大学精品课件：结构稳定-2.ppt

1、二二. .能量法确定临界荷载能量法确定临界荷载 例一例一: :求图示结构的临界荷载求图示结构的临界荷载. . P P EI l k y P P 解解: : 应变能应变能 ykyVe 2 1 PPV iie * 外力势能外力势能 2 sin2cos 2 lll l y l y ll 2 )( 2 1 ) 2 (2 2 22 l Py 2 2 结构势能结构势能 * PeP VVE 2 2 y l Plk 0 y l Plk dy dEP lkP cr 由势能驻值原理由势能驻值原理 得临界荷载得临界荷载 例二例二: :求图示结构的临界荷载求图示结构的临界荷载. . 解解: : 应变能应变能 2 2

2、2 1 2 1 2 1 kykyVe 2 )( 2 2 12 2 2 * l yy l y PPV iie 外力势能外力势能 结构势能结构势能 * PeP VVE 2 )( 2 2 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 1 l yy l y Pkyky k l P P EI l k 1 y P P 2 y )2(2)( 2 1 2 221 2 1 yPklyPyyPkl l 0 2 2 1 1 y y E y y E E PP P 0 1 y EP 0 2 y EP 0)( 1 21 1 PyyPkl ly EP 0)2( 1 21 2 yPklPy ly EP 0 2 PklP PPkl

3、 03 222 lkklPP kl kl klP 382. 0 618. 2 2 53 klP cr 382. 0 三三. .瑞利里兹法瑞利里兹法 )(xyEIM P P EI l P P EI x y x )(xy ds dxds dx dy 应变能应变能 l e dx EI xM V 0 2 )( 2 1 l e dxxyEIV 0 2 )( 2 1 dxydxdxds 2 )(1 1)(1( 2/12 ydx 1)( 2 1 1 2 ydx dxy 2 )( 2 1 dxydxds ll 2 00 )( 2 1 )( l e dxy P PV 0 2* )( 2 外力势能外力势能 结构势

4、能结构势能 * PeP VVE ll dxy P dxyEI 0 2 0 2 )( 2 )( 2 1 设设 )()()()( 2211 xaxaxaxy nn )( 1 xa ii n i 将无限自由度化为有限自由度将无限自由度化为有限自由度. . 结构势能则为结构势能则为 的多的多 元函数元函数, ,求其极值即可求出临界求其极值即可求出临界 荷载荷载. . n aaa, 21 l EIEI P P 2 2 l EI P cr l x axy sin)( 例例: :求图示体系的临界荷载求图示体系的临界荷载. . x y x )(xy 解解: : 1.1.设设 2 3 4 0 2 4 )( 2

5、1 a l EI dxxyEIV l e 2 2 0 2* 4 )( 2 Pa l dxy P V l e 2 2 3 4 ) 44 (aP ll EI EP 0) 22 ( 2 3 4 aP ll EI da dEP 0 22 2 3 4 P ll EI 精确解精确解: : 2 2 l EI P cr 2 12 l EI P cr 例例: :求图示体系的临界荷载求图示体系的临界荷载. . l EIEI P P x y x )(xy 解解: : )( 4 )( 2 2 xlx l a xy 2.2.设设 精确解精确解: : 2 2 l EI P cr 误差误差:+21.6:+21.6% 3.3

6、.设杆中作用集中荷载所引起的位设杆中作用集中荷载所引起的位 移作为失稳时的位移移作为失稳时的位移. . l/2 l/2 Q )(xy ) 2 0() 1216 ()( 32 l x xxl EI Q xy 令令 EI Ql a 3 48 ) 43 ()( 3 3 l x l x axy 2 10 l EI P cr 误差误差:+1.3:+1.3% 5. 剪力对临界力的影响剪力对临界力的影响 EIEI GAGA l P P x y x )( 1 xy )( 2 xy )( 1 xy 设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为 和和 )( 2 xy 2 2 2 2 1 2

7、 2 2 )()( dx yd xd xyd dx xyd EI M y 1 同时考虑弯矩和剪力对变形的影响时同时考虑弯矩和剪力对变形的影响时 的挠曲微分方程的建立的挠曲微分方程的建立: 二者共同影响产生的挠度为二者共同影响产生的挠度为 )()()( 21 xyxyxy 近似的曲率为近似的曲率为 弯矩引起的曲率为弯矩引起的曲率为 dx xdy)( 2 dx dM GAGA Q dx 2 dy Q Q 截面形状系数截面形状系数 矩形截面为矩形截面为1.2 圆形截面为圆形截面为1.11 2 2 2 2 2 )( dx Md GAdx xyd 挠曲微分方程为挠曲微分方程为 2 2 2 2 )( dx

8、 Md GAEI M dx xyd EIEI GAGA l P P x y x )( 1 xy )( 2 xy dx 2 dy Q Q 2 2 2 2 2 )( dx Md GAdx xyd 挠曲微分方程为挠曲微分方程为 2 2 2 2 )( dx Md GAEI M dx xyd 对于图示两端铰支的等截面杆对于图示两端铰支的等截面杆,有有 yPMPyM , 2 2 2 2 )( dx yd GA P EI Py dx xyd 0)1 ( y EI P GA P y 令令 )1 ( 2 GA P EI P m 0)()( 2 xymxy 方程的通解方程的通解 mxBmxAxysincos)(

9、边界条件边界条件 0)( 0)0( ly y EIEI GAGA l P P x y x )( 1 xy )( 2 xy dx 2 dy Q Q 对于图示两端铰支的等截面杆对于图示两端铰支的等截面杆,有有 yPMPyM , 2 2 2 2 )( dx yd GA P EI Py dx xyd 0)1 ( y EI P GA P y 令令 )1 ( 2 GA P EI P m 0)()( 2 xymxy 方程的通解方程的通解 mxBmxAxysincos)( 边界条件边界条件 0)( 0)0( ly y 0sinmlB 0sinml稳定方程稳定方程 lmml/, )1 ( 2 2 GA P EI

10、 l P EI lGA EI l P cr 2 2 2 2 1 k P EIEI GAGA l P P x y x )( 1 xy )( 2 xy dx 2 dy Q Q 0sinmlB 0sinml稳定方程稳定方程 lmml/, )1 ( 2 2 GA P EI l P EI lGA EI l P cr 2 2 2 2 1 k P EI l P k 2 2 不计剪变的欧拉临界力不计剪变的欧拉临界力 EI lGA 2 2 1 1 修正系数修正系数 k P GA 1 1 k G 1 1 欧拉临界应力欧拉临界应力 对于三号钢对于三号钢,比例极限为比例极限为200MPa. 若取若取 2 . 180G

11、Pa,GMPa,200 k 1 003. 1 1 结论结论:实体实体杆件中杆件中,剪力对临界荷剪力对临界荷 载的影响很小载的影响很小,可略去不计可略去不计. 不计剪力对临界荷不计剪力对临界荷 载的影响载的影响 所得到的临界荷载是大还是小所得到的临界荷载是大还是小? 6. 组合压杆的稳定组合压杆的稳定 缀条式缀条式 缀板式缀板式 肢杆肢杆 缀条缀条 缀板缀板 组合压杆的临界荷载比组合压杆的临界荷载比 截面和柔度相同的实体截面和柔度相同的实体 压杆的小压杆的小, ,节间数目较多节间数目较多 时可用上节推出的实体压杆时可用上节推出的实体压杆 的临界荷载计算公式作近似计算的临界荷载计算公式作近似计算.

12、 . kcr PP EI l P k 2 2 k P GA 1 1 dx 2 dy Q Q GA Q GA dx 2 dy Q Q GA Q GA 一一. .缀条式组合压杆缀条式组合压杆 1Q 1Q P P l d b z d/tan 11 11 EA lN 2 1 11 不计肢杆轴变不计肢杆轴变. . P A-水平缀条截面积水平缀条截面积. . q A -斜杆截面积斜杆截面积. . qP EA d EA b sin ) cos 1 ( ) 1( 2 2 11 )tan/(db ) cossin 1 tan 1 ( 2 qP AAE d ) cossin 1 tan 1 ( 1 2 qP AA

13、E P P l d b z 1Q 1Q 11 dx 2 dy Q Q GA Q GA ) cossin 1 tan 1 ( 1 2 qP AAE kcr PP EI l P k 2 2 k P GA 1 1 ) cossin 1 tan 1 ( 1 1 2 qP k k cr AAE P P P I 的计算的计算: : I 为两根肢杆的截面对为两根肢杆的截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩. 设一根肢杆的截面积为设一根肢杆的截面积为A,对自身形心轴的惯性矩为对自身形心轴的惯性矩为I1 2 1 2 1 2 1 2) 2 (22AbI b AII P P l d b z 1Q 1Q 11 kcr PP E

14、I l P k 2 2 k P GA 1 1 ) cossin 1 tan 1 ( 1 1 2 qP k k cr AAE P P P 若略去横杆影响若略去横杆影响, ,两侧都有缀条两侧都有缀条, ,则上式为则上式为 2 cossin2 1 1 q k k cr AE P P P 若写成欧拉问题基本形式若写成欧拉问题基本形式 2 2 )( l EI P cr 22 2 cossin2 1 1 q Al I 2 cossin2 1 1 q k k cr AE P P P 若写成欧拉问题基本形式若写成欧拉问题基本形式 2 2 )( l EI P cr 22 2 cossin2 1 1 q Al I

15、 若用若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴代表两肢杆截面对整个截面形心轴z z的回转半径的回转半径, ,即即 2 2ArI 并且并且, ,一般一般 为为 , ,故可取故可取 6030 27 cossin 2 2 并引入长细比并引入长细比 rl/ 2 27 1 q A A 若采用换算长细比若采用换算长细比 , ,则有则有 h 若用若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴代表两肢杆截面对整个截面形心轴z z的回转半径的回转半径, ,即即 2 2ArI 并且并且, ,一般一般 为为 , ,故可取故可取 6030 27 cossin 2 2 并引入长细比并引入长细比 rl/ 2 27 1 q A A 若采用换算长细比若采用换算长细比 , ,则有则有 h q h A A r l 27 2 上式既是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式上式既是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式. .