1、7.3 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 一、基变换与过渡矩阵一、基变换与过渡矩阵 二、坐标变换公式二、坐标变换公式 三、小结、思考题三、小结、思考题 一、基变换公式与过渡矩阵 那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？标如何改变呢？ 问题问题：在：在 维线性空间维线性空间 中，任意中，任意 个线性个线性 无关的向量都可以作为无关的向量都可以作为 的一组基对于不同的的一组基对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的基，同一个向量的坐标是不同的 n V V n 且
2、有且有两个基两个基 的的是线性空间是线性空间及及设设 , , 2121nnn V , 2211 22221122 12211111 nnnnnn nn nn ppp ppp ppp 利用矩阵，上式可化为利用矩阵，上式可化为 P nn , 2121 基变换公式基变换公式 矩阵矩阵 称为由基称为由基 到基到基 的的过过 渡矩阵渡矩阵 , , 2121 中中 在基变换公式在基变换公式 P nn n , 21 n , 21 P 过渡矩阵过渡矩阵 是可逆的是可逆的 P 若两个基满足关系式若两个基满足关系式 P nn , 2121 二、坐标变换公式 ,) , , ( , ,),( , 1 21 21 21
3、 21 n T n n T nn xxx xxx V 下的坐标为下的坐标为在基在基 为为 下的坐标下的坐标在基在基中的元素中的元素设设定理定理 则有坐标变换公式则有坐标变换公式 , 2 1 2 1 nn x x x P x x x . 2 1 12 1 nn x x x P x x x 或或 证明：证明： n n x x x 2 1 21 , , 2 1 21 n n x x x P nn , 2121 . , 2 1 21 2 1 21 n n n n x x x P x x x . 2 1 2 1 nn x x x P x x x 即即 . , 2 1 12 1 nn x x x P x
4、x x P 所以所以可逆可逆由于矩阵由于矩阵 . , 23 , 22 , 22 , 12 , 1 , 12 , 1 ,2 23 4 23 3 2 2 23 1 23 4 23 3 23 2 23 1 3 求坐标变换公式求坐标变换公式 及及 中取两个基中取两个基在在 x xx x xx x xxx xx x xx x xx x xx xP 例1例1 ., 4321 4321 表示表示用用将将解解 ,)1 ,(),( 23 4321 Ax xx 因为因为 ,)1 ,(),( 23 4321 Bx xx , 2221 1120 3111 1202 , 1110 0111 1212 1111 BA其中
5、其中 .),(),( 1 4321 4321 B A 得得 . 4 3 2 1 1 4 3 2 1 x x x x AB x x x x 故坐标变换公式为故坐标变换公式为 . 1 A B 用初等变换计算用初等变换计算 AB 11102221 01111120 12123111 11111202 初等行变换初等行变换 11111000 10000100 00110010 11100001 11111000 10000100 00110010 11100001 A B E 1 1111 1000 0011 1110 . 1111 1000 0011 1110 4 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x 所以所以 基变换公式基变换公式 nnnnnn nn nn ppp ppp ppp 2211 22221122 12211111 P nn , 2121 三、小结 坐标变换公式坐标变换公式 , 2 1 2 1 nn x x x P x x x 或或 . 2 1 12 1 nn x x x P x x x
