结构地震反应分析与抗震计算课件.ppt

1、第3章结构地震反应分析与抗震计算熟悉结构基本周期、地震反应、反应谱、地震影 响系数、地震作用及地震作用效应等基本术语了解地震作用的计算方法(重点)熟练掌握底部剪力法、振型分解法了解结构抗震验算的基本内容和要求本章学习内容与目标 3.1 概述GkxgGxmFggmaxmax 1.静力理论阶段静力理论阶段-静力法静力法1920年，日本大森房吉提出的，假设建年，日本大森房吉提出的，假设建筑物为绝对刚体筑物为绝对刚体)(txg m)(txmg 地震作用：地震作用：gxkg max-地震系数：反映震级、震中距、地基等的影响地震系数：反映震级、震中距、地基等的影响将将F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的

2、地震效应作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应2.反应谱理论反应谱理论-振型分解反应谱法振型分解反应谱法1940年美国皮奥特教授提出年美国皮奥特教授提出地震作用地震作用GkFGk-重力荷载代表值重力荷载代表值-地震系数（反映震级、震中距、地基等的影响）地震系数（反映震级、震中距、地基等的影响）-动力系数动力系数(反映结构的特性反映结构的特性,如周期、阻尼等的影响如周期、阻尼等的影响)目前，是世界上普遍采用的方法目前，是世界上普遍采用的方法将实际地震加速度时程记录（简称地震记录将实际地震加速度时程记录（简称地震记录 earth-quakerecord）作为动荷载输入，进行结构的地震响应分析

3、）作为动荷载输入，进行结构的地震响应分析-用于用于大震分析大震分析计算以及计算以及大型、复杂结构大型、复杂结构的地震反应计算的地震反应计算悬臂柱悬臂柱 例：考虑一受水平地震作用而产生侧向运动例：考虑一受水平地震作用而产生侧向运动的等截面悬臂柱，如右图所示。该柱质量沿的等截面悬臂柱，如右图所示。该柱质量沿柱高连续均匀分布，属无限自由度体系。采柱高连续均匀分布，属无限自由度体系。采用集中质量法将其离散化用集中质量法将其离散化1.1.将该柱等分成将该柱等分成a a、b b、c c三个单元三个单元2.2.每个单元质量的一半分配给单元两端的每个单元质量的一半分配给单元两端的节点，即节点，即m m3 3为

4、单元为单元a a质量的一半，质量的一半，m m2 2为单为单元元a a、b b质量一半之和，质量一半之和，m m1 1为单元为单元b b、c c质质量一半之和，从而构成一个三质点体系量一半之和，从而构成一个三质点体系 简支梁简支梁例：考虑一简支梁，采用广义坐标法将其离散化例：考虑一简支梁，采用广义坐标法将其离散化 1.1.将其挠度函数将其挠度函数y y（x x，t t）表示为：）表示为：2.2.简支梁的动能简支梁的动能T T与弯曲变形能与弯曲变形能V V可表示为：可表示为：3.3.阻尼力与荷载所做的功可表示为：阻尼力与荷载所做的功可表示为：4.4.将式（将式（1 1）代入式（）代入式（2 2）

5、、（）、（3 3）即可将结构的功、能函数用广义坐标表示出）即可将结构的功、能函数用广义坐标表示出来，从而将结构离散化来，从而将结构离散化1(,)()()niiiy x tx z t(1)式中：式中：形状函数；形状函数；zi（t）广义坐标广义坐标 ()it简支梁简支梁 (2)(3)计算简图及体系自由度计算简图及体系自由度某些工程结构，如某些工程结构，如单层厂房、水塔等，单层厂房、水塔等，可将该结构中参与可将该结构中参与振动的所有质量全振动的所有质量全部折算至顶部，而部折算至顶部，而将墙、柱视为一个将墙、柱视为一个无重量的弹性杆，无重量的弹性杆，这样就形成了一个这样就形成了一个单质点体系单质点体系

6、 3.1 概述运动方程建立方法D.Alembert原理虚位移原理Hamiltion原理 能量法3.2.1 3.2.1 运动方程运动方程x0(t)x(t)外力与惯性力相互平外力与惯性力相互平衡，即外力与惯性力衡，即外力与惯性力之和之和=0S阻尼力阻尼力D D弹性恢复力弹性恢复力S S惯性力惯性力I I 单质点动力方程的建立单质点动力方程的建立 (Jean Le Rond dAlembert,1717-1783)法国著名的物理学家、数学家和天文学家 3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析)()(0txtxmI (t)x-cDkx(t)SS)()()()(0txmtkxtxctxm I+S+D=00

7、22xxxx :2;/:则有令mCmk可见，单质点弹性体系在可见，单质点弹性体系在地震作用下的运动方程，地震作用下的运动方程，即结构动力学中的单质点即结构动力学中的单质点强迫振动强迫振动)()(0txtxmI (t)x-cDkx(t)S3.2.1 3.2.1 运动方程运动方程3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析gxxxx 22)()()()(txmtkxtxctxmg mk将方程将方程化简，方程左右两边同化简，方程左右两边同除以除以m，得：得：rccmc2式中：式中：无阻尼自振圆频率，简称自振频率无阻尼自振圆频率，简称自振频率阻尼系数阻尼系数 与临界阻尼系数与临界阻尼系数 的的比值，简称阻尼

8、比比值，简称阻尼比CCrC3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析gxxxx 22单自由度弹性体系在地震作用下的运动方程：单自由度弹性体系在地震作用下的运动方程：是一常系数二阶非齐次微分方程是一常系数二阶非齐次微分方程其通解由两部分组成：其通解由两部分组成：1 1：齐次解，：齐次解，代表自由振动代表自由振动2 2：特解，：特解，代表强迫振动代表强迫振动3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析022xxx txxtxex(t)tsin(0)(0)cos)0(对一般结构（阻尼比较小），其齐次解为：对一般结构（阻尼比较小），其齐次解为：式中：式中：)0(x为为t t0 0时体系的初始位移时体系的初始位移

9、)0(x 为为t t0 0时体系的初始速度时体系的初始速度3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析txxtxex(t)tsin(0)(0)cos)0(21kmcmc22式中式中有阻尼体系的自振频率有阻尼体系的自振频率有阻尼体系的自振频率将随着阻尼系数有阻尼体系的自振频率将随着阻尼系数c的增大而减小，即阻尼越大，自振频率越慢的增大而减小，即阻尼越大，自振频率越慢rckmmc22 10从而表示结构不再振动表示结构不再振动为临界阻尼比 1称为临界阻尼系数rc3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析实际工程中，一般不考虑阻尼影响，取：实际工程中，一般不考虑阻尼影响，取：此时，无阻尼体系的齐次解为：此时，无

10、阻尼体系的齐次解为：txtxx(t)sin)0(cos)0(建筑抗震设计中，阻尼比建筑抗震设计中，阻尼比一般在一般在0.010.10.010.1之间，之间，计算时混凝土结构通常取计算时混凝土结构通常取0.050.053.2 单自由度体系的弹性地震反应分析无阻尼自由振动：无阻尼自由振动：振幅始终不变振幅始终不变有阻尼自由振动：有阻尼自由振动：振幅随时间的增加而减小，体系振幅随时间的增加而减小，体系 的阻尼越大，其振幅的衰减就越快的阻尼越大，其振幅的衰减就越快 3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析gxxxx 222 2、非齐次方程的解、非齐次方程的解运动方程运动方程将等号右端将等号右端地面运动加

11、速度地面运动加速度视为随时间视为随时间变化的单位质量的变化的单位质量的“扰力扰力”，即：，即：ggxxmtP )(m)(tP)(tx冲量法：冲量法：将荷载看成是连续作将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移加即为动荷载引起的位移3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析)(tP)(tx)(tPtdtt3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析0mvmvpdt0 xmmvPdt 瞬时冲量的反应瞬时冲量的反应 动量定律：冲量等于动量的改变量动量定律：冲量等于动量的改变量t=0 时时,即在体系静止状态下作

12、用瞬时冲量即在体系静止状态下作用瞬时冲量)(tPttPdtmPdtx/00)(2120dtmPxtxtxtxsincos)(00tmPdtsin无阻尼无阻尼3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析 时刻作用瞬时冲量时刻作用瞬时冲量)(sin)(tmPdtx)(tPttPdm)(tP)(ty)(tPttd)(P荷载荷载P(t)作用下的位移反应作用下的位移反应 冲量法冲量法dtmPtxt)(sin)()(0-杜哈美积分杜哈美积分3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析dtmPtxt)(sin)()(0d)(sin)()(0)(tttemPtx计阻尼：计阻尼：无阻尼：无阻尼：dtextxttgsin10

13、 杜哈美积分，即为非齐次方程的特解杜哈美积分，即为非齐次方程的特解 由于体系在地震波作用之前处于静止状态，齐次解为由于体系在地震波作用之前处于静止状态，齐次解为0 0上式即为处于静止状态的上式即为处于静止状态的单自由度体系地震位移反应单自由度体系地震位移反应计算公式计算公式注意：注意：杜哈美积分只能用于弹性计算杜哈美积分只能用于弹性计算3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析3.2.3 3.2.3 运动方程的解运动方程的解022xxx 3.2.3.1 3.2.3.1 方程的齐次解方程的齐次解自由振动自由振动tsin)(x)(xtcos)(xe)t(xt0003.2 单自由度体系的弹性地震反应分析

14、X(0)=0=0.05=0.2周期与频率周期与频率自振周期自振周期 T T自振频率 f圆频率圆频率(角频率角频率)无阻尼频率阻尼频率单位:s单位:1/s(Hz)单位:rad/s=2 f=2/TT=1/f=2/21自振周期自振周期与自振频率与自振频率3.2.3 3.2.3 运动方程的解运动方程的解3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析3.2.3.1 3.2.3.1 方程的齐次解方程的齐次解自由振动自由振动圆频率(角频率)、质量质量刚度刚度阻尼阻尼系数系数阻尼比临界阻尼系数cr当当=1=1时的阻尼时的阻尼系数即为系数即为C Cr r质量、刚度与阻尼质量、刚度与阻尼3.2.3 3.2.3 运动方程的

15、解运动方程的解3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析3.2.3.1 3.2.3.1 方程的齐次解方程的齐次解自由振动自由振动P 荷载P与作用时间dt乘积Pdt称为冲量,由动量定律得,其值等于动量的增量Pdt=mv-mv0如质点初始为静止状态，则有v=Pdt/m00)(xm/Pdt)(x0tsin)(x)(xtcos)(xe)t(xt000tsinmPdte)t(xttx(t)tP(t)t面积=Pdt3.2.3 3.2.3 运动方程的解运动方程的解3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析3.2.3.2 3.2.3.2 方程的特解方程的特解强迫振动强迫振动022xxxx dt)t(x0 dxPdt)

16、(0 m=1 ttdtxetdxt)(sin)()(0)(tttdtextdxtx0)(00)(sin)(1)()(3.2.3 3.2.3 运动方程的解运动方程的解3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析3.2.3.1 3.2.3.1 方程的特解方程的特解强迫振动强迫振动x(t)tt)t(x0 t)t(x0 Died 29 Apr 1872(born 5 Feb 1797)French mathematician and physicist who proposed a theory dealing with the transmission of heat in crystal structu

17、res based on the work of the French mathematiciansJean-Marie-Constant Duhamel杜哈默积分t)t(td)t(sine)(x tsin)(x)(xtcos)(xe)t(x001000)()()()(0txmtkxtxctxm 022xxxx 当体系的初始状态为静止时,其初位移和初速度均为0,则上式中的第一项为0,故杜哈默积分也就是初始处于静止状态的单自由体系地震位移反应的计算公式3.2.3 3.2.3 运动方程的解运动方程的解3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析3.2.3.1 3.2.3.1 方程的特解方程的特解强迫振动

18、强迫振动)()()()(0txmtkxtxctxm )t(kx)t(xm)t(xm 0)t(xc)t(x)t(x)t(a 0t)t(d)t(sine)(x)t(a00 max|)(|taSa)(txmk)(tx2ttdtextx001)(sin)()()(3.3.1 3.3.1 水平地震作用的定义水平地震作用的定义3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱p 惯性力不是真实作用于建筑上的力惯性力不是真实作用于建筑上的力p 质点的相对位移与惯性力成正比质点的相对位移与惯性力成正比p 惯性力可以反映地震对建筑物影响的大小惯性力可以反映地震对建筑物影响的大小p 利用惯性力的最大值对结构进行抗震验算，

19、就可以利用惯性力的最大值对结构进行抗震验算，就可以将动力转化为静力问题将动力转化为静力问题p 惯性力惯性力I I(t)(t)与加速度，所以质点绝对加速度的最大与加速度，所以质点绝对加速度的最大 值是抗震设计的关键值是抗震设计的关键3.3.1 3.3.1 水平地震作用的定义水平地震作用的定义3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱maxt)t(Tmaxa|d)t(Tsine)(x|T|)t(a|S02022)(0 x 阻尼比=0.05 结构自振周期T=0.88s)t(x)t(x)t(a 0ttdtexta0)(0)(sin)()(T-Sa加速度反应谱Response spectrummaxa|

20、)t(a|S改变值反应谱法的发展与地震反应谱法的发展与地震地面运动的记录直接相地面运动的记录直接相关。关。19231923年，美国研制年，美国研制出第一台强震地震地面出第一台强震地震地面运动记录仪，并在随后运动记录仪，并在随后的几十年间成功地记录的几十年间成功地记录到许多强震记录，其中到许多强震记录，其中包括包括19401940年的年的ElEl CentroCentro波和波和19521952年的年的TaftTaft波等波等多条强震地面运动记录。多条强震地面运动记录。19431943年年M.A.BiotM.A.Biot发表了发表了以实际地震纪录求得的以实际地震纪录求得的加速度反应谱加速度反应谱

21、3.3.2 3.3.2 地震反应谱地震反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱Number of Points=2688;Time Interval=0.02sMaximum=3417.00mm/s2(at 2.14 seconds)Minimum=-2631.00mm/s2(at 2.46 seconds)IMPERIAL VALLEY EARTHQUAKE-EL CENTRO MAY 18,19403.3.1 3.3.1 地震反应谱地震反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱T2 时间 t结构自振周期 T 时间 t0绝对加速度 a(t)时间 tT0T10123456Ta(t

22、).0.0.0.03.3.1 3.3.1 地震反应谱地震反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱水平地震作用的绝对最大值F=mSa已知周期T和阻尼比加速度反应谱 通过加速度反应谱，通过加速度反应谱，可以求出特定地震记录下可以求出特定地震记录下任一单自由度弹性体系的任一单自由度弹性体系的最大水平地震作用最大水平地震作用 加速度反应谱带加速度反应谱带量纲，无法进行多波量纲，无法进行多波比较。不便于设计人比较。不便于设计人员使用员使用设计反应谱GkxSgxmgmSFmax0max0aa g|x|kmax0 地震系数maxa|x|S0 动力系数动力系数3.3.3 3.3.3 设计反应谱设计反应

23、谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱max0|x gxkmax0|3.3.3.1地震系数地震系数表示地面运动的最大加速度与重力加速度之比地面运动加速度愈大，则地震烈度越高，故地震系数与地震 烈度之间存在一定的对应关系烈度每增加一度，地震系数 k值将大致增加一倍地震系数与地震烈度的关系如下：地震系数与地震烈度的关系3.3.3 3.3.3 设计反应谱设计反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱max0|x 3.3.3.2 动力系数 动力系数是单质点最大绝对加速度与地面最大加速度之比max0|xSa 3.3.3 3.3.3 设计反应谱设计反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应

24、谱动力系数表示单质点的动力效应，表示质点的最大绝对加速度比地面最大加速度放大了多少倍值与地震烈度无关，有利于多条地震记录进行了比较和统计max0|x 3.3.3.3标准反应谱 与与T T 的关系曲线称为的关系曲线称为谱曲线谱曲线 它与加速度反应谱在形状上完全一样它与加速度反应谱在形状上完全一样反应谱又称标准反应谱反应谱又称标准反应谱3.3.3 3.3.3 设计反应谱设计反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱0.05.02.50.731.472.202.933.670.00(a/g)(T/s)Damping ratio=0.00Damping ratio=0.05Damping rat

25、io=0.100.05.02.52.04.06.08.010.0(T/s)Damping ratio=0.00Damping ratio=0.05Damping ratio=0.101.0EL-Centro波的标准加速度反应谱EL-Centro波的加速度反应谱n 设计反应谱(反应谱)与加速度反应谱的区别3.3.3 3.3.3 设计反应谱设计反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱 平均反应谱n 1 9 5 9 年，美 国 人Housner为了将已获得的强震记录用做抗震设计的依据，提出了平均反应谱的概念n平均反应谱是将多条反应谱曲线进行简单的平均或经过一定的统计平均后给出一条完全光滑的曲

26、线n平均反应谱可以是有量纲的加速度反应谱，也可以是无量纲的标准反应谱多条波的平均加速度反应谱3.3.3 3.3.3 设计反应谱设计反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱n 影响反应谱影响反应谱的因素的因素场地条件对反应谱的影响0.05.02.52.04.06.08.010.0(T/s)硬土硬土岩石岩石软土软土1.03.3.3 3.3.3 设计反应谱设计反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱n 影响反应谱的因素震中距对加速度反应谱的影响0.05.02.50.731.472.202.933.670.00(a/g)(T/s)M=7.75,R=80kmM=6.75,R=30kmM=

27、5.75,R=16km3.3.3 3.3.3 设计反应谱设计反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱3.3.3 3.3.3 设计反应谱设计反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱Sa/g与体系自振周期T之间的关系作为设计用反应谱，并将Sa/g用表示，称为地震影响系数，设计反应谱又称反应谱地震影响系数曲线3.3.3 3.3.3 设计反应谱设计反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱00.1Tg5Tg6.0max2TTgmax450.max2maxgTT.52012T/smaxmaxmaxmax450252.kkkxSgxgSmax0max0aa 地震影响系数maxmaxk

28、水平地震影响系数最大值(阻尼比=0.05)3.3.3 3.3.3 设计反应谱设计反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱 地震影响系数与地震系数的关系2524509002004501002300501130.kmax不同烈度下地震影响系数的比例关系822.多遇烈度设防烈度倍约设防烈度罕遇烈度23.3.3 3.3.3 设计反应谱设计反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱 特征周期 Tg特征周期(s)特征周期是对应于反应谱峰值区拐点的周期，可根据场地类别和地震动参数区划的特征周期分区采用其值与建筑物所的在地区可能发生地震的震源机制、震级大小、震中距远近及场地条件等有关3.3.3

29、3.3.3 设计反应谱设计反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱 设计地震分组为了与我国地震动参数区划图接轨为了与我国地震动参数区划图接轨将将8989规范的设计近震和设计远震改为设计地震分组规范的设计近震和设计远震改为设计地震分组特征周期不仅与场地类别有关，而且还受震级大小、震中特征周期不仅与场地类别有关，而且还受震级大小、震中距和场地条件的影响，设计地震分组可以反映这些影响距和场地条件的影响，设计地震分组可以反映这些影响一般省会城市取第一组，各城市可按规范附录取值一般省会城市取第一组，各城市可按规范附录取值3.3.3 3.3.3 设计反应谱设计反应谱3.3 单自由度体系的水平地震作

30、用与反应谱对于质量比较分散的结构，为了能够比较真实地反映其动力性能，可将其简化为多质点体系，并按多质点体系进行结构的地震反应分析不等高单层厂房3.4.13.4.1多自由度弹性体系的运动方程3.3 多自由度弹性体系的地震反应分析多层框架结构建筑x2x0(t)11S1二质点体系的瞬时动力平衡 m1m2x1 0212111212111101xcxcxkxkxxm 0111DSI02222121222121220121211121211111xmxkxkxcxcxmxmxkxkxcxcxm 01 xmxkxcxm n 动力方程的建立动力方程的建立3.4.13.4.1多自由度弹性体系的运动方程3.4 多

31、自由度弹性体系的地震反应分析n刚度系数与阻尼系数的求解刚度系数与阻尼系数的求解1m1m2k2k1k2k11k21k2k1k11k2k12k22k200刚刚度度系系数数222221122111kkkkkkkk222221122111kkkkkkkk222221122111cccccccc3.4.13.4.1多自由度弹性体系的运动方程3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析002221212221211111xkxkxmxkxkxm （1）自由振动方程对于二自由度无阻尼体系，运动方程对于二自由度无阻尼体系，运动方程tXxtXxsinsin2211设上述微分方程组的解为：设上述微分方程组的解为：02X

32、mk写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：02mk频率方程为：频率方程为：12112212122212221211211111211121kkmXXxxkkmXXxx对应于对应于（2）主振型振动过程中两质点的位移比为：振动过程中两质点的位移比为：n在振动过程中的任意时刻，两个质在振动过程中的任意时刻，两个质点的位移比值保持不变，这种振动点的位移比值保持不变，这种振动形式通常称为主振型，简称振型形式通常称为主振型，简称振型n由于主振型只取决于质点位移之间由于主振型只取决于质点位移之间的相对值，故为了简单起见，通常的相对值，故为了简单起见，通常将其中某一个质点的位移值定为将其中某一个质点的位移值定为1

33、1，称为振型规一化称为振型规一化3.4.2 3.4.2 多自由度弹性体系的自由振动3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析0)(0)(2222212121212111XmkXkXkXmk-振幅方程振幅方程0222221122111mkkkmk为使振幅方程有非零解，其系数行列式应为零为使振幅方程有非零解，其系数行列式应为零可得频率可得频率的两个正号实根的两个正号实根1 1第一自振频率（基本自振频率；数值较小者）第一自振频率（基本自振频率；数值较小者）2 2第二自振频率（数值较大者）第二自振频率（数值较大者）0)(2Xmk 02mk矩阵型式：矩阵型式：由式（3.4.5）得质点的位移为：对应于1 对应

34、于2 )sin(111111tXx)sin(111212tXx)sin(222121tXx)sin(222222tXx002221212221211111xkxkxmxkxkxm 代入 则在振动过程中两质点的位移比值为：对应于1对应于2121121111121112kkmXXxx121122121222122kkmXXxx 00kTjkTjXkXXmX（3）主振型的正交性222211122222111111sinsinsinsintXtXxtXtXx任一质点的振动都由各主振型叠加而成，质点的位移比例也不再任一质点的振动都由各主振型叠加而成，质点的位移比例也不再是常数是常数当 j k 时：当 j

35、=k 时：广义刚度广义质量kkTkkkTkKXkXMXmX3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析结构振动过程中，任一结构振动过程中，任一时刻的位移等于惯性力时刻的位移等于惯性力所产生的静力位移所产生的静力位移主振型的变形曲线，可主振型的变形曲线，可视为体系按某一频率振视为体系按某一频率振动时，其上相应质点的动时，其上相应质点的惯性力引起的静力变形惯性力引起的静力变形曲线曲线3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析3.4.2 3.4.2 多自由度弹性体系的自由振动ji2jii2111121111)()(1)()()()(1XmIjiitxmxxmItxtxmkxxxxmIggg振型时：质点质点，对

36、的惯性力可表示为：则质点的惯性力：如质点 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析3.4.2 3.4.2 多自由度弹性体系的自由振动1222222112122122122122111211XXmXXmXXmXXm022122211112221XXmXXm）（21一般02212221111XXmXXm整理：整理：-振型的正交性振型的正交性3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析3.4.2 3.4.2 多自由度弹性体系的自由振动0.222111knjnnkjkjXXmXXmXXm0XKTjXm jnjjTjXXX21X nmmmm0021 knkkkXXXX21表示为矩阵型式：表示为矩阵型式：式中：式

37、中：多自由度体系任意两个振型对质量矩阵的正交性多自由度体系任意两个振型对质量矩阵的正交性3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析3.4.2 3.4.2 多自由度弹性体系的自由振动0XKTjXm3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析3.4.2 3.4.2 多自由度弹性体系的自由振动 0)(2Xmk XmXk2 kkkXmXk2 0XX2kTjkkTjXmXk 0XkTjXk可知：对第k个振型：多自由度体系任意两个多自由度体系任意两个振型振型对对刚度矩阵刚度矩阵也有也有正交性正交性体系按某一振型振动时，它的体系按某一振型振动时，它的位能位能不会转移到其他振型上去不会转移到其他振型上去3.4 多自由度

38、弹性体系的地震反应分析3.4.2 3.4.2 多自由度弹性体系的自由振动 1mxxkxcxmg （1 1）振型矩阵）振型矩阵对对n个自由度的振型体系，可求得个自由度的振型体系，可求得n个主振型向量，将这个主振型向量，将这些振型向量从左向右依次排列可成一个些振型向量从左向右依次排列可成一个n阶方阵，方阵中阶方阵，方阵中每列的主振型向量是彼此正交的每列的主振型向量是彼此正交的-振型矩阵振型矩阵nnnnnnXXXXXXXXXX212221212111 .X21nXX3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析 nnnnnnTXXXXXXXXX212222111211X XmXT TnTTX.XX21将振型

39、矩阵转置，可得：将振型矩阵转置，可得：将振型矩阵与质量矩阵两边相乘，得将振型矩阵与质量矩阵两边相乘，得 .X21nXXm TnTTX.XX213.4 多自由度弹性体系的地震反应分析3.4.3 3.4.3 地震反应分析的振型分解法地震反应分析的振型分解法 01 xmxkxcxm 以二个自由度在地震作用下的以二个自由度在地震作用下的强迫振动为例，振动方程如下强迫振动为例，振动方程如下振型分解法的意义振型分解法的意义将将x x(t t)表示成多个振型的线表示成多个振型的线性组合，而组合系数或各个性组合，而组合系数或各个振型对总位移的权重（比例）振型对总位移的权重（比例）系数为系数为q qi i(t

40、t)，由于，由于x x(t t)为为时间的函数，故时间的函数，故q qi i(t t)也为也为时间的函数，称时间的函数，称 q qi i(t t)为为广义坐标，即广义坐标，即x x(t t)=)=广义广义坐标坐标振型，从而将多自由振型，从而将多自由度体系的解简化为单自由度度体系的解简化为单自由度体系的解体系的解22212122121111)()()()()()(XtqXtqtxXtqXtqtx解的表达形式如下：解的表达形式如下：此法即为振型分解法此法即为振型分解法02222121222121220121211121211111xmxkxkxcxcxmxmxkxkxcxcxm 3.4 多自由度弹

41、性体系的地震反应分析(1)(1)对于多自由度体系的运动方程求解对于多自由度体系的运动方程求解nnnjnjnnnninjijiiinnjjnnjjXtqXtqXtqXtqtxXtqXtqXtqXtqtxXtqXtqXtqXtqtxXtqXtqXtqXtqtx)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(22112211222221212112121111.第第1 1振型振型第第j j振型振型Xtqtxjnji)()(1j为振型为振型i为质点为质点 01 xmxkxcxm 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析3.4.3 3.4.3 地震反应分析的振型分解法地震反

42、应分析的振型分解法 ninnjnnnnijiiinjnjniqqqqqXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx.21212122221211211121Xtqtxjnji)()(1 qXx3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析3.4.3 3.4.3 地震反应分析的振型分解法地震反应分析的振型分解法(1)(1)对于多自由度体系的运动方程求解对于多自由度体系的运动方程求解 ijjiqXxXtqtxjijnji,表示质,)()(,1表示振型点令 瑞利阻尼令kmc,21 01 xmxkxcxm 0211 xmxkxkmxm 0211 xmqXkqXkmqXm 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析

43、3.4.3 3.4.3 地震反应分析的振型分解法地震反应分析的振型分解法3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析3.4.3 3.4.3 地震反应分析的振型分解法地震反应分析的振型分解法 TjX两边同乘以 njnjTjqqqqXXXXmX 2121,qXmXTj 0211 xmXqKqKMqMTjjjjjjjj jjqM 0211 xmXqKqKMqMTjjjjjjjj jTjjjjjjjjMxmXqMKqMKq0211 jjjMK jTjjMmX102221xqqqjjjjjj jjj2221022xqqqjjjjjjj tjtjjjjjdtextttqjj0)(0)(sin)(1 222221

44、112121222122112222122122121122 njjijjnjjijiXtXtqtx11n 个独立的微分方程个独立的微分方程多自由度体系单自由度体系多自由度体系单自由度体系3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析3.4.3 3.4.3 地震反应分析的振型分解法地震反应分析的振型分解法 定理定理niXnjjij,.,2,1,11 证明证明:nijiinijiijXmXm1213.4 多自由度弹性体系的地震反应分析3.4.3 3.4.3 地震反应分析的振型分解法地震反应分析的振型分解法isnssxa11将1按振型展开（a）isijininssijniixxmaxm111由主振型正交性

45、可知，在上式等号右边，凡是 的各项均等于零，只剩下 项jsjs 211ijniijijniixmaxmjniijiniijijxmxma12111ijnjjx txtxmtFiii 0多自由度体系，质点多自由度体系，质点i上的地震作用上的地震作用 njjijjinjjijXttxXtxtx1100 njjjijiittxXmtF10 先求出对应于每一先求出对应于每一振型的最大地震作振型的最大地震作用（同一振型中各用（同一振型中各质点地震作用将同质点地震作用将同时达到最大值）及时达到最大值）及其相应的地震作用其相应的地震作用效应，然后将这些效应，然后将这些效应进行组合，以效应进行组合，以求得结构

46、的最大地求得结构的最大地震作用效应震作用效应3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析3.4.3 3.4.3 地震反应分析的振型分解法地震反应分析的振型分解法3.4.3.1 振型的最大地震作用 max0ttxXmtFjjijiji gmGgttxiijj,max0 n,.,j,m,.,i,GXFijijjji2121 相应于第相应于第 j j 振型自振周期振型自振周期 T Tj j 的地震影响系数的地震影响系数 集中于集中于 i i 质点的重力荷载代表值质点的重力荷载代表值 j j 振型的振型参与系数振型的振型参与系数 j j 振型振型 i i 质点的水平相对位移质点的水平相对位移3.4 多自由度

47、弹性体系的地震反应分析3.4.3 3.4.3 地震反应分析的振型分解法地震反应分析的振型分解法如何利用各振型的最大地震如何利用各振型的最大地震作用作用来总和结构总的地震来总和结构总的地震作用效应作用效应，即产生振型如何组合，以确定合理地震作用效应的问题即产生振型如何组合，以确定合理地震作用效应的问题n 振型组合的方法振型组合的方法平方和开方法（平方和开方法（SRSS法）法）完全二次项组合法（完全二次项组合法（CQC法）法）将各振型的地震将各振型的地震作用效应作用效应以平方和开方法求得的结构地震以平方和开方法求得的结构地震作用作用效应效应，与将各振型的地震，与将各振型的地震作用作用先以平方和开方

48、法进行组合，随先以平方和开方法进行组合，随后计算其后计算其作用效应作用效应，两者的结果是不同的，两者的结果是不同的振型个数的取值，一般采用前振型个数的取值，一般采用前23个即可个即可(2)振型组合2jSS3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析3.4.3 3.4.3 地震反应分析的振型分解法地震反应分析的振型分解法3.5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用3.5.1 振型分解反应谱法3.5.1.1 振型分解法计算多质点体系水平地震作用质点 上的地震作用为:ii)()()(0txtxmtFiii ijjnjjixttx)()(1 ijjxtxtx)()(00 11ijnjjx(3.41)

49、(3.42)（3.43）)()()(01ttxxmtFjijnjjii （3.44）)()(0ttxj 为与 振型相应振子的绝对加速度 j3.5.1.2 振型的最大地震作用由式（3.44）可知，作用在 振型第 质点上的地震作用绝对最大值为：jimax0)()(ttxxmFjijjiij gttxjjmax0)()(（3.45）3.5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用gmGiiiijjjijGxF3.5.1.3 振型组合2jSS3.5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用iiiGXF1111解解:(1)相应于第一振型的相应于第一振型的质点水平地震作用为质点水平地震作用为:11

50、58016001358025090211.maxTTgniiiniiiXmXm12111123115048806015048806022.kN940896048802311158011.FkN869895012311158012.Fm1=60tk1=5104 kN/mm2=50tk2=3104 kN/mX12=1X11=0.488X22=-1X21=1.710 例题例题计算简图计算简图s.T35801s.T156028 8度度,I,I类场地类场地,设计地设计地震分组为第一组震分组为第一组.3.5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用m1=60tk1=5104 kN/mm2=50tk2=