率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的两列波相遇时情况定的相位差的两列波相遇时情况2S设波源设波源 S1、S2的振动方程为：的振动方程为：)tcos(Ay11010 )tcos(Ay22020 1r2rP)r2tcos(Ay1111 )r2tcos(Ay2222 两列波在两列波在P点的振动方程为：点的振动方程为：P点合振动振幅：点合振动振幅：cosAA2AAA212221 5.6.3 波的干涉波的干涉1S31 1122r2r2 )2,1,0k(k2rr21212 21AAA 相遇点振动加强相遇点振动加强当当 )2,1,0k(k2rr21212 21AAA 相遇点振动减弱相遇点振动减弱当当频

21、率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的两列频率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，某些地方振波相遇时，使某些地方振动始终加强，某些地方振动始终减弱的现象叫做动始终减弱的现象叫做波的干涉。波的干涉。S1、S2在在P点引起振动的相位差为：点引起振动的相位差为：1212rr2 cosAA2AAA212221 32波程差为波长的整数倍时干涉加强。波程差为波长的整数倍时干涉加强。k )2,1,0k(21 当当12rrr 时时加强条件加强条件 )2,1,0k(k2rr21212 写为写为减弱条件减弱条件 )2,1,0k(k2rr21212 写为写为12rrr 2)1k

22、2()2,1,0k(波程差为半波长的奇数倍时干涉减弱。波程差为半波长的奇数倍时干涉减弱。33【例【例7 7】相干波源相干波源 A、B 位置如图所示，频率位置如图所示，频率=100Hz，波速波速 u=10 m/s，A-B=，求：求：P 点振动情况。点振动情况。【解【解】u m1.0 5m1rA 22B2015r ABPm205m1 200rr2ABAB 201 P P点干涉减弱点干涉减弱34【例【例8】两相干波源分别在两相干波源分别在 PQ 两点处，初相相同，两点处，初相相同，它们相距它们相距 3/2，由，由 P、Q 发出频率为发出频率为，波长为，波长为的两列相干波，的两列相干波，R 为为 PQ

23、 连线上的一点。求：自连线上的一点。求：自P、Q 发出的两列波发出的两列波在在 R 处的相位差。两波源在处的相位差。两波源在 R 处处干涉时的合振幅。干涉时的合振幅。2/3PQR【解【解】)rr(2PRQR 232 3 合振幅最小合振幅最小|AA|PQ 355.6.4 驻波驻波驻波是两列振幅、频率和传播速率都相同的相干波驻波是两列振幅、频率和传播速率都相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的。在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的。xTt2cosAy1 xTt2cosAy2设有向左传播的波和向右传播的波在原点处相设有向左传播的波和向右传播的波在原点处相位相同，它们的波动方程分别写

24、作：位相同，它们的波动方程分别写作：它们的合振动它们的合振动21yyy Tt2cosx2cosA2 驻波方程驻波方程1.驻波驻波36xxxxy0t 4Tt 2Tt 4T3t 波波节节振振幅幅始始终终为为 0 的的位位置置波波腹腹振振幅幅始始终终最最大大的的位位置置振振幅幅与与位位置置 x 有有关关波波节节两两侧侧的的振振动动相相位位相相反，反，两两波波节节间间同同步步振振动动驻驻波波的的波波形、形、能能量量都都不不能能传传播播37Tt2cosx2cosA2y x2cosA2 振幅波节位置决定于波节位置决定于0 x2cosA2 2)1k2(x2 4)1k2(x )2,1,0k(相邻波节距离相邻波

25、节距离4)1k2(41)1k(2xxk1k 2 )A20(38 kx2 2kx 相邻波腹距离相邻波腹距离2k2)1k(xxk1k 2 )2,1,0k(波腹位置决定于波腹位置决定于1x2cos 波节与波腹之间的距离为波节与波腹之间的距离为/4/4Tt2cosx2cosA2y 39绳上向某方向传播的波绳上向某方向传播的波 与在固定点反射的波合成的与在固定点反射的波合成的结果形成驻波。在反射点处的绳固定不动，是结果形成驻波。在反射点处的绳固定不动，是波节。波节。波节波节驻波驻波相位突变相位突变波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质x2 反射波与入射反射波与入射波的相位在此波的相位在此正好相反，有正好相反，

26、有“半波损失半波损失”。从波疏媒质从波疏媒质到波密媒质：有到波密媒质：有“半波损失半波损失”2.半波损失半波损失40 当当反射点处的绳是自由端时，反射波没有反射点处的绳是自由端时，反射波没有“半波损失半波损失”，形成的驻波在此是波腹。，形成的驻波在此是波腹。波腹波腹相位不变相位不变波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质x驻波驻波从波密媒质从波密媒质到波疏媒质：无到波疏媒质：无“半波损失半波损失”41【例【例9 9】入图所示，为一向右传播的简谐波在入图所示，为一向右传播的简谐波在 t 时时刻的波形图，当波从波疏介质入射到波密介质表面刻的波形图，当波从波疏介质入射到波密介质表面 BC，在，在 P 点反射

27、时，反射波在点反射时，反射波在 t 时刻波形图为时刻波形图为)A(PAyxo)C(yAPxo)B(POAxy)D(ByAoxCP（D D）OAxyp42多普勒效应：多普勒效应：当波源当波源S和观察者和观察者R有相对运动时，接有相对运动时，接收器所测得的频率收器所测得的频率 R不等于波源振动频率不等于波源振动频率 S的现象。的现象。介质中波速介质中波速u。设设 S 和和 R的运动沿二者连线。的运动沿二者连线。S 和和 R 的速率分别为的速率分别为vS、vR。三个频率三个频率:S 波源振动频率波源振动频率 波在介质中的频率波在介质中的频率 R 接收频率接收频率vRRSvSu5.7 多普勒效应多普勒

28、效应 43分几种情况讨论分几种情况讨论 S=，但但 R=?1 波源静止，接收器运动波源静止，接收器运动(vS=0，vR 0)设设R 向着静止的向着静止的S运动，运动，SRvRu单位时间内单位时间内 R 所接收的所接收的波的个数为波的个数为 /vvRRRuuu 因为因为 S=,SRRv uu R 靠近靠近S时，时，上式中上式中u+vR，R S ,声音变尖。声音变尖。R 远离远离S时，时，上式中上式中u-vR，Ru 时不适用时不适用)SSRv uu453.接收器、波源都运动接收器、波源都运动(vS 0、vR 0)S R综合上面综合上面 1、2 两种情况，有两种情况，有SSRRvv uuvRRSvS

29、uS、R相互靠近时，上式中相互靠近时，上式中u+vR、u-vS，得到得到 R S ,声音变尖。声音变尖。S、R相互靠近时，上式中相互靠近时，上式中u-vR、u+vS，得到得到 Ru)产生以产生以S 为顶点的圆锥形的波为顶点的圆锥形的波 Su vS 例：例：超音速飞机会在空气中超音速飞机会在空气中 激起冲击波。激起冲击波。例：例：船速超过水波波速时船速超过水波波速时 可以看到这种可以看到这种V形波。形波。上式失去意义，这时上式失去意义，这时 冲击波带冲击波带SSRRvv uu47多普勒效应的实际例子与应用多普勒效应的实际例子与应用1.测速测速测定汽车测定汽车,飞机等的速度飞机等的速度48光波也有

30、多普勒效应。光波也有多普勒效应。相互接近时相互接近时 R S 接收频率变高；接收频率变高；相互远离时相互远离时 R S 接收频率变低（红移）。接收频率变低（红移）。光波的传播不依靠媒质，光波的传播不依靠媒质，要从相对论来讨论其要从相对论来讨论其多普勒效应的原理（略）。多普勒效应的原理（略）。但是，定性的结论是一样的：但是，定性的结论是一样的：2.星体光谱的红移星体光谱的红移星体光谱都有红移现象星体光谱都有红移现象-宇宙在膨胀。宇宙在膨胀。49【解】（【解】（1）【例【例10】一声源振动的频率为一声源振动的频率为2040Hz，以速度，以速度 Vs向向一反射面接近，观察者在一反射面接近，观察者在A

31、处测得拍音的频率处测得拍音的频率=3 Hz，如果声速为，如果声速为340m/s，求波源移动的速度？如果波，求波源移动的速度？如果波源不动，反射面以速度源不动，反射面以速度V=0.20m/s向观察者接近，测向观察者接近，测得拍频得拍频=4 Hz，求波源的频率？，求波源的频率？观测者直接接收的频率：观测者直接接收的频率：ssVuu 观察者接收到的反射面反射的频率观察者接收到的反射面反射的频率（也就是反射面接收到的频率）：（也就是反射面接收到的频率）：ssVuu 3VuuVuussss 则：则：得出：得出：s/m25.0Vs SA50（2）观察者接收到的运动的反射面反射的频率：观察者接收到的运动的反射面反射的频率：反射面接收到的频率：反射面接收到的频率：suVu 反射面观测者直接接收的频率：观测者直接接收的频率：s 4VuV2VuVusss 则：则：Hz3398s 得出：得出：反射面 VuuR sVuVu AS