第4章-线性离散系统受迫振动课件.ppt

1、第4章 受迫振动系统船舶振动与噪声控制船舶振动与噪声控制 第4章 受迫振动系统4.1 4.1 单自由度系统单自由度系统4.2 4.2 二自由度系统二自由度系统4.3 4.3 多自由度系统多自由度系统机械振动基础机械振动基础 第第4章章 线性离散系统的受迫振动线性离散系统的受迫振动 第4章 受迫振动系统4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 工程振动中一个很重要方面是分析系统对外部激工程振动中一个很重要方面是分析系统对外部激励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为强强迫振动迫振动。对于线性系统，根据叠加原理，可以分别求系统对于线性系统

2、，根据叠加原理，可以分别求系统对于初始条件的响应和对于外部激励的响应，然后再对于初始条件的响应和对于外部激励的响应，然后再合成为系统的总响应。合成为系统的总响应。第4章 受迫振动系统4.1.14.1.1 系统对于简谐激励的响应系统对于简谐激励的响应 对于上图所示的有阻尼单自由度系统，其运动方程为对于上图所示的有阻尼单自由度系统，其运动方程为)()()()(tFtkxtxctxm （4-0）首先考虑最简单的情况，即首先考虑最简单的情况，即简谐激励简谐激励情况，设情况，设F(t)有如下形式有如下形式图图 单自由度模型单自由度模型 tkAtkftFcos)()(（4-1）运动方程运动方程4.1 单自

3、由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第4章 受迫振动系统tkAtkftFcos)()(（4-1）将（将（4-1）代入（）代入（4-0），两边同除以），两边同除以m 有有 tAtfmktxtxtxnnncos)()()(2)(22（4-2）当当A 为零时，系统为齐次方程，其解就是系统的自由振动响为零时，系统为齐次方程，其解就是系统的自由振动响应，自由振动响应随时间衰减，最后消失，所以自由振动应，自由振动响应随时间衰减，最后消失，所以自由振动响应也叫响应也叫瞬态响应瞬态响应。式（式（4-2）的特解也就是强迫振动响应不会随时间衰减，所以）的特解也就是强迫振动响应不会随时间衰减，所以称为称为稳态

4、响应稳态响应。4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第4章 受迫振动系统)cos()(tXtx（4-3）将（将（4-3）代入方程（）代入方程（4-2），可得），可得 tAttXnnncos)sin(2)cos(222（4-4）利用三角函数关系利用三角函数关系 sincoscossinsinsinsincoscoscostttttt并令（并令（4-4）式中）式中 和和 项的系数相等可得项的系数相等可得tcostsin0cos2sinsin2cos22222nnnnnXAX（4-5）设系统（设系统（4-2）的稳态响应有如下形式）的稳态响应有如下形式 稳态响应稳态响应4.1 单自由度

5、系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第4章 受迫振动系统21222)2(1nnAX（4-6）2112tannn（4-7）将（将（4-6）、（）、（4-7）代入（）代入（4-3）得到系统的）得到系统的稳态解稳态解。解（解（4-5）式可得）式可得 4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第4章 受迫振动系统典型的激励与响应关系曲线如图所示。典型的激励与响应关系曲线如图所示。将将 f(t)用复数形式表示用复数形式表示:图图 简谐激励简谐激励f(t)与响应与响应 x(t)曲线曲线 tiAetf)(（4-8）f(t)的这种表示只是一种数学上的处理，是为了求解方便，不言的这种表示只是一种数

6、学上的处理，是为了求解方便，不言而喻地隐含着激振力仅由而喻地隐含着激振力仅由 f(t)的实部表示，当然，响应也应由的实部表示，当然，响应也应由x(t)的实部表示。式中的实部表示。式中A 一般为复数。一般为复数。4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第4章 受迫振动系统系统的稳态响应系统的稳态响应 nntinntiniAeiAetx21Re2Re)(2222（4-10）由上式可见，系统稳态响应由上式可见，系统稳态响应 x(t)与激振力与激振力f(t)成正比，且比例因子成正比，且比例因子为为nniH211)(2（4-11）这称为这称为复频响应复频响应.在复数表示情况下，系统响应和激

7、励满足关系在复数表示情况下，系统响应和激励满足关系tinnnnAetftxtxtx222)()()(2)(（4-9）4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第4章 受迫振动系统 可见可见 的模的模 等于响应幅值和激励幅值等于响应幅值和激励幅值 的的无量纲比，即无量纲比，即)(H)(HA21222211)(nnH 常称为常称为幅值因子幅值因子。)(H（4-12）4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第4章 受迫振动系统图图 简谐激励的响应简谐激励的响应 下图下图给出了在不同阻尼比给出了在不同阻尼比 下下 与与 的关系曲线。的关系曲线。n/从图中可见，阻尼使系统的振幅

8、值减小，也使峰值相对从图中可见，阻尼使系统的振幅值减小，也使峰值相对于于 的位置左移。的位置左移。1/n4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动)(H第4章 受迫振动系统21221n（4-13）当当=0时，在时，在 =n处处H()不连续。不连续。对（对（4-12）式求导，并令其等于零，可得到曲线峰值点对应的）式求导，并令其等于零，可得到曲线峰值点对应的 值值 当当=0时，对应于无阻尼情况，此时系统的齐次微分方时，对应于无阻尼情况，此时系统的齐次微分方程就是程就是简谐振子简谐振子。当驱动频率当驱动频率趋近于系统的自然频率趋近于系统的自然频率n时，简谐振子的时，简谐振子的响应趋于无穷，

9、这种状态称为响应趋于无穷，这种状态称为共振共振，系统会发生剧烈振，系统会发生剧烈振动。动。4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第4章 受迫振动系统 值得注意的是，当值得注意的是，当=n 时，（时，（2-10）式所表示的解已不）式所表示的解已不适用了，必须对系统（适用了，必须对系统（2-2）重新求解。）重新求解。在微小阻尼情况下，如在微小阻尼情况下，如 0.05，H()的极大值的的极大值的位置几乎与位置几乎与 /n=1相差无几，引入符号相差无几，引入符号H()max=Q，在，在微小阻尼情况下，有微小阻尼情况下，有21Q（4-14）品质因子品质因子QtAtfmktxtxtxnnn

10、cos)()()(2)(22（4-2）Q通常称为通常称为品质因子品质因子。4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第4章 受迫振动系统另外，在工程上另外，在工程上H()常将取值为常将取值为 的两点的两点P1 和和P2称为称为半功率点半功率点。半功率点所对应频率之差称为。半功率点所对应频率之差称为半功率点带宽半功率点带宽，在小阻，在小阻尼情况下，不难证明，半功率点带宽尼情况下，不难证明，半功率点带宽 取如下值取如下值2/Qn212（4-15）比较（比较（4-14）和（）和（4-15）式，可得）式，可得 1221nQ（4-16）（4-16）式给出了一种快速估计）式给出了一种快速估计Q

11、 和和 值的方法。值的方法。4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第4章 受迫振动系统 下面将注意力转到相角上来，由（下面将注意力转到相角上来，由（4-11）和（）和（4-12）式，不）式，不难得到难得到 ieHH)()(（4-17）这里这里2112tannn（4-18）根据（根据（4-174-17）式和（）式和（4-184-18）式，（）式，（4-164-16）式可写为）式可写为 titie)(HARee)(AHRe)t(x（4-19）相角相角4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第4章 受迫振动系统第4章 受迫振动系统从（从（4-194-19）式和上图可以看

12、出）式和上图可以看出:对应于不同对应于不同值的所有曲线均在值的所有曲线均在/n=1处通过共同点处通过共同点 2 对于对于 /n1情况随情况随 /n减小，相角趋于零。减小，相角趋于零。对于对于 /n1情况，随情况，随 /n增大，相角趋于增大，相角趋于 。即即 /n1时响应同相，时响应同相，/n1时响应反相。时响应反相。4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 可见，受迫振动的振幅在共振点前后相位出现突变，这一反常现象，常被用来作为判断系统是否出现共振的依据。第4章 受迫振动系统方程方程（4-204-20）也清楚地表明简谐振子在驱动频率也清楚地表明简谐振子在驱动频率 趋近于自然频率趋近

13、于自然频率n时，响应变为无穷大。时，响应变为无穷大。tinAetx211Re)(（4-20）4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第4章 受迫振动系统)()(11txGtF)()(22txGtF 考虑两个激励考虑两个激励 和和 ，并设，并设 和和 分别为分别为对应于对应于 和和 的响应，则有的响应，则有)(1tF)(2tF)(1tx)(2tx)(2tF)(1tF接下来考虑接下来考虑 为为 和和 的线性组合，即的线性组合，即)(3tF)(1tF)(2tF)()()(22113tFctFctF4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 叠加原理叠加原理第4章 受迫振动系统

14、 则称系统是线性的，否则系统是非线性的。则称系统是线性的，否则系统是非线性的。很明显，它仅适用于线性系统。换句话说，叠加原理很明显，它仅适用于线性系统。换句话说，叠加原理可理解为，对于线性系统，可以先分别求解系统对于单独可理解为，对于线性系统，可以先分别求解系统对于单独激励的响应，然后将各个响应合成为系统的总响应。激励的响应，然后将各个响应合成为系统的总响应。)()()(22113txctxctx如果如果 的响应的响应 满足满足)(3tx)(3tF4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第4章 受迫振动系统4.1.2 系统对周期激励的响应 在工程振动中，也遇到大量其他类型的非简谐

15、周在工程振动中，也遇到大量其他类型的非简谐周期激励。利用期激励。利用Fourier级数展开的方法，可以将周期为级数展开的方法，可以将周期为T 的任何函数展成如下形式的任何函数展成如下形式1000sincos21)(ppptpbtpaatfT20 和和 由右式求得由右式求得 papb3,2,1sin)(22,1,0cos)(2220220ptdtptfTbptdtptfTaTTpTTp,4.1 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第4章 受迫振动系统而F(t)中的求和号中的每一项都是正弦和余弦项,故系统的稳态响应为：122221121)(nnnnnnnknSinbnCosatx 由解的

16、表达式可看出，对于周期激励的响应由解的表达式可看出，对于周期激励的响应 也也是周期的，且与是周期的，且与 有同样的周期。另外，当某个激振频有同样的周期。另外，当某个激振频率接近系统的自然频率率接近系统的自然频率 时，系统的响应中此简谐分量时，系统的响应中此简谐分量将占主导地位，系统发生共振，也就是说周期激励同样可将占主导地位，系统发生共振，也就是说周期激励同样可以激起系统共振。以激起系统共振。)(tx)(tfn第4章 受迫振动系统4.1 4.1 单自由度系统单自由度系统4.2 4.2 二自由度系统二自由度系统4.3 4.3 多自由度系统多自由度系统机械振动基础机械振动基础 第第4 4章章 受迫

17、振动系统受迫振动系统 第4章 受迫振动系统4.2 二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动有阻尼二自由度系统为有阻尼二自由度系统为11 112211 112211 112211212221212221212222()()m xm xc xc xk xk xF tm xm xc xc xk xk xF t设简谐激振力为设简谐激振力为1122(),()i ti tF tFeF tF e相应的系统的稳态解可表示为相应的系统的稳态解可表示为1122(),()i ti tx tX ex tX e 其中，其中，X1，X2 一般为与激振力频率一般为与激振力频率 和系统参数有关的复数。和系统参数有关的复数

18、。简谐激励下的二自由度系统的强迫振动响应简谐激励下的二自由度系统的强迫振动响应 第4章 受迫振动系统代入代入方程式，得两个代数方程式，得两个代数方程2211111111212122122121212122222222()()()()mi ckXmi ckXFmi ckXmi ckXF 引入表达式引入表达式2(),1,2ijijijijZmi ckij 这里函数这里函数 称为机械阻抗，称为机械阻抗，方程可以改写成可以改写成比较紧凑的矩阵形式比较紧凑的矩阵形式()ijZ ()ZXF 其中其中 称为阻抗阵，称为阻抗阵，为位移幅值列向量，为位移幅值列向量，为激振力幅值列向量。为激振力幅值列向量。()Z

19、 X F4.2 二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统解得解得 1()XZF其中其中122121211221221211112212()()1()()()det()()()1()()()()()ZZZZZZZZZZZZZ由此得由此得2211221211221212111222112212()()(),()()()()()()()()()ZFZFXZZZZFZFXZZZ4.2 二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动(4-23)第4章 受迫振动系统当系统无阻尼且当系统无阻尼且 时，方程时，方程 变为变为 20F 2211111222221212(),(),()Zkm

20、ZkmZk(4-24)将方程将方程(4-24)代入代入(4-23)中，可得中，可得22221122211122212121222211122212()()()()()()()km FXkmkmkk FXkmkmk对于一组给定的系统参数，由对于一组给定的系统参数，由上式可给出系统响应幅值随式可给出系统响应幅值随激振频率的变化曲线激振频率的变化曲线频响曲线。频响曲线。4.2 二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动2()ijijijijZmi ck(4-25)第4章 受迫振动系统第4章 受迫振动系统方程方程(4-25)变为变为2112422122422(32)()275()275kmFXmmk

21、kkFXmmkk(a)式式(a)中，中，和和 表达式的分母为特征行列式表达式的分母为特征行列式1()X2()X224222222212()2752()()mmkkm(b)其中其中22125,2kkmm(c)解解：4.2 二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统为系统自然频率的平方，这样为系统自然频率的平方，这样(a)式可以写为如下形式式可以写为如下形式211122121222123(/)22()51(/)1(/)1()5 1(/)1(/)FXkFXk (d)系统的频响曲线，即系统的频响曲线，即 和和 随随 的变化曲线如图。的变化曲线如图。1()X2()X1 4.2 二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动第4章 受迫振动系统无阻尼系统振动特性无阻尼系统振动特性 频率 振幅 相位 反共振特性第4章 受迫振动系统4.1 4.1 单自由度系统单自由度系统4.2 4.2 二自由度系统二自由度系统4.3 4.3 多自由度系统多自由度系统机械振动基础机械振动基础 第第4 4章章 受迫振动系统受迫振动系统 第4章 受迫振动系统4.3 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动 对简谐系统的响应对简谐系统的响应 无阻尼系统：直接法 有阻尼系统：模态法第4章 受迫振动系统