第一章-数列§2-22-第1课时-等差数列的前n项和-北师大版-必修五课件.ppt

1、2.2 等差数列的前n项和第1课时 等差数列的前n项和1.1.知识目标：知识目标：掌握等差数列前掌握等差数列前n n项和公式及其获取思路；项和公式及其获取思路；会用等差数列的前会用等差数列的前n n项和公式解决一些简单的问题项和公式解决一些简单的问题2.2.能力目标：能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学

2、生的学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的思维水平思维水平.3.3.情感目标：情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.体会模仿与创新的重要性体会模仿与创新的重要性.使学生获得发现的成就感，优使学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高数学的推理能力化思维品质，提高数学的推理能力 高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从计算从1 1到到100100的自然数之和的自然数之和.那个老师认为，这些孩子算这那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书道

3、题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了去了.谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说:“:“老师，老师，我做完了我做完了.”.”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯.老老师走到他身边，只见他在笔记本上写着师走到他身边，只见他在笔记本上写着50505050，老师看了，不，老师看了，不由得暗自称赞由得暗自称赞.为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他.思考：思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它的值呢？的值呢？1009932

4、1计算：100 9998 2 1.50502)1001(10010099321 有有200200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数列：等差数列：1,2,31,2,3，等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式,321nSn 设共摆放了设共摆放了n n层，能构成正三角形垛的圆木料数为层，能构成正三角形垛的圆木料数为S Sn n,则则 这是一个等差数列的

5、求和问题，如何计算该等差数列这是一个等差数列的求和问题，如何计算该等差数列的和呢？而高斯计算的就是当的和呢？而高斯计算的就是当n=100n=100时的和时的和.可见日常生活可见日常生活中经常会遇到这样的求和问题，你能从高斯解决这个问题中经常会遇到这样的求和问题，你能从高斯解决这个问题的过程中悟出求一般等差数列前的过程中悟出求一般等差数列前n n项和的方法吗？项和的方法吗？抽象概括抽象概括设设Sn是等差数列是等差数列an的前的前n项和，即项和，即.321nnaaaaS根据根据等差数列等差数列an的通项公式，上式可以写成的通项公式，上式可以写成,)1()2()(1111dnadadaaSn再把项的

6、次序反过来，再把项的次序反过来，S Sn n又可以写成又可以写成,)1()2()(dnadadaaSnnnnn把，把，等号两边分别相加，得等号两边分别相加，得)()()(2111nnnnaaaaaaS（共（共n n个）个）).(1naan于是，首项为于是，首项为a a1 1,末项为末项为a an n,项数为项数为n n的等差数列的前的等差数列的前n n项和项和.2)(1nnaanS这种求和的方法叫作这种求和的方法叫作“倒序相加法倒序相加法”这个公式表明：等差数列前这个公式表明：等差数列前n n项的和等于首末两项的项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半，参见下图和与项数乘积的一半，参见下图.1a

7、1a1a1a1a1a1a1a1a1adddddddddddddddddddd1a2a3a4a5a1a2a3a4a5a将将a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d代入式，得代入式，得112().nnnSnad个连续正整数的和个连续正整数的和时，时，特别地，当特别地，当nda111 ,.2)1(321 nnnSn对于本节开头的问题，即转化为求满足对于本节开头的问题，即转化为求满足2002)1(nnSn的最大自然数的最大自然数n.n.易知当易知当n=19n=19时，时，S Sn n=190;n=20=190;n=20时，时，S Sn n=210.=210.所所以以n n的最大值为的最大

8、值为19.19.此时，将堆垛此时，将堆垛1919层，剩余层，剩余1010根圆木料根圆木料.等差数列前等差数列前n项和公式的基本运算项和公式的基本运算 例例1.2)121(125312nnnn）（解解 由等差数列前由等差数列前n n项和公式，得项和公式，得例例7 7 求前求前n n个正奇数的和个正奇数的和.例例2n 1nn aa2(n1)3(2n3)2.a 2100200.101解由于所以，数列是公差为 的等差数列，此数列自第项到第项仍是等差数列共有项，所求和为603.30 10123)2002(31002 1012200100 aaS.200100,32 9 的值项之和到第项求这个数列自第中，

9、在数列例Snaann例例3等差数列前等差数列前n项和公式的实际应用项和公式的实际应用 例例8 8 在我国古代，在我国古代，9 9是数字之极，代表尊贵之意，所以是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与中国古代皇家建筑中包含许多与9 9相关的设计相关的设计.例如，北京例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有一块天心石，围绕它的第一圈有9 9块石板，从第二圈开始，块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多每一圈比前一圈多9 9块，共有块，共有9 9圈圈.请问：请问：例例4 （1 1）第）第

10、9 9圈共有多少块石板？圈共有多少块石板？（2 2）前）前9 9圈一共有多少块石板？圈一共有多少块石板？解解 （1 1）设从第）设从第1 1圈到第圈到第9 9圈石板数所成数列为圈石板数所成数列为 a an n,由由题意可知题意可知 a an n 是等差数列，其中是等差数列，其中a a1 1=9=9，d=9,n=9.d=9,n=9.由等差数列的通项公式，得第由等差数列的通项公式，得第9 9圈有石板圈有石板.819)19(91)(919（块）daa（2 2）由等差数列的前）由等差数列的前n n项和公式，得前项和公式，得前9 9圈一共有石板圈一共有石板).(4059289992)19(9919块da

11、S答答 第第9 9圈有圈有8181块石板，前块石板，前9 9圈一共有圈一共有405405块石板块石板.解解 植树工人每种一棵树并返回植树工人每种一棵树并返回A A处所要走的路程（单位：处所要走的路程（单位：m)m)组成了一个数列组成了一个数列0,20,40,600,20,40,60，380380，这是首项为这是首项为0 0，公差为，公差为2020，项数为，项数为2020的等差数列，其和的等差数列，其和20(20 1)S203 800(m).2答答 植树工人共走了植树工人共走了3 800m3 800m路程路程.例例10 10 在新城大道一侧在新城大道一侧A A处，运来处，运来2020棵新树苗棵新

12、树苗.一名工一名工人从人从A A处起沿大道一侧路边每隔处起沿大道一侧路边每隔10m10m栽一棵树苗，这名工人栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵每次只能运一棵.要栽完这要栽完这2020棵树苗，并返回棵树苗，并返回A A处处.植树工植树工人共走了多少路程人共走了多少路程?例例5 解解 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：h)h)依次设为：依次设为：,2521aaa.31,241da公差这是一个等差数列，例例11 11 九江抗洪指挥部接到预报，九江抗洪指挥部接到预报，24h24h后有一洪峰到达后有一洪峰到达.为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道

13、堤坝作为第为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线二道防线.经计算，需调用经计算，需调用2020台同型号翻斗车，平均每辆台同型号翻斗车，平均每辆工作工作24h24h后方可筑成第二道防线后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施但目前只有一辆车投入施工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min20min能有能有一辆车到达，指挥部最多可调集一辆车到达，指挥部最多可调集2525辆车，那么在辆车，那么在24h24h内能内能否构筑成第二道防线？否构筑成第二道防线？例例6 2525辆车可以完成的工作量为：辆车可以完成的工作量为：.500)3

14、1(2242524252521aaa 需要完成的工作量为需要完成的工作量为 242420=480.20=480.因此，在因此，在24h24h内能构筑成第二道防线内能构筑成第二道防线.由由Sn求求an 例例7等差数列前等差数列前n项和的最值问题项和的最值问题例例8变式训练变式训练例例91.1.根据下列条件，求相应的等差数列根据下列条件，求相应的等差数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n.;10,95,5)1(1naan1010(595)500.2S;50,2,100)2(1nda5050501)50 100(2)2 550.2 S（2.2.一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V V形架的最下

15、面一层放形架的最下面一层放1 1支铅笔，往上支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120120支支.这个这个V V形架上共放着多少支铅笔？形架上共放着多少支铅笔？解：解：由题意可知，这个由题意可知，这个V V形架上共放着形架上共放着120120层铅笔，且自下而层铅笔，且自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为上各层的铅笔数组成等差数列，记为na11201,120,120aan120120(1 120)7 260.2S（支支）答：答：V V形架上共放着形架上共放着7 2607 260支铅笔支铅笔.1.1.回顾从特殊到一般的研究方法回顾从特殊到一般的研究方法;2.2.倒序相加的算法及数形结合的数学思想倒序相加的算法及数形结合的数学思想;3.3.掌握等差数列的两个求和公式及简单应用，及函数与方掌握等差数列的两个求和公式及简单应用，及函数与方程的思想程的思想.作业作业答案：15 1234