线性函数与数学模型课件.ppt

1、第 1 章直線和線性函數直線和線性函數1.1 笛卡兒座標系統笛卡兒座標系統笛卡兒座標系統笛卡兒座標系統Tan/管理數學第1章 第2頁3笛卡兒座標系統笛卡兒座標系統Tan/管理數學第1章 第2-3頁4笛卡兒座標系統笛卡兒座標系統Tan/管理數學第1章 第3-4頁5距離的公式距離的公式距離的公式距離的公式平面上的兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)之間的距離d為(1)222121()()dxxyyTan/管理數學第1章 第4頁6例題例題 1l試求(4,3)與(2,6)兩點之間的距離。解：解：令平面上的兩點分別為P1(4,3)與P2(2,6)，則利用公式(1)可得11224326xyxy 22

2、222(4)(63)63 45 3 5d Tan/管理數學第1章 第5頁7例題例題 2l令P(x,y)是圓上的一點，此圓半徑為r，中心點為C(h,k)，請找出 x 與 y的關係式。解：解：根據圓的定義，C(h,k)與圓上的點P(x,y)的距離為 r，利用公式(1)可得兩邊平方即得22()()xhykr222()()xhykrTan/管理數學第1章 第5頁8距離的公式距離的公式圓方程式圓方程式圓心C(h,k)，半徑為r的圓方程式(equation of a circle)為 (x h)2+(y k)2=r2 (2)Tan/管理數學第1章 第5頁9例題例題 3l找出下列的圓方程式：a.半徑為2，圓

3、心在(1,3)。b.半徑為3，圓心在原點。解：解：a.將r=2,h=1 及k=3代入公式(2)，即得x (1)2+(y 3)2=22 (x+1)2+(y 3)2=4見圖7(a)。Tan/管理數學第1章 第6頁10例題例題 3（續）（續）b.將r=3,h=k=0代入公式(2)，可得x2+y2=32x2+y2=9 見圖7(b)。Tan/管理數學第1章 第6頁111.2 直線直線線的斜率線的斜率l假設L是通過相異兩點(x1,y1)及(x2,y2)的唯一線。若x1 x2，則L斜率(slope)定義如下：非垂線的斜率非垂線的斜率假設L是條非垂線(nonvertical line)且通過兩相異點(x1,y

4、1)及(x2,y2)，則可計算其斜率m(3)參見圖9。2121yyymxxxTan/管理數學第1章 第11頁12線的斜率線的斜率Tan/管理數學第1章 第11頁13線的斜率線的斜率l若x1=x2，則L是一條垂線(vertical line)，其斜率無定義(undefined)，見圖10。Tan/管理數學第1章 第12頁14線的斜率線的斜率Tan/管理數學第1章 第12頁15線的斜率線的斜率l圖12 顯示出一群通過原點的直線及其斜率，由圖中可以很明顯看到斜率的正負與線的走向關係。Tan/管理數學第1章 第12-13頁16例題例題 1l畫出通過點(2,5)，斜率為 的直線。解：解：首先將點(2,5

5、)標到圖上(見圖13)。其次，考慮斜率為 代表x 增加一個單位時，y將減少 個單位。因此，若x增加3個單位時，y將減少 個單位，因此我們走到了另一個點(1,1)。最後，此兩點連線即為所求。4343434343Tan/管理數學第1章 第13頁17例題例題 1（續）（續）Tan/管理數學第1章 第13頁18例題例題 2l一直線通過點(1,1)與(5,3)，找出其斜率m。解：解：令(x1,y1)為點(1,1)，(x2,y2)為點(5,3)。將x1=1,y1=1,x2=5,y2=3 代入公式(3)可得參見圖14。212131215(1)63yymxx Tan/管理數學第1章 第13-14頁19例題例題

6、 2（續）（續）Tan/管理數學第1章 第14頁20例題例題 3l找出通過點(2,5)與(3,5)的直線斜率。解：解：利用公式(3)可得參見圖15。55003(2)5m Tan/管理數學第1章 第14頁21線的斜率線的斜率l從上例可知水平線(horizontal line)的斜率是0。此外，我們可從兩線的斜率判斷它們是否平行。平行線平行線相異的兩條線互相平行平行(parallel)，若且唯若其斜率相等或均無定義。Tan/管理數學第1章 第14頁22例題例題 4l令L1為通過點(2,9)與(1,3)的線，L2為通過點(4,10)與(3,4)的線，試問L1與L2是否平行？解：解：L1與L2的斜率分

7、別為由於m1=m2，故L1與L2是平行的(見圖16)。123921(2)41023(4)mm Tan/管理數學第1章 第15頁23例題例題 4Tan/管理數學第1章 第15頁24線方程式線方程式l令L為平行於y軸(垂直於x軸)的直線，則L切過x軸的(a,0)點，其x座標必然是x=a，a為任意的實數。所以，L的線方程式可寫成x=aL即是垂線。例如，圖17的兩條垂線，其線方程式分別為x=2 及x=3。Tan/管理數學第1章 第15頁25線方程式線方程式Tan/管理數學第1章 第16頁26線方程式線方程式l假設L是一條非垂線，其斜率為m，(x1,y1)為線上的一個點。令(x,y)是L線上另一點，則由

8、公式(3)可得交叉相乘後，即得下列點斜式(point-slope form)方程式(4)。11yymxx點斜式點斜式已知一直線的斜率是m，且通過點(x1,y1)，則其線方程式為 y y1=m(x x1)(4)Tan/管理數學第1章 第16頁27例題例題 5l一直線通過點(1,3)，斜率為2，求其線方程式。解：解：可利用點斜式，將點座標代(1,3)，斜率代2 y 3=2(x 1)y y1=m(x x1)化簡成2x y+1=0Tan/管理數學第1章 第16頁28例題例題 6l一線通過點(3,2)與(4,1)，求其線方程式。解：解：我們首先求出斜率再利用點斜式，將點座標代(4,1)，斜率代參見圖18

9、。1 234(3)7m 37m ()113 1(4)7 773123750yym xxyxyxxy Tan/管理數學第1章 第17頁29例題例題 6Tan/管理數學第1章 第17頁30線方程式線方程式互相垂直的線互相垂直的線若L1與L2為相異的兩條非垂線，斜率分別為m1與m2，則L1與L2互相垂直垂直(perpendicular)(寫成L1 L2)若且唯若121mm Tan/管理數學第1章 第17頁31例題例題 7l一線通過點(3,1)並與例題5 之直線垂直，寫出其線方程式。解：解：例題5 的直線斜率是2，因此與其垂直的線，斜率應為 。運用點斜式，可以得到參見圖19。12m 11()1 1(3

10、)2 223250yym xxyxyxxy Tan/管理數學第1章 第18頁32例題例題 7（續）（續）Tan/管理數學第1章 第18頁33線方程式線方程式l若一直線L不是水平線也不是垂線，它必然與x軸和y軸相交。假設 L 與 x 軸交於(a,0)，與 y 軸交於(0,b)，則a,b分別稱為線 L 的 x 截距(x-intercept)與 y 截距(y-intercept)，參見圖20。Tan/管理數學第1章 第18頁34線方程式線方程式l令L直線的斜率為m，y截距為b。因L經(0,b)的點，故由點斜式(即公式(4)可得 y b=m(x 0)y=mx+b該式稱為斜截式(slope-interc

11、ept form)。斜截式斜截式一直線的斜率是m且與y軸相交於(0,b)，則其線方程式為 y=mx+b (5)Tan/管理數學第1章 第19頁35例題例題 8l一直線的斜率是3，y 截距是4，寫出其線方程式。解：解：在公式(5)中代入m=3 及b=4 即得線方程式y=3x 4Tan/管理數學第1章 第19頁36例題例題 9l給定線方程式3x 4y=8，找出該線的斜率及y截距。解：解：我們可以先將線方程式改寫成然後與公式(5)比較，可知 。因此，該線的斜率是 ，y截距是 2。324yx3,24mb 34Tan/管理數學第1章 第19頁37例題例題 10 運動器材的銷售額運動器材的銷售額l某地區一

12、家運動器材店銷售經理繪製了過去5年的銷售圖，並發現資料點約形成一條直線(見圖21)。請用第一年與第五年的資料點找出其趨勢線(trend line)，並預測第六年的銷售額。Tan/管理數學第1章 第19-20頁38例題例題 10（續）（續）解：解：由圖21可以知道第一年與第五年的資料點為(1,20)與(5,60)，利用公式(3)先求出斜率如下再用點(1,20)與斜率m=10 代入點斜式即得y 20=10(x 1)y=10 x+1060201051mTan/管理數學第1章 第20頁39例題例題 10（續）（續）解：（續）解：（續）將x=6代入所得的方程式，可預測第六年的銷售額為y=10(6)+10

13、=70即70,000元。Tan/管理數學第1章 第20頁40線方程式的一般式線方程式的一般式線方程式的一般式線方程式的一般式含x,y變數的一般式線性方程式為Ax+By+C=0 (6)其中，A,B,C是常數且A,B至少有一數不為0。一直線的方程式一定是線性方程式；同時，每一線性方程式恰好代表著一條直線。Tan/管理數學第1章 第21頁41例題例題 12l畫出3x 4y 12=0 的線。解：解：由於相異的兩點決定一條直線，因此我們只要找出滿足方程式的兩個點，即可畫出所要的線。為方便起見，令y=0 解得x=4，我們有了第一個點(4,0)；令x=0解得y=3，於是我們有了第二個點(0,3)。連接此兩點

14、即得該線，見圖22。Tan/管理數學第1章 第21頁42例題例題 12（續）（續）Tan/管理數學第1章 第21頁43線方程式的一般式線方程式的一般式直線方程式直線方程式垂線：x=a水平線：y=b點斜式：y y1=m(x x1)斜截式：y=mx+b一般式：Ax+By+C=0Tan/管理數學第1章 第22頁441.3 線性函數與數學模型線性函數與數學模型數學模型數學模型Tan/管理數學第1章 第29頁45函數函數函數函數函數函數(function)f 定義了x 與 y 之間的對應規則，每個 x值對應一且唯一的y值。線性函數線性函數我們稱函數 f(x)=mx+b為線性函數線性函數(linear f

15、unction)，其中 m 和 b 為任意的常數。Tan/管理數學第1章 第30-31頁46例題例題 1 美國健康照護花費美國健康照護花費l由於美國高齡人口快速成長，預期未來幾十年其健康照護花費將明顯增加。下表列出美國2008-2013年的健康照護花費(單位：兆元)，2009年以後為預估值：l表中的數據可以下列數學模型描述：S(t)=0.134t+2.325其中t代表年份，起始年(t=0)為2008 年。Tan/管理數學第1章 第31頁47例題例題 1 美國健康照護花費（續）美國健康照護花費（續）a.繪出函數S的圖形。b.假設這個趨勢繼續維持下去，2014年(即t=6)時，美國健康照護花費估計

16、為若干？c.試問自2008 至2013 年期間，美國健康照護花費的增加速率為何？資料來源：Centers for Medicare&Medicaid Services.Tan/管理數學第1章 第31頁48例題例題 1 美國健康照護花費（續）美國健康照護花費（續）解：解：a.函數S的圖形如圖24所示。Tan/管理數學第1章 第32頁49例題例題 1 美國健康照護花費（續）美國健康照護花費（續）解：（續）解：（續）b.估計2014年時，美國健康照護花費為S(6)=0.134(6)+2.325=3.129大約為3.13 兆元。c.因為函數S是線性的，所以美國健康照護花費S的 增加速率即該直線的斜率。

17、由函數中t 的係數可以 得知線的斜率為0.134，因此健康照護花費每年大 約增加0.134 單位，即每年增加0.134 兆元。Tan/管理數學第1章 第32頁50例題例題 2 線性折舊線性折舊l一台網路伺服器的初始價值是10,000元，經線性折舊5年後的殘值為3,000元。a.寫出其帳面價值的函數，以t代表折舊的年 份。b.2年後該網路伺服器的帳面價值若干？c.此網路伺服器的折舊速率為何？Tan/管理數學第1章 第32頁51例題例題 2 線性折舊（續）線性折舊（續）解：解：a.令V為t年後網路伺服器的帳面價值。在線性 折舊的假設下可知V為線性函數，圖形呈直 線。由已知條件可以找出兩點，即t=0

18、 時 V=10,000，以及t=5 時V=3,000，故此兩 點座標為(0,10,000)與(5,3,000)，據此可出 斜率10,0003,0007,0001,400055m Tan/管理數學第1章 第33頁52例題例題 2 線性折舊（續）線性折舊（續）解：（續）解：（續）再以點(0,10,000)與斜率m=1,400代入點斜式得V 10,000=1,400(t 0)V=1,400t+10,000參見圖25。Tan/管理數學第1章 第33頁53例題例題 2 線性折舊（續）線性折舊（續）解：（續）解：（續）Tan/管理數學第1章 第33頁54例題例題 2 線性折舊（續）線性折舊（續）解：（續）

19、解：（續）b.2 年後該網路伺服器的帳面價值為V=1,400(2)+10,000=7,200 即7,200元。c.此網路伺服器的折舊速率等於折舊線的斜率 取絕對值，因m=1,400，故網路伺服器每 年折舊1,400 元。Tan/管理數學第1章 第33頁55線性成本、線性收入及線性利潤函數線性成本、線性收入及線性利潤函數成本函數、收入函數及利潤函數成本函數、收入函數及利潤函數令x代表產品的生產量或銷售量，則成本函數成本函數(cost function)為C(x)=生產x個產品的總成本收入函數收入函數(revenue function)為R(x)=銷售x個產品的總收入利潤函數利潤函數(profit

20、 function)為P(x)=生產並銷售x個產品得到的總利潤Tan/管理數學第1章 第34頁56例題例題 3 利潤函數利潤函數l某家濾水器製造商的固定成本為每月20,000 元，單位生產成本為20元，單位售價為30元，請列出該製造商的成本、收入及利潤函數。解：解：令x代表濾水器的生產量及銷售量，則C(x)=20 x+20,000R(x)=30 xP(x)=R(x)C(x)=30 x (20 x+20,000)=10 x 20,000Tan/管理數學第1章 第34-35頁57線性需求函數線性需求函數Tan/管理數學第1章 第35頁價格(price)個數l特性：需求個數會隨價格降低而增加58例題

21、例題 4 需求函數需求函數l一鬧鐘在單位價格8 元時需求量是48,000 個，單位價格12元時需求量降到32,000 個。a.在線性的假設下，請寫出需求方程式。b.當需求量為40,000個時，單位價格為多 少？c.若單位價格為14元，則需求量是多少？Tan/管理數學第1章 第35頁59例題例題 4 需求函數（續）需求函數（續）解：解：a.令p為鬧鐘的單位價格，x為p元價格下的需 求量(單位：千個)。由題意知 p=8時 x=48，因此點(48,8)在需求曲線上。同樣 地，點(32,12)亦在需求曲線上。由這兩點 我們可以先求出斜率128413248164m Tan/管理數學第1章 第36頁60例

22、題例題 4 需求函數（續）需求函數（續）解：（續）解：（續）其次，將點(48,8)與斜率值代入點斜式，可得需求曲線繪於圖27。18(48)41 204pxpx Tan/管理數學第1章 第36頁61例題例題 4 需求函數（續）需求函數（續）解：（續）解：（續）Tan/管理數學第1章 第36頁62例題例題 4 需求函數（續）需求函數（續）解：（續）解：（續）b.將x=40(代表需求量為40,000 個)代入 需求方程式 故單位價格為10元。1(40)20104p Tan/管理數學第1章 第36頁63例題例題 4 需求函數（續）需求函數（續）解：（續）解：（續）c.以p=14 代入，解下列需求方程式

23、 得知需求量為24,000 個。1 14204164 24xxx Tan/管理數學第1章 第36頁64線性供應函數線性供應函數l特性：供應個數隨價格增加而增加。Tan/管理數學第1章 第37頁65例題例題 5 供應函數供應函數l一商品的供應方程式為4p 5x=120，p的單位是元，x的單位是100。a.試繪出供應曲線。b.試問單位價格55 元時，供應量為多少？Tan/管理數學第1章 第37頁66例題例題 5 供應函數（續）供應函數（續）解：解：a.x=0時由供應方程式得知p截距為30，而 p=0 時又求得x截距為24，因此繪一直線 通過點(0,30)與(24,0)，則該線位於第一 象限的部分即

24、所求的供應曲線。b.將p=55 代入供應方程式，解 4(55)5x=120，得x=20，故市場的供應 量為2,000 個。Tan/管理數學第1章 第37頁67例題例題 5 供應函數（續）供應函數（續）解：（續）解：（續）Tan/管理數學第1章 第38頁681.4 直線的交點直線的交點尋找二線的交點尋找二線的交點l實務上有些問題的解就在兩線的交點(intersection)上。以下我們說明如何以代數的方法解二直線的交點。令L1,L2代表兩條直線，其線方程式分別為y=m1x+b1y=m2x+b2其中m1,b1,m2,b2是常數，兩直線交於P(x0,y0)，如圖30。Tan/管理數學第1章 第42頁

25、69尋找二線的交點尋找二線的交點Tan/管理數學第1章 第42頁70例題例題 1l請找出二直線y=x+1 與y=2x+4 的交點。解：解：令 y 值相等，則x+1=2x+4 3x=3 x=1將所得 x 值代入任一線方程式即解出 y=2，參見圖31。Tan/管理數學第1章 第42-43頁71例題例題 1（續）（續）解：（續）解：（續）Tan/管理數學第1章 第43頁72損益兩平分析損益兩平分析l假設公司的成本、收入及利潤函數均為線性，其方程式如下：C(x)=cx+F R(x)=sx P(x)=R(x)C(x)=(s c)x FTan/管理數學第1章 第43-44頁成本函數成本函數收入函數收入函數

26、73例題例題 2 損益兩平水準損益兩平水準l培特公司的產品單位生產成本是4 元，每個售價10 元，已知公司每月的固定成本為12,000元，試求其損益兩平點。解：解：首先依題意列出成本與收入的函數如下C(x)=4x+12,000R(x)=10 x見圖33。Tan/管理數學第1章 第44頁74例題例題 2 損益兩平水準（續）損益兩平水準（續）解：（續）解：（續）Tan/管理數學第1章 第44頁75例題例題 2 損益兩平水準（續）損益兩平水準（續）解：（續）解：（續）令R(x)=C(x)，解10 x=4x+12,000 6x=12,000 x=2000再將解得之x值代入R(x)求損益兩平收入R(20

27、00)=(10)(2000)=20,000因此，如公司營運上欲求得損益兩平，則每個月需生產2000 個產品，此時每月的損益兩平收入為20,000 元。Tan/管理數學第1章 第45頁76例題例題 3 損益兩平分析損益兩平分析l承例題2 回答下列問題：a.如果培特公司每個月僅生產並銷售1,500 個 產品，公司的損失會是多少？b.如果每個月生產並銷售3,000 個產品，公司 的利潤會是多少？c.培特公司應生產多少個產品才能保證至少有 9,000元的獲利？Tan/管理數學 第1章 第45頁Tan/管理數學第1章 第45頁77例題例題 3 損益兩平分析（續）損益兩平分析（續）解：解：我們先列出利潤函

28、數如下P(x)=R(x)C(x)=10 x (4x+12,000)=6x 12,000a.因P(1500)=6(1500)12,000=3,000，意味 公司每月會有3,000 元的損失。b.因P(3000)=6(3000)12,000=6,000，意味 公司每月會有6,000元的利潤。Tan/管理數學第1章 第45頁78例題例題 3 損益兩平分析（續）損益兩平分析（續）解：（續）解：（續）c.設定利潤函數值為9,000，求x的解：9,000=6x 12,000 6x=21,000 x=3,500所以公司每月至少要生產3,500 個產品，才能達到最低9,000元的獲利目標。Tan/管理數學第1

29、章 第45頁79例題例題 4 決策分析決策分析l羅森公司的管理階層必須在兩種製造程序中做選擇。兩種程序其月成本函數分別為C1(x)=20 x+10,000 以及C2(x)=10 x+30,000，其中x為產品的生產量。今知產品單價為40元，且預計月銷售量是800個，則公司的管理階層應選擇何種程序以使利潤最大？Tan/管理數學第1章 第46頁80例題例題 4 決策分析（續）決策分析（續）解：解：在第一種程序下，計算營運的損益兩平水準可得 40 x=20 x+10,000 20 x=10,000 x=500Tan/管理數學第1章 第46頁81例題例題 4 決策分析（續）決策分析（續）解：（續）解：

30、（續）而第二種程序下的營運損益兩平水準為 40 x=10 x+30,000 30 x=30,000 x=1,000Tan/管理數學第1章 第46頁82例題例題 4 決策分析（續）決策分析（續）解：（續）解：（續）由於預計的月銷售量只有800個，不到1,000個，若使用第二種程序，羅森公司將無法獲利，因此公司的管理階層應選擇第一種程序，方能獲得利潤。Tan/管理數學第1章 第46頁83市場均衡市場均衡Tan/管理數學第1章 第47頁84例題例題 6 市場均衡市場均衡l溫馬公司專門生產掛壁式溫度計，其產品的需求方程式為5x+3p 30=0供應方程式為52x 30p+45=0其中，x為需求數量(單位

31、：1,000 個)，p為溫度計之單價。請找出均衡數量與價格。Tan/管理數學第1章 第47-48頁85例題例題 6 市場均衡（續）市場均衡（續）解：解：本題需解聯立方程式5x+3p 30=0 52x 30p+45=0我們可以用代換法(method of substitution)求解，即任意選取一個方程式，將其中的一個變數表示成另一變數的形式，再代入另一方程式中。Tan/管理數學第1章 第48頁86例題例題 6 市場均衡（續）市場均衡（續）解：（續）解：（續）假設我們先從需求方程式著手35305 103pxpx Tan/管理數學第1章 第48頁87例題例題 6 市場均衡（續）市場均衡（續）解：

32、（續）解：（續）再將p的結果代入供應方程式中55230104503 5250300450 10225502555 1022xxxxxxTan/管理數學第1章 第48頁88例題例題 6 市場均衡（續）市場均衡（續）解：（續）解：（續）然後將所得的x值代回 p 式，求得 p 值如下因此，我們得到均衡數量為2.5 1,000=2,500個，均衡價格為每個溫度計5.83元。55103225 10635 5.836p Tan/管理數學第1章 第48頁89例題例題 7 市場均衡市場均衡l某一廠牌的DVD 播放機在單價260元時，需求量為8,000台；於單價200元時，需求量增加為10,000台。又知單價低

33、於100元時，製造商將不供應商品；但單價高於100元時每提升50元，製造商將增加1,000台的供應量。今假設需求與供應方程式均為線性。a.寫出需求方程式。b.寫出供應方程式。c.找出均衡數量與價格。Tan/管理數學第1章 第48-49頁90例題例題 7 市場均衡（續）市場均衡（續）解：解：令p為DVD 播放機的單價(單位：100 元)，x為其數量(單位：1,000 台)。a.由於需求函數已假設為線性，因此可 知需求曲線是通過點(8,2.6)與(10,2)的 直線，求得斜率22.60.3108m Tan/管理數學第1章 第49頁91例題例題 7 市場均衡（續）市場均衡（續）解：（續）解：（續）再

34、將點(10,2)與斜率m=0.3代入點斜式可得需求方程式 p 2=0.3(x 10)p=0.3x+5見圖35。Tan/管理數學第1章 第49頁92例題例題 7 市場均衡（續）市場均衡（續）解：（續）解：（續）Tan/管理數學第1章 第49頁93例題例題 7 市場均衡（續）市場均衡（續）解：（續）解：（續）b.供應曲線是通過點(0,1)與(1,1.5)的直線，求得斜率 再將點(0,1)與斜率m=0.5 代入點斜式可得 供應方程式p 1=0.5(x 0)p=0.5x+1 見圖35。1.510.510mTan/管理數學第1章 第49頁94例題例題 7 市場均衡（續）市場均衡（續）解：（續）解：（續）

35、c.解需求與供應的聯立方程式如下：p=0.3x+5p=0.5x+1 設兩式的等號右側相等，得0.8x 4=0 故x=5。將x值代入需求或供應方程式均可得到 p=3.5。因此，均衡數量為5,000台，均衡價格為 350元。Tan/管理數學第1章 第50頁95例題例題 7 市場均衡（續）市場均衡（續）解：（續）解：（續）Tan/管理數學第1章 第49頁1.5 最小平方法最小平方法Tan/管理數學第1章 第56頁斜截式最小平方法斜截式最小平方法假設有以下 n 個資料點P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),Pn(xn,yn)其最小平方線(或迴歸線)方程式為y=f(x)=mx+b其

36、中，m與b由正規方程組(normal equations)(9)與(10)求解而得121222212121122(.).(9)(.)(.).(10)nnnnnnnbxxx myyyxxx bxxxmx yx yx y1.5 最小平方法最小平方法例題例題 1l找出下列資料點之最小平方線P1(1,1),P2(2,3),P3(3,4),P4(4,3),P5(5,6)解：解：此題共有5個資料點，故n=5，且x1=1 x2=2 x3=3 x4=4 x5=5y1=1 y2=3 y3=4 y4=3 y5=6Tan/管理數學第1章 第56頁例題例題 1（續）（續）解（續）：解（續）：在解方程式之前，建議先計算

37、下表求出各欄總和：Tan/管理數學第1章 第56頁例題例題 1（續）（續）解（續）：解（續）：將表格值代入方程式(9)與(10)即得正規方程組5b+15m=17(11)15b+55m=61 (12)由方程式(11)解b 得(13)Tan/管理數學第1章 第56頁1735bm 例題例題 1（續）（續）解（續）：解（續）：將之代入方程式(12)可得再將m值代入方程式(13)得到Tan/管理數學第1章 第56-57頁1715355615 4551 5561 1010 1mmmmmm17230.455b 例題例題 1（續）（續）解（續）：解（續）：因此，所求最小平方線為y=x+0.4本例之散佈圖與最小

38、平方線示於圖38。Tan/管理數學第1章 第57頁例題例題 1（續）（續）Tan/管理數學第1章 第57頁例題例題 2 美國健康照護花費美國健康照護花費l本題承自第1.3 節例題1。由於美國高齡人口快速成長，預期未來幾十年其健康照護花費將明顯增加。下表列出美國2008-2013年的健康照護花費(單位：兆元)，其中t代表年份，起始年(t=0)為2008年，2009 年以後為預估值。l試利用最小平方法找出美國健康照護花費的函數。資料來源：Centers for Medicare&Medicaid Services.Tan/管理數學第1章 第57頁例題例題 2 美國健康照護花費（續）美國健康照護花費

39、（續）解：解：首先由下表計算各欄總和：Tan/管理數學第1章 第58頁例題例題 2 美國健康照護花費（續）美國健康照護花費（續）解（續）：解（續）：將表中數值代入方程式(9)與(10)即得正規方程組 6b+15m=15.95(17)15b+55m=42.21(18)由方程式(17)解b 得 b 2.5m+2.6583(19)Tan/管理數學第1章 第58頁例題例題 2 美國健康照護花費（續）美國健康照護花費（續）解（續）：解（續）：再將m值代入方程式(19)得到b 2.5(0.1335)+2.6583 2.3246故所求得健康照護花費函數為S(t)=0.134t+2.325Tan/管理數學第1章 第58頁