1、湖南师大附中 刘东红灵活运用等差、等比数列灵活运用等差、等比数列的公式与性质的公式与性质类型一类型一 根据数列通项公式、求和公式，根据数列通项公式、求和公式，列方程组列方程组解决问题解决问题.类型二类型二类型三类型三nan与S 的关系12naaanS(1),(2).nnan1nn-1aSS(1)设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q,前前n项项和为和为Sn,若若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，则成等差数列，则q的值为的值为 .-2例例1 1n24=4,=20,naSSd(2)记等差数列的前n项和为S，则公差=.3n1*1n=1,=2S(nN),.nnnaaaa数列的前n项和为S，求数列
2、的通项例例2 21.公式法公式法常用的公式有：常用的公式有：(1)等差数列等差数列an的前的前n项和项和；(2)等比数列等比数列an的前的前n项和项和(3)12+22+32+n2=.11216n nn类型四类型四数列求和数列求和常用求和公式：常用求和公式：2.倒序相加法倒序相加法将一个数列倒过来排序，它与原将一个数列倒过来排序，它与原数列相加时，若有公因式可提，并数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易于求和，则这样的数且剩余的项易于求和，则这样的数列可用倒序相加法求和列可用倒序相加法求和.3.分组转化法分组转化法分析通项虽不是等差或等比数列，但它分析通项虽不是等差或等比数列，但它是等差数列
3、和等比数列的和的形式是等差数列和等比数列的和的形式,则则可进行拆分，分别利用基本数列的求和可进行拆分，分别利用基本数列的求和公式求和，如求公式求和，如求n(n+1)前前n项的和项的和.4.错位相减法错位相减法利用等比数列求和公式的推导方法利用等比数列求和公式的推导方法求解，求解，一般可解决型如一个等差数列一般可解决型如一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和，如求数列的求和，如求数列n3n的前的前n项和项和.5.裂项相消法裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后，把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，它适用消去一部分从而计算和的方法，
4、它适用于通项为于通项为 的前的前n项求和问题项求和问题。11nna a 求和：求和：(1)Sn=(2-35)+(4-352)+(2n-35n);(2)例例3 31111 ;1 53 75 9(21)(23nSnn ）(3)Tn=12+222+323+n2n.若若an成等差数列，成等差数列，bn成等比成等比数列，则若求数列数列，则若求数列an bn的前的前n项和项和Sn，用错位相减法；若求数列用错位相减法；若求数列 的的前前n项和，则用裂项相消法项和，则用裂项相消法.11nna a类型五类型五 等差或等比数列的判定等差或等比数列的判定1.等差数列的判定方法等差数列的判定方法.（1）定义法）定义法
5、：an+1-an=d(d是常数是常数)an是等差数列；是等差数列；（2）中项公式法）中项公式法：2an+1=an+an+2 an是等差数列；是等差数列；（3）通项公式法）通项公式法：an=pn+q(p、q为常数）为常数）an是等差数列；是等差数列；（4）前）前n项和公式法项和公式法：Sn=An2+Bn(A、B常数）常数）an是等差数列是等差数列.2.证明数列证明数列an是等比数列是等比数列一般有一般有两种方法：两种方法：（1）定义法）定义法：(nN*,q是常数是常数);（2）等比中项法）等比中项法：a2n+1=anan+2(nN*,an+10).1 nnaqann-1nPA BaABaRa加
6、法.(已知=+，,求常用)nnnnnnn+1nn1aS2ana.2a=1,a2a2a.1练习：数列满足，求练习：数列满足a，求例例4 41112.nnnnnnnnnaan在数列中，a=1,a=2a+2.(1)设b=,证明：数列是b 等比数列；（2）求数列a 的前n项和S1.方程思想和基本量思想：在解有方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和和d等基本量，通过建立方程（组）获等基本量，通过建立方程（组）获得解得解.2.用函数的思想理解等差数列的通用函数的思想理解等差数列的通项公式和前项公式和前n项和公式，从而解决最值项和公式，从而解决最值问题问题.单元滚动卷第六编
