数列复习课件.ppt

1、第一节数列的概念与简单表示法第一节数列的概念与简单表示法第五章数第五章数 列列考考 纲纲 要要 求求1了解数列的概念和几种简单的表示方法了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、列表、图象、通项公式通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类函数了解数列是自变量为正整数的一类函数.课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、数列的定义一、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每个数按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的项项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限叫做这个数列的项项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列的数列叫做无穷数列二、通项

2、公式二、通项公式如果数列如果数列an的第的第n项与序号项与序号n之间的关系可以用一个公式之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即anf(n)数列的实质是定义域为正整数集数列的实质是定义域为正整数集N*(或或N*的有限子集的有限子集1,2,3，n)的函数通项公式的函数通项公式anf(n)即为函数的解析即为函数的解析式其中项数式其中项数n相当于自变量，项相当于自变量，项an相当于函数值相当于函数值三、递推公式三、递推公式如果已知数列如果已知数列an的第一项的第一项(或前几项或前几项)，且任何一项，且任何一项an与与它的前一

3、项它的前一项an1(或前几项或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，间的关系可以用一个式子来表示，即即anf(an1)或或anf(an1，an2，)，那么这个式子就叫做，那么这个式子就叫做数列数列an的递推公式如数列的递推公式如数列an中，中，a11，an12an1，其中式子其中式子an12an1就是数列就是数列an的递推公式的递推公式四、数列的表示四、数列的表示1列举法：如列举法：如1,3,5,7,9，2图解法：由图解法：由(n，an)点构成点构成3解析法：用通项公式解析法：用通项公式anf(n)表示，如表示，如an2n1.4递推法：用前递推法：用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项的值

4、与它相邻的项之间的关系表示各项，如项，如a11，an12an1.五、数列分类五、数列分类有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列常数数列；有界数列，无界数列六、数列六、数列an的前的前n项和项和SnSna1a2an.注意：前注意：前n项和项和Sna1a2a3an1ang(n)也为也为n的函数的函数七、数列七、数列an的前的前n项和项和Sn与通项与通项an的关系的关系an 注意：如果求出的注意：如果求出的a1也满足也满足n2时的时的an，则可统一写成同，则可统一写成同一个关系式，否则分段书写一个关系式，否则分

5、段书写1,1,1,2.nnS nSSn八、数列中最大、最小项的求法八、数列中最大、最小项的求法若若an最大，则最大，则 若若an最小，则最小，则 考虑数列的单调性考虑数列的单调性1,1;nnnnaaaa1,1,nnnnaaaa基础自测基础自测1(2012江门市一模江门市一模)已知数列已知数列an的前的前n项和项和Snn23n，若它的第若它的第k项满足项满足2ak5，则，则k()A2B3 C4D5解析：解析：akSkSk1k23k(k1)23(k1)2k4，依题意有依题意有22k41，nN)，则通项公式为，则通项公式为_解析：解析：由由an4n1an1可得可得a24a1，a342a2，a443a

6、3，an4n1an1，上述上述n1个等式相乘，得个等式相乘，得an412(n1)a1 .答案：答案：222nn 222nn 4(2012浙江高考参考样卷浙江高考参考样卷)设设Sn是数列是数列an的前的前n项和，项和，已知已知a11，anSnSn1(n2)，则，则Sn_.考考 点点 探探 究究考点一考点一给出数列的前几项，求数列的通项公式给出数列的前几项，求数列的通项公式【例【例1】求下列数列的一个通项公式：求下列数列的一个通项公式：(1)1，1,1，1，；(2)3,5,9,17,33，；(3)，2，8，；(4)1,0，0，0，0，；(5)5,55,555,5 555，.129225213151

7、7思路点拨：思路点拨：解此类问题主要靠观察解此类问题主要靠观察(观察规律观察规律)、比较、比较(比比较已知的数列较已知的数列)、归纳、转化、归纳、转化(转化为等差或等比数列转化为等差或等比数列)等方等方法每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另法每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求求 n个个5点评：点评：已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：从以下几个方面来考虑：(1)符号用符号用(1)n与与(1)n1

8、 来调节，这是因为来调节，这是因为n和和n1奇偶交错奇偶交错(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系借助分子、分母的关系(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列数列(后面将复习到后面将复习到)和其他方法来解决和其他方法来解决(4)此类问题无固定模式，主要靠观察此类问题无固定模式，主要靠观察(观察规律观察规律)、比较、比较(比较已知的数列比较已知的数列)、归纳、转化、归纳、转化(转化为等差或等比数列转化为等差或等比数列)等方等方法法11n 或变式探究变式探究

9、1.(1)数列数列1,7，13,19，的一个通项公式是的一个通项公式是an_.解析：解析：(1)符号问题可通过符号问题可通过(1)n或或(1)n1表示，其各项表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大值大6，故通项公式为，故通项公式为an(1)n(6n5)答案：答案：(1)(1)n(6n5)(2)数列数列an的前的前4项是项是 ，1，则这个数列的，则这个数列的通项公式是通项公式是an_.32710917解析：解析：将数列统一为将数列统一为 ，.分子分子3,5,7,9，是等差数列，通项公式为，是等差数列，通项公式为

10、bn2n1，对于分，对于分母母2,5,10,17，联想到数列，联想到数列1,4,9,16，即数列，即数列n2，可，可得分母的通项公式为得分母的通项公式为ann21，所以可得它的一个通项公，所以可得它的一个通项公式为式为an .答案：答案：32710559172211nn2211nn(3)数列数列0.5,0.55,0.555，的一个通项公式是的一个通项公式是an_.(4)数列数列1，的一个通项公式是的一个通项公式是an_.1393517633399考点二考点二由递推公式求数列的前几项，并由此写出通项公式由递推公式求数列的前几项，并由此写出通项公式【例【例2】(2012瑞安市十校联考瑞安市十校联考

11、)若数列若数列an的通项公式的通项公式 an ，记，记Cn2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计，试通过计算算C1，C2，C3的值，推测出的值，推测出Cn_.21(+1)n思路点拨：思路点拨：根据已知等式写出前根据已知等式写出前3项，注意将项，注意将C1，C2，C3的结果写成相同的结构形式的结果写成相同的结构形式(不要写成小数不要写成小数)，这样方便观，这样方便观察规律，得出一般表达式察规律，得出一般表达式点评：点评：(1)从特殊的事例，通过分析、归纳，抽象总结出一从特殊的事例，通过分析、归纳，抽象总结出一般规律，再进行科学的证明，这是创新意识的具体体现，这种般规律，再进行科学的证明，这是

12、创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视够的重视(2)对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此外了解常用的处理办法，如迭加、迭代、迭乘及变形后结合等外了解常用的处理办法，如迭加、迭代、迭乘及变形后结合等差差(比比)数列公式，也很必要数列公式，也很必要(3)求本题数列的通项公式还可用倒数法来推导，同学们不求本题数列的通项公式还可用倒数法来推导，同学们不妨一试妨一试变式探究变式探究2(1)(2011成都市模拟成都市模拟)设数列设数列 中，中，a

13、12，an1 an n1，则通项，则通项an _.na(2)在数列在数列an中，已知中，已知a11，an1 ，则，则an_.1nnana答案：答案：(提示：用倒数法、迭加法即可求得提示：用倒数法、迭加法即可求得)222nn考点三考点三已知已知Sn与与an的关系式，求通项公式的关系式，求通项公式an【例【例3】(2011漳州市模拟漳州市模拟)已知各项均为正数的数列已知各项均为正数的数列an的前的前n项和满足项和满足Sn1，且，且6Sn(an1)(an2)，nN*.求求an的通的通项公式项公式解析：解析：由由a1S1 (a11)(a12)，解得，解得a11或或a12，由题设知由题设知a1S11，因

14、此，因此a12.又由又由an1Sn1 Sn (an11)(an12)(an1)(an2)，得，得an1 an30或或an1an，因因an0，故，故an1an不成立，舍去不成立，舍去因此因此an1 an30，从而，从而an是公差为是公差为3，首项为，首项为2的等的等差数列，故差数列，故an的通项为的通项为an3n1.161616点评：点评：已知已知an的前的前n项和项和Sn，求，求an时应注意以下三点：时应注意以下三点：(1)应重视分类讨论法的应用，分应重视分类讨论法的应用，分n1和和n2两种情况讨论，两种情况讨论，特别注意特别注意anSnSn1中需中需n2.(2)由由SnSn1an推得的推得的

15、an，当，当n1时，时，a1也适合也适合“an式式”，则需统一则需统一“合写合写”(3)由由SnSn1an推得的推得的an，当，当n1时，时，a1不适合不适合“an式式”，则数列的通项公式应分段表示则数列的通项公式应分段表示(“分写分写”)，即即an利用利用Sn与与an的关系求通项是一个重要内容，应注意的关系求通项是一个重要内容，应注意Sn与与an间间关系的灵活运用关系的灵活运用1112nn-SnS-Sn.，变式探究变式探究3(1)(2012江门市一模江门市一模)已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn(1)nn，则，则an_.(2)(2012衡阳八中月考衡阳八中月考)正项数列正项数列a

16、n满足满足a12，(an2)28Sn1(n2)，则，则an的通项公式为的通项公式为an_.解析：解析：(1)n1时，时，anSnSn1(1)nn(1)n1(n1)(1)n(2n1)，而，而a11满足上式，满足上式，an(1)n(2n1)(2)(an2)28Sn1(n2)，所以，所以(an12)28Sn，两式相，两式相减得，减得，8an 4an4an1，整理得，整理得，(an1an)(an1an)，an是正项数列，是正项数列，an1an4，an是以是以4为公差，为公差，2为首项的等差数列，为首项的等差数列，an24(n1)4n2.答案：答案：(1)(1)n(2n1)(2)4n221na2na14

17、nnaa考点四考点四利用数列的单调性解题利用数列的单调性解题【例【例4】已知数列】已知数列an的通项公式的通项公式an (nN*)，试问数列试问数列an有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若无，说明理由若无，说明理由10111nn解析：解析：an1an ,110211nn10111nn1091111nn当当n0，即，即an1an，当当n9时，时，an1an0，即，即an1an，当当n9时，时，an1an0，即，即an1an，故故a1a2a3a11数列数列an有最大项为第有最大项为第9,10项项点评：点评：求数列求数列an的最大项、最小项时，考

18、虑数列的单的最大项、最小项时，考虑数列的单调性，即通过对调性，即通过对an的单调性进行讨论的单调性进行讨论变式探究变式探究4(2012浙江名校高考研究联盟联考浙江名校高考研究联盟联考)数列数列an前前n项和为项和为Sn，则，则“a20”是是“数列数列Sn为递增数列为递增数列”的的()A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：a20，不能保证，不能保证Sn是递增数列，如数列是递增数列，如数列4n的的前前n项和构成的项和构成的Sn不是递增数列；反之，若不是递增数列；反之，若Sn为递增数列，为递增数列，则有

19、则有S2S1，得，得a20.所以所以“a20”是是“数列数列Sn为递增数列为递增数列”的的必要不充分条件故选必要不充分条件故选B.答案：答案：B课时升华课时升华1对数列概念的理解对数列概念的理解(1)数列是按一定数列是按一定“次序次序”排列的一列数，一个数列不仅与排列的一列数，一个数列不仅与构成它的构成它的“数数”有关，而且还与这些有关，而且还与这些“数数”的排列顺序有关，的排列顺序有关，这有别于集合中的元素的无序性，因此，若组成两个数列的数这有别于集合中的元素的无序性，因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列要注意相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列要

20、注意把数列中的数把数列中的数(项项)和集合中的元素区分开来：数列中的数是有顺和集合中的元素区分开来：数列中的数是有顺序的，而集合中的元素是没有顺序的序的，而集合中的元素是没有顺序的(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现现(3)数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号(4)数列是一个定义域为正整数集数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函

21、数，数列的通项公式也就是相应的函的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式数解析式(4)若若an1anf(n)，求，求an用累加法：用累加法：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)(6)已知递推关系，求已知递推关系，求an用构造法用构造法(构造等差、等比数构造等差、等比数列列)特别地，特别地，形如形如ankan1b，ankan1bn(k，b为常数为常数)的递推的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求的等比数列后，再求an.形如形如an 的递推数列都可以用倒数法求通的递推数列都可以用倒数法求通项项注意：注意：(1)用

22、用anSnSn1求数列的通项公式时，要注意此等式求数列的通项公式时，要注意此等式成立的条件成立的条件(当当n2时，时，anSnSn1，当，当n1时，时，a1S1)(2)一般地，当已知条件中含有一般地，当已知条件中含有an与与Sn的混合关系时，常的混合关系时，常需运用关系式需运用关系式anSnSn1，先将已知条件转化为只含，先将已知条件转化为只含an或或Sn的关系式，然后再求解的关系式，然后再求解11nnakab(3)并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上可以不止一个数列的项公式，那么它的通项公式在形式上可以不

23、止一个数列的通项公式是研究数列的关键，应切实掌握求通项公式的各种通项公式是研究数列的关键，应切实掌握求通项公式的各种方法方法(第四节还将对数列通项公式的求法作深入的探究第四节还将对数列通项公式的求法作深入的探究).感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考2若数列若数列 中的最大项是第中的最大项是第k项，则项，则k_.2(+4)3nn n高考预测高考预测1(2012济南市月考济南市月考)已知数列已知数列an满足满足a136，an1 an2n,则则 的最小值为的最小值为()A10 B11 C12 D13nan2(2012安徽江南十校联考安徽江南十校联考)已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn2n3，则数列，则数列an的通项公式为的通项公式为_