广义坐标形式的虚位移原理课件.ppt

1、第第4 4节节广义坐标形式的广义坐标形式的静力学普遍方程静力学普遍方程静力学普遍方程的特点静力学普遍方程的特点10NiiiFr作为对比，单个质点平衡时作为对比，单个质点平衡时F=0在质点系中，通常受某些约束，各点的虚位在质点系中，通常受某些约束，各点的虚位移不独立，因此移不独立，因此10NiiiFr0iF10NiiiFr 若坐标独立，其虚位移（变分）是否独立？若坐标独立，其虚位移（变分）是否独立？今天的课堂内容，就是解决这样几个问题：今天的课堂内容，就是解决这样几个问题：广义坐标的概念广义坐标的概念自由度的概念自由度的概念如果虚位移都是独立的，会有什么结果？如果虚位移都是独立的，会有什么结果？

2、怎样选取独立的坐标？怎样选取独立的坐标？广义力的概念广义力的概念ir不独立不独立能够唯一地确定质系可能位置的独立参数称为能够唯一地确定质系可能位置的独立参数称为广义坐标广义坐标。广义坐标数为：广义坐标数为：3kNr根据需要可以任选根据需要可以任选k个可以确定质系可能位个可以确定质系可能位置的独立参数置的独立参数 作为广义坐标，它们作为广义坐标，它们可以是距离、角度、面积等。可以是距离、角度、面积等。1,.,kqq空间质点系空间质点系2kNr平面质点系平面质点系N质点的数目；质点的数目；r约束方程的个数约束方程的个数6kNr3kNr空间刚体系空间刚体系平面刚体系平面刚体系N刚体的数目；刚体的数目

3、；r约束方程的个数约束方程的个数:q利用广义坐标描述质系运动，利用广义坐标描述质系运动，几何约束自然满足几何约束自然满足OxyrlAB把把A、B看成是两个可运动的看成是两个可运动的质点，质点，广义坐标数为：广义坐标数为：21kNrN=2OA、AB长度为约束，长度为约束，B点点上下运动也受约束，共有上下运动也受约束，共有3个约束方程个约束方程r=3如果考虑系统有如果考虑系统有A、B、O共共3个质点个质点，N3，则，则约束也增加，约束也增加，r5，广义坐标数，广义坐标数k2Nr1因此，在考虑广义坐标系时，只需考虑运动的质点因此，在考虑广义坐标系时，只需考虑运动的质点另一个问题：广义坐标独立，但是其

4、变分是否独立？另一个问题：广义坐标独立，但是其变分是否独立？:qOxyrlAB如果把杆如果把杆OA、杆、杆AB、滑块、滑块B看成是看成是刚体，则原先的刚体，则原先的A、B、O点看成是点看成是约束，广义自由度该如何计算？约束，广义自由度该如何计算？3个刚体，个刚体，N3约束方程：约束方程：每个平面铰链有每个平面铰链有2个约束方程，共个约束方程，共6个；个；对滑块对滑块B，不能转动，不能上下运动，不能转动，不能上下运动，有有2个约束方程；个约束方程；r=6+2=8广义坐标数目广义坐标数目K=3N r=9 8=1广义坐标的计广义坐标的计算有不同的方算有不同的方法，结果都应法，结果都应该相同该相同独立

5、的虚位移数就是质系的独立的虚位移数就是质系的自由度自由度。3nNrs N 质点总数质点总数 r 完整约束的总数；完整约束的总数；s 非完整约束的总数；非完整约束的总数；自由度数目自由度数目比较：广义坐标数为：广义坐标数为：3kNr如果是完整约束，如果是完整约束，kn如果是非完整约束，如果是非完整约束，knOxyrlAB广义坐标数目为广义坐标数目为1，自由度数为自由度数为1:qxylA刚性杆广义坐标数目为广义坐标数目为1，自由度数为自由度数为1:qxylA弹簧:,ql广义坐标数目为广义坐标数目为2，自由度数为自由度数为2为了描述圆球在水平面上作纯为了描述圆球在水平面上作纯滚动，独立的参数为滚动，

6、独立的参数为,ccxy 00ACvvCA(sinsincos)0(cossinsin)0ccxRyR(sinsincos)0(cossinsin)0ccxyRR独立的广义坐标数为独立的广义坐标数为5；自由度为；自由度为3。12(,)iikq qq trr1kiijjjqqrr111NNkiiiijjiijWqqrFrF11kNiijjjiqq rF1kjjjQq1NijijiQqrF1NijijiQqrFQj 称为对应于广义坐标称为对应于广义坐标 qj 的的广义力广义力。11NkiijjijWQqFrO广义力是广义坐标和时间的函数广义力是广义坐标和时间的函数。O广义力是主动力的某种代数表达式，

7、但不广义力是主动力的某种代数表达式，但不一定具有力的量纲。广义力和广义坐标变一定具有力的量纲。广义力和广义坐标变分的乘积一定具有功的量纲。分的乘积一定具有功的量纲。广义力与真实力相比，数目大为减少。广义力与真实力相比，数目大为减少。0W0jQ 具有具有完整理想完整理想约束的质系，其平衡的充分约束的质系，其平衡的充分必要条件是：必要条件是：所有的广义力等于零所有的广义力等于零。11NkiijjijWQqFr静力学普遍静力学普遍方程方程10kjjjQq上述结论的条件是什么？上述结论的条件是什么？广义坐标独立，与广义坐标的变分独立，是否是一回事？广义坐标独立，与广义坐标的变分独立，是否是一回事？惰钳

8、机构由六根长杆和惰钳机构由六根长杆和两根短杆组成，长杆长两根短杆组成，长杆长2a，短杆长，短杆长a，各杆之间，各杆之间用铰链相连。它在顶部用铰链相连。它在顶部受力受力P的作用，问下部力的作用，问下部力Q的大小为多少才能使系的大小为多少才能使系统处于平衡状态。图中统处于平衡状态。图中 为已知角。为已知角。PQQABCPQQABCyxABCWP yQ xQ x cosCxasinCxa 7 sinAya7 cosAya(7cos2sin)0PaQa 7cot2QPsinBxacosBxa 取取 为广义坐标为广义坐标均质杆均质杆OA和和AB用铰用铰A连接，用铰连接，用铰O固定。固定。两杆的长度为两杆

9、的长度为 和和 ，重量为均为，重量为均为P。在。在B端作用一水平力端作用一水平力 ，求平衡时两杆与，求平衡时两杆与竖直方向夹角竖直方向夹角?1l2l12SPBSAO取取、为广义坐标为广义坐标112cosCylsinsin21llxB1212coscosDyllcoscos21llxB1212sinsinDyll 112sinCyl BSAOxyCD1l2lPP12CDBWP yP yP x121122(3sincos)(sincos)WPlPl 212(cossin)0QPl112(cos3sin)0QPl13tantan1首先取首先取 0,0BrDr12sincosDBWP rP r 212

10、(cossin)0QPl22BDrrl0Cr1tgBSAOxyCDPP12BDCrrrlsinsin1cos2CDBWP rP rP r 11(cos3sin)02QPl再取再取0,01tan3BSAOxyCDPDrBrArCrP已知：已知：m1,m2,M,且且接触面光滑。接触面光滑。求：平衡时，求：平衡时，m1,m2,M 的关系。的关系。M1m2m1x3x2x二自由度的平衡问题二自由度的平衡问题选独立的广义坐标选独立的广义坐标 x1,x2m2gm1g1xMg3x2x112:0,0Qxx求11111sin2Wm gxMgx 11111sin20WQm gMgx212:0,0Qxx求22221s

11、in20WQm gMgxM1m2m1x3x2x第5节主动力有势情况下的主动力有势情况下的静力学普遍方程静力学普遍方程若在空间某区域，质点所受的作用力只依赖于空若在空间某区域，质点所受的作用力只依赖于空间位置和时间，而间位置和时间，而与其速度无关与其速度无关，则称该空间区，则称该空间区域存在域存在力场力场，如重力场、万有引力场、弹性力场、，如重力场、万有引力场、弹性力场、电场、磁场等。电场、磁场等。若存在标量函数若存在标量函数V，只依赖于质点，只依赖于质点Pi的坐标的坐标xi、yi、zi，并且质点，并且质点Pi在力场中所受的力等于在力场中所受的力等于,ixiyiziiiVVVFFFxyz 则称力

12、场则称力场有势有势，函数，函数V为为势能势能，Fi为有为有势力势力。设质系所受的主动力有势设质系所受的主动力有势：12,.,NVVtr rr0jjVQq iiiiVVVxyz Fijk1NijijiQqrF1()NiiiijijijiyxzVVVxqyqzq 质系的平衡方程质系的平衡方程对主动力有势的对主动力有势的质系质系，其，其势能在平衡位置取驻值势能在平衡位置取驻值。拉格朗日定理：拉格朗日定理：对对完整保守系统若势完整保守系统若势能函数在平衡位置能函数在平衡位置取孤立极小值取孤立极小值,则则该平稳位置稳定。该平稳位置稳定。0jjVQq qVqV结果与前相同。结果与前相同。1122121si

13、nsin2Vm gxm gxMglxxa 111sin02Vm gMgx 021sin22MggmxVM1m2m1x3x2xa已知：已知：m1,m2,M,且且接触面光滑。接触面光滑。求：平衡时，求：平衡时，m1,m2,M 的关系。的关系。已知已知：灯：灯G的质量为的质量为m，A、C为铰链，为铰链，B为套筒。为套筒。杆的质量不计。当杆的质量不计。当 =180 时弹簧为原长。时弹簧为原长。求求：当：当 =120 系统处于系统处于平衡时，弹簧刚度平衡时，弹簧刚度k应具应具有的大小，并讨论该平有的大小，并讨论该平衡位置的稳定性。衡位置的稳定性。2(1sin)2l 221cos4(1sin)22Vmgakl 22sin2cossin2dVmgaklkld2212033120222dVmgaklkld2(32 3)mgakl2222()cossin2d Vmgaklkld221203(1)02d Vmgad 系统处于稳定平衡位置系统处于稳定平衡位置作业作业515516525527