第四节-数列求和衡水中学校内自用资料课件.pptx

1、栏目索引文数课标版第四节数列求和栏目索引1.求数列的前求数列的前n项和的方法项和的方法(1)公式法(i)等差数列的前n项和公式Sn=na1+.1()2nn aa(1)2n nd教材研读教材研读栏目索引(ii)等比数列的前n项和公式当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn=.(2)分组转化法把数列的每一项转化成几项之和,使所求和转化为几个等差、等比数列之和,再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法1(1)1naqq11naa qq栏目索引把数列分别正着写和倒着写再相加,倒序相加法是对等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法适用于一个

2、等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,错位相减法是对等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法若一个数列的前n项和中,可两两合并求解,这种方法称为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.栏目索引2.常见的裂项公式常见的裂项公式(1)=-;(2)=;(3)=-.1(1)n n1n11n1(21)(21)nn12112121nn11nn1nn栏目索引较为合理.()(2)如果数列an为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=.()(3)求S

3、n=a+2a2+3a3+nan时只要把等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得.()(4)如果数列an是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).()1()2nn aa111naaq判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)如果已知等差数列的通项公式,那么在求其前n项和时使用公式Sn=栏目索引1.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则它的前n项和Sn=()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n2-2答案答案CSn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+(2n+2n-1)=(21+22+2n)+1+3+5+(2n-

4、1)=+=2n+1-2+n2.故选C.2(1 2)1 2n1(21)2nn栏目索引答案答案 BS15=1-5+9-13+(413-3)-(414-3)+(415-3)=7(-4)+57=29,S22=1-5+9-13+(421-3)-(422-3)=11(-4)=-44,S31=1-5+9-13+(429-3)-(430-3)+(431-3)=15(-4)+121=61,S15+S22-S31=29-44-61=-76.故选B.2.已知数列an的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),则S15+S22-S31的值是()A.13B.-76C.46D.76栏目索引

5、3.数列的前n项之和为,则n=.答案答案99解析解析由题意得+=-+-+-+-=1-=,令=,解得n=99.1(1)n n9910011 212 313 41(1)nn1112121313141n11n11n1nn1nn99100栏目索引4.已知数列an的前n项和为Sn,且an=n2n,则Sn=.答案答案(n-1)2n+1+2解析解析an=n2n,Sn=121+222+323+n2n.2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1.-,得-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+12(1 2)1 2n=(1-n)2n+1-2.Sn=(n-1)2n+1+2

6、.栏目索引考点一错位相减法求和考点一错位相减法求和典例典例1(2016山东,19,12分)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列bn的通项公式;(2)令cn=.求数列cn的前n项和Tn.解析解析(1)由题意知当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,符合上式,所以an=6n+5.设数列bn的公差为d.由即1(1)(2)nnnnab112223,abbabb11112,1723,bdbd考点突破考点突破栏目索引可解得所以bn=3n+1.(2)由(1)知cn=3(n+1)2n+1.由Tn=c1+c2+cn,得Tn

7、=3222+323+(n+1)2n+1,2Tn=3223+324+(n+1)2n+2,两式作差,得-Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=3=-3n2n+2.所以Tn=3n2n+2.14,3.bd1(66)(33)nnnn24(12)4(1)212nnn栏目索引方法技巧方法技巧(1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘等比数列bn的公比,然后作差求解;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.栏目索引1-1 (2016吉林长

8、春外国语学校期末)已知数列an是公差大于零的等差数列,数列bn为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)设cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.解析解析(1)设数列an的公差为d(d0),数列bn的公比为q,由已知得解得或22(1)1,12213,qddq10,4dq 2,2.dq栏目索引d0,d=2,q=2,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=22n-1=2n,即an=2n-1(nN*),bn=2n(nN*).(2)由(1)知cn=anbn=(2n-1)2n,Tn=12+322+523+(2n-1)2n,2Tn=122

9、+323+524+(2n-1)2n+1,-得Tn=-12-222-223-22n+(2n-1)2n+1=-2-23-24-2n+1+(2n-1)2n+1=-2-+(2n-1)2n+1=6+(2n-3)2n+1.312(1 2)1 2n栏目索引考点二裂项相消法求和考点二裂项相消法求和典例典例2 (2015课标,17,12分)Sn为数列an的前n项和.已知an0,+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式;(2)设bn=,求数列bn的前n项和.解析解析(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.可得-+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=-=(an+1+

10、an)(an+1-an).由an0,可得an+1-an=2.又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.2na11nna a2na21na21na2na21na2na21a栏目索引所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn=.设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn=.11nna a1(21)(23)nn12112123nn1211111135572123nn3(23)nn栏目索引易错警示易错警示利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.有些情况下,裂项时需

11、要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.栏目索引2-1数列an的前n项和为Sn=2n+1-2,数列bn是首项为a1,公差为d(d0)的等差数列,且b1,b3,b9成等比数列.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)若cn=(nN*),求数列cn的前n项和Tn.2(1)nnb栏目索引又a1=S1=21+1-2=2=21,也满足上式,所以数列an的通项公式为an=2n,由b1,b3,b9成等比数列,得(2+2d)2=2(2+8d),解得d=0(舍去)或d=2,所以数列bn的通项公式为bn=2n.(2)由(1)得cn=,所以数列cn的前n项和Tn=+=1-+-+-=1-=.2(1)

12、nnb1(1)n n11 212 313 41(1)nn1212131n11n11n1nn解析解析(1)当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n,栏目索引考点三分组转化法求和考点三分组转化法求和典例典例3(2015福建,17,12分)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=+n,求b1+b2+b3+b10的值.解析解析(1)设等差数列an的公差为d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+

13、210)+(1+2+3+10)22na 1114,(3)(6)15,adadad13,1.ad=+102(1 2)1 2(1 10)102=(211-2)+55=211+53=2101.栏目索引规律总结规律总结(1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组转化法求an的前n项和.(2)对于通项公式为an=的数列,其中bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和.(3)采用分组转化法求和是将所求数列和分解转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,这就需要通过对数列通项结构特点进行分析研究,将数列的通项合理分解转化.,nnb nc n为奇数为偶数栏目索引3-

14、1(2017山东临沂期中)设数列an的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a3+1,a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足anbn=-1,求数列bn的前n项和Tn.解析解析(1)数列an的前n项和Sn=2an-a1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,an=2an-1(n2).数列an是公比为2的等比数列.a1,a3+1,a4成等差数列,2(a3+1)=a4+a1,2a3+2=2a3+a1,2na栏目索引解得a1=2,an=2n.(2)由(1)知,an=2n.anbn=-1,2na2nbn=(2n)2-1,bn=2n-,Tn=b1+b2+b3+

15、bn=+=(2+22+23+2n)-=-=2n+1+-3.12n1112222122122nn2311112222n2(1 2)1 2n11122112n12n栏目索引3-2已知数列an的通项公式是an=23n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,求其前n项和Sn.解析解析 Sn=2(1+3+3n-1)+-1+1-1+(-1)n(ln2-ln3)+-1+2-3+(-1)nnln3,当n为偶数时,Sn=2+ln3=3n+ln3-1;当n为奇数时,Sn=2-(ln2-ln3)+ln31 31 3n2n2n1 31 3n12nn栏目索引=3n-ln3-ln2-1.综上所述,Sn=12n3ln3 1,213ln3ln2 1,.2nnnnnn为偶数为奇数