1、向量数乘运算及其几何意义宜兴市东山中学宜兴市东山中学 蒋云涛蒋云涛abbaa-b复习复习向量的减法向量的加法ababa+ba+b探究一：向量的数乘运算及其几何意义探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考思考1 1：已知非零向量：已知非零向量a，如何求作向量，如何求作向量aaa和（和（a）（）（a）（a）？）？aaaaO OM MN NP PO OaaaC CB BA Aaaa OC（a）（a）（a）OP数数形形O OaaaC CB BA AaaaO OM MN NP Paaaa=？（a）（a）（a）=？3 a-3 a 一般地，我们规定：实数一般地，我们规定：实数与向与向量量a的积是一个向量，这种
2、运算叫做的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘向量的数乘.记作记作a，该向量的长，该向量的长度与方向与向量度与方向与向量a有什么关系？有什么关系？（1 1）|a|=|=|a|；（2 2）0时时,a与与a方向相同；方向相同；0时时,a与与a方向相反；方向相反；=0时时,a =0.=0.探究二探究二:向量的数乘运算性质向量的数乘运算性质-2-2(5(5a)=-10)=-10a ；2 2a 2 2b=b=2(2(a+b)；(3(3 )a=3=3a a.22思考思考1 1：你认为：你认为2 2（5 5a），），2 2a2 2b，a可分别转化为什么运算？可分别转化为什么运算？(32)+思考思考2 2：一
3、般地，设：一般地，设，为实为实数，则数，则(a)，()a，(ab)分别等于什么？分别等于什么？(a)=?)=?；()a=?=?；(a b)=?.)=?.(a)=()=()a ；()a=a a；(a b)=)=ab.例例1 1 计算计算（1 1）（）（3 3）4 4a；（2 2）3 3（ab b）2 2（ab b）a；（3 3）（）（2 2a3 3b bc）（）（3 3a2 2b bc c）.如图，D,E分别为ABC的AB,AC的中点，求证：共线，并将 用 线性表示。DEBC与DEBCBDAEC 证明：D,E分别是AB,AC的中点DEBC共线。与即DEBC同向与且又BCDEBCDE,21BCDE
4、21探究三：向量共线定理探究三：向量共线定理思考思考1 1：对于向量：对于向量a（a00）和）和b，若存在实数若存在实数，使，使b=a，则，则向量向量a与与b的方向有什么关系？的方向有什么关系？思考思考2 2：若向量：若向量a（a00）与）与b共线，则共线，则一定存在实数一定存在实数，使，使b=a成立吗？成立吗？综上可得向量共线定理：综上可得向量共线定理：向量向量a（a00）与）与b共线，当且仅当共线，当且仅当有唯一一个实数有唯一一个实数，使，使b=a.2b3babO O例例2 2 如图，已知任意两个非零向量如图，已知任意两个非零向量a，b b，试作试作 =ab b，=a2 2b b，=a3 3b b.你能判断你能判断A A、B B、C C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？OAOB OC abA AB BC C1.1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减但实数与向量不能相加、相减.2.2.若若a=0=0，则可能有，则可能有=0，也可能有，也可能有 a=0.=0.3.3.向量共线定理是平面几何中证明三向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据论依据.
