大学精品课件：有限单元法-1.ppt

1、 有限单元法初步有限单元法初步 有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构 分析方法，用于板壳、实体等结构的分析。分析方法，用于板壳、实体等结构的分析。 有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。 1 2 4 6 3 5 离散化：离散化： 水坝水坝 单元分析：单元分析： 整体分析：整体分析： 求应力：求应力： 1 杆系结构的有限单元法杆系结构的有限单元法 1.1 泛函与变分泛函与变分 “最速落径问题”最速落径问题”-质量为质量为m的小环从的小环从A处自由滑下，处自由滑下， 试选择一条

2、曲线使所需时间最短。（不计摩擦）试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦） A B X Y 设路径为设路径为 y=y（x） 22 dydxds dx dt y dt ds v 2 1 ghv2 dx gh y dt 2 1 2 a dx gh y xyT 0 2 2 1 )(所需时间所需时间 a y 称称T T为为y y（x x）的泛函，）的泛函， y y（x x）为自变函数。）为自变函数。 即以函数作自变量以积即以函数作自变量以积 分形式定义的函数为泛函。分形式定义的函数为泛函。 1.1 泛函与变分泛函与变分 X A Y )()()( * xyxyxy )()(2)( 2 xyxyxy 变分

3、运算在形式上与微分运算相同。变分运算在形式上与微分运算相同。 y=y（x） x+dx dy x )( * xyy )(xy 称称 为为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。的变分，它是一个无穷小的任意函数。 )(xy 微分与变分运算次序可以交换。微分与变分运算次序可以交换。 )()( dx dy y dx d 积分与变分运算次序也可以交换。积分与变分运算次序也可以交换。 2 1 2 1 )(,()(, x x x x dxxyxfdxxyxf 1.2 变形体虚位移原理变形体虚位移原理 l e dxxyxqW 0 )()( 外力虚功外力虚功 l i dxxNxQxkxMW 0 )()()()

4、( 内力虚功内力虚功 虚功方程虚功方程 ei WW ll dxxNxQxkxMdxxyxq 00 )()()()()()( 1.3 势能原理势能原理 1.1.应变能应变能 弯曲应变能弯曲应变能 P P 2/ PVe l dxM 0 2 1 拉压应变能拉压应变能 2/ PVe l dxN 0 2 1 P P P P 剪切应变能剪切应变能 2/ PVe l dxQ 0 2 1 y（x） 平衡位置 q(x) y 2.2.外力势能外力势能 1.3 势能原理势能原理 1.1.应变能应变能 弯曲应变能弯曲应变能 P P P P 2/ PVe l dxM 0 2 1 拉压应变能拉压应变能 2/ PVe l

5、dxN 0 2 1 P P 剪切应变能剪切应变能 2/ PVe l dxQ 0 2 1 1 2 3 1 P 2 P 3 P 外力从变形状态退回到无位移的外力从变形状态退回到无位移的 原始状态中所作的功原始状态中所作的功. . iie PV * y(x) q(x) l e dxxyxqV 0 * )()( 3.3.结构势能结构势能 * PeP VVE 1.2 变形体虚位移原理变形体虚位移原理 虚功方程虚功方程 ll dxxNxQxkxMdxxyxq 00 )()()()()()( y（x） 平衡位置 q(x) y ll qydxdxNQM 00 2 1 1.2 变形体虚位移原理变形体虚位移原理

6、虚功方程虚功方程 ll dxxNxQxkxMdxxyxq 00 )()()()()()( y（x） 平衡位置 q(x) y 2.2.外力势能外力势能 1.3 势能原理势能原理 1.1.应变能应变能 弯曲应变能弯曲应变能 2/ PVe l dxM 0 2 1 拉压应变能拉压应变能 2/ PVe l dxN 0 2 1 剪切应变能剪切应变能 2/ PVe l dxQ 0 2 1 外力从变形状态退回到移的外力从变形状态退回到移的 原始状态中所作的功原始状态中所作的功. . iie PV * l e dxxyxqV 0 * )()( 3.3.结构势能结构势能 * PeP VVE ll qydxdxNQ

7、M 00 2 1 对于线弹性杆件体系对于线弹性杆件体系 EI M GA Q EA N l P dx EA N GA Q EI M E 0 222 2 1 l qydx 0 1.2 变形体虚位移原理变形体虚位移原理 虚功方程虚功方程 ll dxxNxQxkxMdxxyxq 00 )()()()()()( y（x） 平衡位置 q(x) y 1.3 势能原理势能原理 4.4.势能原理势能原理 对于线弹性杆件体系对于线弹性杆件体系 EI M GA Q EA N l P dx EA N GA Q EI M E 0 222 2 1 l qydx 0 对于线弹性杆件体系对于线弹性杆件体系, ,虚功方程为虚功

8、方程为: : ll dx EA N N GA Q Q EI M Mdxxyxq 00 )()( 或或 ll dx EA N GA Q EI M qydx 0 222 0 222 ll qydxdx EA N GA Q EI M 00 222 0) 222 ( 即即 0 P E 在弹性结构的一切在弹性结构的一切可能位移可能位移中，真实位移中，真实位移 使结构势能取驻值。使结构势能取驻值。 满足结构位移边界条件的位移满足结构位移边界条件的位移 1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析 单元杆端力单元杆端力 e e F F F 2 1 一、建立位移模式一、

9、建立位移模式 -用杆端位移表示杆中位移用杆端位移表示杆中位移 EA,l x 1 e q(x) 1 F 2 F 2 2 1 1 2 单元杆端位移单元杆端位移 e e 2 1 bxaxu)( 设杆中任一点位移设杆中任一点位移 1 )0(0ux 2 )(lulx l ba 12 1, a、b称为称为广义坐标广义坐标 21 )1 ()( l x l x xu 令令 -自然坐标自然坐标 l x 21 )1 ()(u 2 1 21 NN 1 1 N 2 N 形形( (状状) )函数函数 0, 1 211 N时的时的 杆中位移杆中位移. . 0, 1 122 N时的时的 杆中位移杆中位移. . 21 NNN

10、 e N -形函数矩阵形函数矩阵 形函数性质形函数性质: 1. 0) 1 (1)0( 11 NN 1) 1 (0)0( 22 NN 若若 021 0021 )()(NNNu e 2. 1)()( 21 NN )(u中包含刚体位移中包含刚体位移 1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析 EA,l x 1 e q(x) 1 F 2 F 2 2 1 1 2 dx ud 杆中任一点应变杆中任一点应变 一、建立位移模式一、建立位移模式 -用杆端位移表示杆中位移用杆端位移表示杆中位移 1 1 N 2 N 21 NNN e Nu -应变矩阵应变矩阵 二、应变分析二

11、、应变分析 -用杆端位移表示杆中应变用杆端位移表示杆中应变 e N dx d e dx dN dx dN 21 e B 21 BBB lB/1 1 lB/1 2 三、应力分析三、应力分析 -用杆端位移表示杆中内力用杆端位移表示杆中内力 杆中任一点应力杆中任一点应力 E e BE 杆中任一截面的轴力杆中任一截面的轴力 AN e BEA 1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析 EA,l x 1 e q(x) 1 F 2 F 2 2 1 1 2 一、建立位移模式一、建立位移模式 -用杆端位移表示杆中位移用杆端位移表示杆中位移 1 1 N 2 N 21 N

12、NN e Nu 二、应变分析二、应变分析 -用杆端位移表示杆中应变用杆端位移表示杆中应变 e B 21 BBB lB/1 1 lB/1 2 三、应力分析三、应力分析 -用杆端位移表示杆中内力用杆端位移表示杆中内力 e BEAN 四、单元分析四、单元分析 -用杆端位移表示杆端力用杆端位移表示杆端力 单元应变能单元应变能 l e dxxxNV 0 )()( 2 1 l ee dxBBEA 0 2 1 单元外力势能单元外力势能 lBBEA ee 2 1 lBBEA e T T e 2 1 l e T e P dxxuxqFV 0 * )()( l ee T e dxNxqF 0 )( l e T e

13、 dxNxqF 0 )( 1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析 EA,l x 1 e q(x) 1 F 2 F 2 2 1 1 2 四、单元分析四、单元分析 -用杆端位移表示杆端力用杆端位移表示杆端力 单元应变能单元应变能 l e dxxxNV 0 )()( 2 1 l ee dxBBEA 0 2 1 单元外力势能单元外力势能 lBBEA ee 2 1 lBBEA e T T e 2 1 l e T e P dxxuxqFV 0 * )()( l ee T e dxNxqF 0 )( l e T e dxNxqF 0 )( 单元的总势能单元的总势

14、能 lBBEAE e T T e P 2 1 l e T e dxNxqF 0 )( 单元是平衡的单元是平衡的 0 P E e T T e P BEAlBE 0)( 0 l e T e dxNxqF 0)( 0 e lT e T T e dxNqFBEAlB 0)( 0 lT e T T e dxNqFBEAlB l T ee T dxNqFBEAlB 0 1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析 EA,l x 1 e q(x) 1 F 2 F 2 2 1 1 2 单元的总势能单元的总势能 lBBEAE e T T e P 2 1 l e T e d

15、xNxqF 0 )( 单元是平衡的单元是平衡的 0 P E e T T e P BEAlBE 0)( 0 l e T e dxNxqF 0)( 0 e lT e T T e dxNqFBEAlB 0)( 0 lT e T T e dxNqFBEAlB l T ee T dxNqFBEAlB 0 上式记作上式记作 e E eee FFk 其中其中 BEAlBk T e llEAl l l /1/1 /1 /1 11 11 l EA -局部坐标系下的单元刚度矩阵局部坐标系下的单元刚度矩阵 l T e E dxNxqF 0 )( -单元等效结点荷载单元等效结点荷载 1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析 单元分析的步骤单元分析的步骤: : 1.1.以单元结点位移表示单元内位移以单元结点位移表示单元内位移, ,的性函数矩阵的性函数矩阵 N 2.2.由应变分析得到应变矩阵由应变分析得到应变矩阵 B 3.3.由势能驻值原理或变形体虚功原理建立单元刚度方程由势能驻值原理或变形体虚功原理建立单元刚度方程 得到单刚与单元等效结点荷载得到单刚与单元等效结点荷载 坐标转换与矩阵位移法相同坐标转换与矩阵位移法相同