人教版A版高中数学选修3 3球面的对称性课件.ppt

1、球面的对称性导入新课导入新课 球面是我们非常熟悉的一个曲面，在我们球面是我们非常熟悉的一个曲面，在我们生活中几乎随处都有它的影子生活中几乎随处都有它的影子.篮球篮球地球地球高尔夫球高尔夫球 从表面上看，你可能觉得球面是一个比较从表面上看，你可能觉得球面是一个比较简单的几何图形简单的几何图形.然而，事实并非如此，球面有然而，事实并非如此，球面有许多独特而有趣的性质许多独特而有趣的性质.事实上，球面作为空间中最完美的图形之事实上，球面作为空间中最完美的图形之一，具有很强的对称性，所以能给我们带来强一，具有很强的对称性，所以能给我们带来强烈的视觉美感烈的视觉美感.教学目标教学目标【知识与能力知识与能

2、力】在回顾圆的知识的基础上，充分理解球在回顾圆的知识的基础上，充分理解球面的定义和概念面的定义和概念.熟悉球面的对称性，理解中心对称图形、熟悉球面的对称性，理解中心对称图形、轴对称图形的、镜面对称图形、旋转对称轴对称图形的、镜面对称图形、旋转对称图形的性质图形的性质.【过程和方法过程和方法】观察身边的事物，讨论球面在生活中的观察身边的事物，讨论球面在生活中的应用，认识研究球面的重要意义应用，认识研究球面的重要意义.通过实例和应用计算机辅助学习来掌握通过实例和应用计算机辅助学习来掌握球面，球面对称性球面，球面对称性.【情感态度与价值观情感态度与价值观】培养学生的观察能力，能通过身边常见培养学生的

3、观察能力，能通过身边常见事物理解球面的重要性质事物理解球面的重要性质.能利用计算机作为辅助学习的工具，探能利用计算机作为辅助学习的工具，探索球面的对称性，深化对知识的理解索球面的对称性，深化对知识的理解.教学重难点教学重难点重点重点 球面的定义、概念，理解球面的对称球面的定义、概念，理解球面的对称性性.难点难点 掌握球面的中心对称性、轴对称性、掌握球面的中心对称性、轴对称性、镜面对称性和旋转对称性镜面对称性和旋转对称性.教学内容教学内容知识回顾知识回顾 我们都已经学过，画一条线段，以线段长为我们都已经学过，画一条线段，以线段长为半径，以一端点为圆心画弧绕半径，以一端点为圆心画弧绕360度后得到

4、圆度后得到圆.同样，由圆的对称性可知圆是轴对称图形，同样，由圆的对称性可知圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线其对称轴是任意一条通过圆心的直线.圆也是中心圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心对称图形，其对称中心是圆心.OA对称轴对称轴 l空间中与一定点的距离为定值的动点的集合空间中与一定点的距离为定值的动点的集合称为球面称为球面.定点称为定点称为球心球心，定距离称为，定距离称为半径半径.球面所包围的立体称为球面所包围的立体称为球体球体，简称球，简称球.球面也可以看成是球面也可以看成是由半圆绕着它的直径旋转一由半圆绕着它的直径旋转一周周所形成的曲面所形成的曲面.球面球面AOl1.球面

5、是中心对称图形球面是中心对称图形中心对称图形中心对称图形中心对称图形定义：中心对称图形定义：在同一平面内，如果把一个图形在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋绕某一点旋转转180度度，旋转后的图形，旋转后的图形能和原图形完全重合能和原图形完全重合，那，那么这个图形就叫做中心对称图形么这个图形就叫做中心对称图形.中心对称图形上每一对对称点所连成的线段中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都都被对称中心平分被对称中心平分.矩形，菱形，正方形，平行四边形，圆，矩形，菱形，正方形，平行四边形，圆，边数为偶数的正多边形，某些不规则图形等边数为偶数的正多边形，某些不规则图形等.常见的中心对称图形有：常见的

6、中心对称图形有：球面是中心对称图形，因为对于球面上任球面是中心对称图形，因为对于球面上任意一点意一点 A，假设它关于球心的对称点为，假设它关于球心的对称点为A，则，则由由 A和和 A到球心的距离相等可知，点到球心的距离相等可知，点 A 到球心到球心的距离等于半径，即点的距离等于半径，即点 A 一定在这个球面上一定在这个球面上.以此我们可以知道球面是中心对称图形以此我们可以知道球面是中心对称图形.AAAOl2.球面是轴对称图形球面是轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做全重合，这样的图形叫做轴对称图形轴对称图形，这条直线，这

7、条直线叫做叫做对称轴对称轴.这时这时,我们也说这个图形关于这条直线对称我们也说这个图形关于这条直线对称.例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形、圆和正多边形都是轴对称图形腰梯形、圆和正多边形都是轴对称图形.有的轴有的轴对称图形有不止一条对称轴，但轴对称图形最少对称图形有不止一条对称轴，但轴对称图形最少有一条对称轴有一条对称轴.轴对称轴对称我国古代建筑很多都是轴对称的我国古代建筑很多都是轴对称的民间剪纸多采用轴对称民间剪纸多采用轴对称 同样，球面也是轴对称图形，任意一条通过同样，球面也是轴对称图形，任意一条通过球心球心O的直线都是对称轴的直线都是对称轴

8、.如图，如图，l 是通过球心是通过球心 O的任意一条直线，对的任意一条直线，对于球面上任意一点于球面上任意一点 A，设它关于直线设它关于直线l的对称点的对称点为为 A/，此时此时l是线段是线段 AA/的垂直平分线的垂直平分线.又球心又球心 O在直线在直线 l上，因此上，因此 OA/=OA，则可知则可知 A/一一定在定在这个球面上这个球面上.AA/A/Ol3.球面是镜面对称图形球面是镜面对称图形 我们每天都照镜子，镜中我们每天都照镜子，镜中的我们和自己完全一样，只是的我们和自己完全一样，只是左右方向相反左右方向相反.同样，所谓同样，所谓镜面对称图形镜面对称图形就是该图形能关于就是该图形能关于某个

9、平面对称，而这个面就称为它的对称面某个平面对称，而这个面就称为它的对称面.在日常生活中，我们在日常生活中，我们也常应用镜面对称，如音也常应用镜面对称，如音箱的摆放箱的摆放.类似的，我们也可以证明，球面是镜面类似的，我们也可以证明，球面是镜面对称图形，通过球心对称图形，通过球心O的任意一个平面都是球的任意一个平面都是球面的对称面面的对称面.O4.球面是旋转对称图形球面是旋转对称图形 把一个图形绕着把一个图形绕着一个定点一个定点旋转旋转一个角度一个角度后，后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做这个定点叫做旋转

10、对称中心，旋转的角度叫做旋转角旋转角.（0 旋转角旋转角360）.旋转对称图形：旋转对称图形：常见的旋转对称图形有：常见的旋转对称图形有：线段、正多边形、平行四边形、圆等线段、正多边形、平行四边形、圆等.（注：所有的中心对称图形都是旋转对称图形）（注：所有的中心对称图形都是旋转对称图形）海豹将球顶在头海豹将球顶在头上旋转，在此过程中，上旋转，在此过程中，球面始终与初始球面球面始终与初始球面旋转对称旋转对称.如图我们可以知道，如果如图我们可以知道，如果 l 是通过球心是通过球心 O的任意一条直线，则球面绕的任意一条直线，则球面绕 l 旋转任意角度都旋转任意角度都会与自身重合会与自身重合.OlO探

11、索球的对称性探索球的对称性 通过一些计算机软件，通过一些计算机软件，如几何画板，我们可以进行如几何画板，我们可以进行一些有趣的试验，来进一步一些有趣的试验，来进一步探索球的对称性，深化对球探索球的对称性，深化对球面性质的理解面性质的理解.课堂小结课堂小结1.球面是中心对称图形：球面是中心对称图形：球面绕某一点旋转球面绕某一点旋转180度后能与原图形度后能与原图形完全重合完全重合.2.球面是轴对称图形：球面是轴对称图形：球面沿着任意一条通过球心的直线对球面沿着任意一条通过球心的直线对折后两部分完全重合折后两部分完全重合.3.球面是镜面对称图形：球面是镜面对称图形：球面关于通过球心球面关于通过球心

12、O的任意一个平的任意一个平面对称面对称.4.球面是旋转对称图形：球面是旋转对称图形：即球面绕通过球心即球面绕通过球心 O的任意一条直线的任意一条直线旋转任意角度都会与自身重合旋转任意角度都会与自身重合.1.(09全国卷全国卷)直三棱柱直三棱柱 ABC-A1 B1 C1 的各顶点的各顶点 都在同一球面上，若都在同一球面上，若 AB=AC=AA1=2，BAC=120则此球的表面积等于则此球的表面积等于 .高考链接高考链接解解:在在 ABC 中中 AB=AC=2，BAC=120，可得，可得 BC=2 3,由正弦定理由正弦定理,可得可得ABC 外接圆半径外接圆半径 r=2，设此圆圆心为设此圆圆心为O，

13、球心为，球心为O,在在RT OBO中，易得球半径中，易得球半径R=5，故此球的表面，故此球的表面 积为积为4R2=202.（09湖南卷）在半径为湖南卷）在半径为13的球面上有的球面上有A,B,C 三三 点，点，AB=6，BC=8，CA=10，则，则（1）球心到平面）球心到平面ABC的距离为的距离为_；（2）过，）过，B两点的大圆面为平面两点的大圆面为平面ABC所成二面所成二面 角为（锐角）的正切值为角为（锐角）的正切值为_.答案答案:（1）12；（；（2）3解析解析:（1）由）由ABC 的三边大小易知此三角形是的三边大小易知此三角形是.直角三角形，所以过三点小圆的直径即为直角三角形，所以过三点

14、小圆的直径即为 10，也即半径是，也即半径是 5，设球心到小圆的距离，设球心到小圆的距离 是是 d，则由，则由 d2+52=132，可得，可得d=12.（2）设过）设过ABC三点的截面圆的圆心是三点的截面圆的圆心是O,AB中点是中点是 D点，球心是点，球心是O点，则连三角形点，则连三角形O1OD，易知，易知 ODO1就是所求的二面角的一个平面角，就是所求的二面角的一个平面角，O1D=OA2 ()2 =4，所以，所以 ODO1=3，即正切值是，即正切值是 3.2AB124OO1O1D3（09陕西卷）如图球陕西卷）如图球O的半径为的半径为2，圆，圆O1是一是一 小圆，小圆，O1O=2 ，A.B是圆

15、是圆O1上两点，若上两点，若 AO1B=，则，则 A,B两点间的球面距离为两点间的球面距离为 _.1OABOp p2解析解析:由由O1O=2,OA=OB=2,由勾股定理在圆由勾股定理在圆O1 中则有中则有O1 A=OB=2,又又AO1 B=则则 AB=2所以在所以在 AOB中中，OA=OB=AB =2 则则AOB为等边三角形，那么为等边三角形，那么AO1 B=60由弧长公式由弧长公式 L=r q (r为半径为半径)得得 A,B两点间的球面距离两点间的球面距离l AB=r q=p p232p2p课堂练习课堂练习1.下列图形不是旋转图形的是（下列图形不是旋转图形的是（）2.如图，有四个图案都是旋转

16、对称图形，其中如图，有四个图案都是旋转对称图形，其中有一个图案与其余三个图案旋转的度数不同，有一个图案与其余三个图案旋转的度数不同，它是（它是（）C.等边三角形等边三角形 D.圆圆A.线段线段 B.等腰三角形等腰三角形BB3.如图所示，绕其图形中心旋转如图所示，绕其图形中心旋转90不能和自不能和自身重合的是（身重合的是（）4.如图地板砖旋转（如图地板砖旋转（）角后与自身重合）角后与自身重合A.90B.45C.60D.30BA5.下列图形中是旋转对称图形，但不是中心对下列图形中是旋转对称图形，但不是中心对称图形的有（称图形的有（）A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个C（1）这个图案可以看成正方形）这个图案可以看成正方形ABCD绕绕 点点O旋转旋转45前后图形共同组成的前后图形共同组成的.（2）看成）看成ABC绕点绕点O分别旋转分别旋转 45、90、135、180、225得到的得到的（3）这个图案可以看成是）这个图案可以看成是BOC绕点绕点O 分别旋转分别旋转45、90、135、180 225、270、315前后组成的前后组成的6.如图所示，正方形如图所示，正方形ABCD与正方形与正方形EFGH边长边长 相等，下列说法正确的个数有（相等，下列说法正确的个数有（）A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.以上都不对以上都不对C