74直线与圆的综合应用课件.ppt

1、要点梳理要点梳理1.1.圆的方程圆的方程 （1 1）圆的标准方程为）圆的标准方程为 ，其中，其中圆心为圆心为 ，半径为，半径为r r.（2 2）圆的一般方程为）圆的一般方程为:x x2 2+y y2 2+DxDx+EyEy+F F=0(=0(D D2 2+E E2 2-4 4F F0)0)，其中圆心坐标为，其中圆心坐标为 ，半径为，半径为 .7.4 7.4 直线与圆的综合应用直线与圆的综合应用基础知识基础知识 自主学习自主学习(x x-a a)2 2+(+(y y-b b)2 2=r r2 2 （a a,b b）)2,2(EDFED421222.2.直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系判断

2、（1 1）代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，）代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来判断根据方程组解的个数来判断.若方程组有两组解，则直线与圆的位置关系为若方程组有两组解，则直线与圆的位置关系为 ；若方程组有一组解，则直线与圆的位置关系为若方程组有一组解，则直线与圆的位置关系为 ；若方程组无实数解，则直线与圆的位置关系为若方程组无实数解，则直线与圆的位置关系为 .（2 2）几何法：根据圆心到直线的距离）几何法：根据圆心到直线的距离d d和圆的半径和圆的半径r r大大小来判断小来判断;若若d d r r，则直线与圆的位置关系为，则直线与圆的位置关系为 ；若若d d

3、=r r，则直线与圆的位置关系为，则直线与圆的位置关系为 ；若若d d R R+r r，则两圆，则两圆 ；若若d d=R R+r r，则两圆，则两圆 ；若若d d=|=|R R-r r|，则两圆，则两圆 ；若若d d|R R-r r|，则两圆，则两圆 ；若若|R R-r r|d d R R+r r,则两圆则两圆 .相交相交相切相切相离相离相离相离外切外切内切内切内含内含相交相交基础自测基础自测1.1.（20092009临沂模拟）临沂模拟）已知直线已知直线x x+y y=a a与圆与圆x x2 2+y y2 2=4=4交于交于A A、B B两点，且两点，且 ，其中，其中O O为坐标原点，则实数为

4、坐标原点，则实数a a的值为的值为 .解析解析 如图，作平行四边形如图，作平行四边形OADBOADB，则则四边形四边形OADBOADB为正方形，为正方形，易知易知 为直线在为直线在y y轴上的截距的绝对值轴上的截距的绝对值,a a=2.2.2 2OBOAOBOA，OBOA，BAOD，BAOBOA，ODOBOA又OA2.2.直线直线x x+-2=0+-2=0被圆（被圆（x x-1-1）2 2+y y2 2=1=1所截得的线所截得的线段的长为段的长为 .3.3.圆圆2 2x x2 2+2+2y y2 2=1=1与直线与直线x xsin +sin +y y-1=0-1=0的位置关系是的位置关系是 .

5、解析解析 圆圆2 2x x2 2+2+2y y2 2=1=1可化为可化为x x2 2+y y2 2=，所以圆，所以圆心坐标为（心坐标为（0 0，0 0），半径为），半径为 ，而圆心到直，而圆心到直线线x xsin +sin +y y-1=0-1=0的距离为的距离为d d=相离相离3y3Z)2R,(，kk2)22(22.221111sin124.4.设圆设圆x x2 2+y y2 2-4-4x x-5=0-5=0的弦的弦ABAB的中点的中点P P（3 3，1 1），则），则直线直线ABAB的方程是的方程是 .解析解析 已知圆的圆心为已知圆的圆心为C C（2 2，0 0），），所以直线所以直线CP

6、CP的斜率为的斜率为则直线则直线ABAB的斜率为的斜率为-1-1，所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为y y=-(=-(x x-3)+1,-3)+1,即即x x+y y-4=0.-4=0.x x+y y-4=0-4=0,12301k【例例1 1】已知圆】已知圆C C：（：（x x-1-1）2 2+（y y-2-2）2 2=25=25及直线及直线l l:（2 2m m+1+1）x x+（m m+1+1）y y=7=7m m+4+4（m mR R）.（1 1）证明：不论）证明：不论m m取什么实数，直线取什么实数，直线l l与圆与圆C C恒相交；恒相交；（2 2）求直线）求直线l l被圆被圆C

7、 C截得的弦长最短长度及此时的直线截得的弦长最短长度及此时的直线方程方程.（1 1）问若按常规思路只需圆心）问若按常规思路只需圆心C C（1 1，2 2）到直）到直线线l l的距离恒小于半径即可，但注意到直线的距离恒小于半径即可，但注意到直线l l的方程写的方程写成成x x+y y-4+-4+m m（2 2x x+y y-7-7）=0=0后，发现直线后，发现直线l l过直线过直线x x+y y-4=04=0与直线与直线2 2x x+y y-7=0-7=0的交点（的交点（3 3，1 1），若该定点在），若该定点在圆内部，则问题（圆内部，则问题（1 1）得证）得证.典型例题典型例题 深度剖析深度剖

8、析分析分析(1)(1)证明证明 由（由（2 2m m+1+1）x x+（m m+1+1）y y=7=7m m+4+4（m mRR）得：得：m m（2 2x x+y y-7-7）+（x x+y y-4-4）=0=0 2 2x x+y y-7=0 -7=0 x x=3=3 x x+y y-4=0 -4=0 y y=1=1直线直线l l恒过定点（恒过定点（3 3，1 1）（3-13-1）2 2+（1-21-2）2 2=525=525，点点(3,1)(3,1)在圆内部在圆内部.不论不论m m为何实数为何实数,直线直线l l与圆恒相交与圆恒相交.解解得得(2)(2)解解 从从(1)(1)的结论知直线的结

9、论知直线l l过定点过定点MM(3,1)(3,1)且与且与过此点的圆过此点的圆C C的半径垂直时的半径垂直时,l l被圆所截的弦长被圆所截的弦长|ABAB|最短最短,由垂径定理知由垂径定理知|ABAB|=|=222CMr.052,43,231121112,1,54)21()13(25222yxlmmmkkCMl方程为代入得直线得从此时跟踪练习跟踪练习1 1 已知圆已知圆x x2 2+y y2 2-6-6mxmx-2-2（m m-1-1）y y+10+10m m2 2-2 2m m-24=0-24=0（m mR R）.（1 1）求证：不论）求证：不论m m为何值，圆心在同一直线为何值，圆心在同一

10、直线l l上；上；（2 2）与）与l l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；相离；（3 3）求证：任何一条平行于）求证：任何一条平行于l l且与圆相交的直线且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等被各圆截得的弦长相等.（1 1）证明证明 配方得：配方得：（x x-3-3m m）2 2+y y-（m m-1-1）2 2=25=25，x x=3=3m m y y=m m-1-1，l l：x x-3-3y y-3=0-3=0，则圆心恒在直线，则圆心恒在直线l l：x x-3-3y y-3=0-3=0上上.则则设圆心为（设圆心为（x x，y y），），消去消去m m得

11、得 （2 2）解解 设与设与l l平行的直线是平行的直线是l l1 1：x x-3-3y y+b b=0=0，则圆心到直线则圆心到直线l l1 1的距离为的距离为圆的半径为圆的半径为r r=5=5，当当d d r r，即，即 时，直线时，直线与圆相离与圆相离.10310)1(33bbmmd31053105b3105b31053105bb或（3 3）证明证明 对于任一条平行于对于任一条平行于l l且与圆相交的直线且与圆相交的直线l l1 1：x x-3-3y y+b b=0=0，由于圆心到直线，由于圆心到直线l l1 1的距离的距离弦长弦长=且且r r和和d d均为常量均为常量.任何一条平行于任

12、何一条平行于l l且与圆相交的直线被各圆截得且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等的弦长相等.,103bd222dr【例例2 2】已知一曲线是与两定点（】已知一曲线是与两定点（0 0，0 0）和（）和（3 3，0 0）的距离之比为的距离之比为m m(m m0)0)的点的轨迹，求此曲线的点的轨迹，求此曲线方程并说明是什么曲线方程并说明是什么曲线.本题是求轨迹方程并探求曲线类型的问题，本题是求轨迹方程并探求曲线类型的问题，依据题意，可采用直接法求轨迹方程依据题意，可采用直接法求轨迹方程.设所求曲线上任一点为设所求曲线上任一点为P P（x x，y y），由题意），由题意得得即即(m m2 2-1)-1

13、)x x2 2+(+(m m2 2-1)-1)y y2 2-6-6m m2 2x x+9+9m m2 2=0=0当当m m=1=1时，时，x x=，其轨迹为两点的中垂线；，其轨迹为两点的中垂线；分析分析解解,)3(2222myxyx23.13)0,13(,)13()13(,1222222222为半径的圆以为圆心其轨迹是以时当mm，mmmmymmxm跟踪练习跟踪练习2 2 已知两点已知两点MM（-1-1，0 0），），N N（1 1，0 0），），且点且点P P使使 成公差成公差小于零的等差数列小于零的等差数列.求点求点P P的轨迹的轨迹.解解 设设P P(x x,y y)，由，由MM（-1-1

14、，0 0），），N N（1 1，0 0）得）得NPNM，PNPM，MNMP1),1(2).0,2(),1(),1(22yxPNPMxMNMPNMMNyxNPPN，yxMPPM 是公差小于零的等是公差小于零的等差数列等价于差数列等价于 x x2 2+y y2 2-1=-1=2(1+2(1+x x)+2(1-)+2(1-x x),2(1-2(1-x x)-2(1+)-2(1+x x)0 0 x x2 2+y y2 2=3=3 x x0 0点点P P的轨迹是以原点为圆心，的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆为半径的右半圆.即即NPNM，PNPM，MNMP).1(2xNPNM213【例例3 3】（20

15、102010泰州模拟）泰州模拟）已知实数已知实数x x，y y满足方程满足方程x x2 2+y y2 2-4 4x x+1=0.+1=0.求求 的最大值和最小值，求的最大值和最小值，求y y-x x的最小值的最小值.解解 如下图，方程如下图，方程x x2 2+y y2 2-4-4x x+1=0+1=0表示以点（表示以点（2 2，0 0）为圆心，）为圆心，以以 为半径的圆为半径的圆.3xy设设 =k k，即，即y y=kxkx，由圆心（由圆心（2 2，0 0）到）到y y=kxkx的的距离为半径时，直线与距离为半径时，直线与圆相切，斜率取得最大、最小值圆相切，斜率取得最大、最小值.由由 ，解得，

16、解得k k2 2=3.=3.所以所以k kmaxmax=，k kminmin=.=.即即 的最大值为的最大值为 ，最小值为，最小值为 .（也可由平面几何知识，有（也可由平面几何知识，有OCOC=2=2，CPCP=，POCPOC=60=60,直线直线OPOP的倾斜角为的倾斜角为6060,直线直线OPOP的倾斜角为的倾斜角为120120解之解之.）xy31022kk33333xy跟踪练习跟踪练习3 3 已知已知AOBAOB中，中，|OBOB|=3|=3，|OAOA|=4|=4，|ABAB|=5|=5，点，点P P是是AOBAOB内切圆上一点，求以内切圆上一点，求以|PAPA|、|PBPB|、|PO

17、PO|为直径的三个圆的面积之和为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值的最大值与最小值.解解 建立如图所示的直角坐标系，使建立如图所示的直角坐标系，使A A、B B、O O三三点的坐标分别为点的坐标分别为A A（4 4，0 0）、）、B B（0 0，3 3）、）、O O（0 0，0 0）.设内切圆半径为设内切圆半径为r r，则有，则有2 2r r+|+|ABAB|=|=|OAOA|+|+|OBOB|，得得r r=1.=1.故内切圆的方程为故内切圆的方程为（x x-1-1）2 2+（y y-1-1）2 2=1=1，化简为化简为x x2 2+y y2 2-2-2x x-2-2y y+1=0.+1=

18、0.设设P P（x x,y y），又因为），又因为|PAPA|2 2+|+|PBPB|2 2+|+|POPO|2 2=（x x-4-4）2 2+y y2 2+x x2 2+（y y-3-3）2 2+x x2 2+y y2 2=3=3x x2 2+3+3y y2 2-8-8x x-6-6y y+25+25=3=3（x x2 2+y y2 2-2-2y y）-8-8x x+25+25=-2=-2x x+22+22因为因为x x0 0，2 2，故，故|PAPA|2 2+|+|PBPB|2 2+|+|POPO|2 2的最大的最大值为值为2222，最小值为，最小值为18.18.因为三个圆的面积之和为因为

19、三个圆的面积之和为 （|PAPA|2 2+|+|PBPB|2 2+|+|POPO|2 2）,因此所求面积的最大值为因此所求面积的最大值为 ，最小值为，最小值为 .421129【例例4 4】（】（1414分）已知点分）已知点A A(x x1 1,y y1 1),),B B(x x2 2,y y2 2)(x x1 1x x2 20)0)是抛物线是抛物线y y2 2=2=2pxpx(p p0)0)上的两个动点上的两个动点,O O是坐标原点是坐标原点,向量向量 满足满足|=|=|，设圆，设圆C C的方程为的方程为x x2 2+y y2 2-（x x1 1+x x2 2）x x-（y y1 1+y y2

20、 2）y y=0.=0.（1 1）证明线段）证明线段ABAB是圆是圆C C的直径；的直径；（2 2）当圆）当圆C C的圆心到直线的圆心到直线x x-2-2y y=0=0的距离的最小值的距离的最小值 为为 时，求时，求p p的值的值.解题示范（1 1）证明证明|=|,|=|,()()2 2=()=()2 2,552OB，OAOBOAOBOAOBOAOBOAOBOAOBOA即即整理得整理得x x1 1x x2 2+y y1 1y y2 2=0.=0.设点设点MM（x x，y y）是以线段）是以线段ABAB为直径的圆上的任意为直径的圆上的任意一点，一点，则则即（即（x x-x x1 1）（）（x x

21、-x x2 2）+（y y-y y1 1）（）（y y-y y2 2）=0.=0.展开上式并将展开上式并将代入得代入得x x2 2+y y2 2-（x x1 1+x x2 2）x x-（y y1 1+y y2 2）y y=0.=0.故线段故线段ABAB是圆是圆C C的直径的直径.6 6分分，OBOBOAOAOBOBOAOA2222220OBOA0MBMA（2 2）解设圆）解设圆C C的圆心为的圆心为C C（x x，y y），则），则 y y2 21 1=2=2pxpx1 1，y y2 22 2=2=2pxpx2 2（p p00）,x x1 1x x2 2=又又x x1 1x x2 2+y y1

22、 1y y2 2=0=0，x x1 1x x2 2=-=-y y1 1y y2 2.-.-y y1 1y y2 2=x x1 1x x2 20,0,y y1 1y y2 20.0.y y1 1y y2 2=-4=-4p p2 2.1010分分.2,22121yyyxxx.422212pyy.422212pyy圆心的轨迹方程为圆心的轨迹方程为y y2 2=pxpx-2-2p p2 2.设圆心设圆心C C到直线到直线x x-2-2y y=0=0的距离为的距离为d d，),2(12)2(41)(4122221212212221221pyppyyyyyypyypxxx142.5525,5.5)(52)

23、2(1522222分由题设得有最小值时当ppp，dpypppyypypyxd跟踪练习跟踪练习4 4 已知过点已知过点A A（0 0，1 1）且斜率为）且斜率为k k的直线的直线l l与圆与圆C C：（：（x x-2-2）2 2+(+(y y-3)-3)2 2=1=1相交于相交于MM、N N两点两点.（1 1）求实数）求实数k k的取值范围；的取值范围；（2 2）求证：）求证：为定值；为定值；（3 3）若）若O O为坐标原点，且为坐标原点，且 ，求，求k k的值的值.（1 1）解解 方法一方法一 直线直线l l过点过点A A（0,10,1）且斜率为）且斜率为k k，直线直线l l的方程为的方程为

24、y y=kxkx+1.+1.将其代入圆将其代入圆C C：（：（x x-2-2）2 2+(+(y y-3)-3)2 2=1,=1,得（得（1+1+k k2 2）x x2 2-4(1+-4(1+k k)x x+7=0.+7=0.由题意：由题意：=-4-4（1+1+k k）2 2-4-4（1+1+k k2 2)7070，ANAM 12ONOM.374374k得方法二方法二 同方法一得直线方程为同方法一得直线方程为y y=kxkx+1,+1,即即kxkx-y y+1=0.+1=0.又圆心到直线距离又圆心到直线距离 ,解得解得 .（2 2）证明证明 设过设过A A点的圆的切线为点的圆的切线为ATAT，T

25、 T为切点，为切点，则则|ATAT|2 2=|=|AMAM|ANAN|，|ATAT|2 2=（0-20-2）2 2+（1-31-3）2 2-1=7-1=7，根据向量的运算：根据向量的运算：cos 0cos 0=7=7为定值为定值.,122113222kkkkd11222kkd374374k.7 ANAMANAMANAM（3 3）解解 设设MM（x x1 1，y y1 1），），N N（x x2 2，y y2 2），则由），则由得得 =x x1 1x x2 2+y y1 1y y2 2=（1+1+k k2 2）x x1 1x x2 2+k k（x x1 1+x x2 2）+1+1k k=1=1（

26、代入（代入检验符合题意）检验符合题意）.,17144221221kxxkkxxONOM 1281)1(42kkk 高考动态展望高考动态展望本节内容在高考中每年必考，从近几年的考查来本节内容在高考中每年必考，从近几年的考查来看，有填空题，也有解答题，与其他知识相结合看，有填空题，也有解答题，与其他知识相结合的知识点也不少，有的对思维能力要求较高，因的知识点也不少，有的对思维能力要求较高，因此在今后的命题趋势中，综合题型仍会成为高考此在今后的命题趋势中，综合题型仍会成为高考的热点和重点之一的热点和重点之一.预测今后主要考查的角度是：预测今后主要考查的角度是：（1 1）圆中的度量关系，如弦长、切线长

27、、弧长、）圆中的度量关系，如弦长、切线长、弧长、圆心角等圆心角等.（2 2）解析几何设而不求的思想方法有可能渗透到）解析几何设而不求的思想方法有可能渗透到圆中考查，这样在题目中既有解析几何的通法，圆中考查，这样在题目中既有解析几何的通法，也有圆特有对称性的应用，是在知识交汇点上命也有圆特有对称性的应用，是在知识交汇点上命题的一个方向题的一个方向.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 方法规律总结方法规律总结1.1.根据直线与圆的位置关系求弦长，一般不用判根据直线与圆的位置关系求弦长，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径大小关别式，而是用圆心到直线的距离与半径大小关系求解系求解.2.2.要

28、注意数形结合，充分利用圆的性质，如要注意数形结合，充分利用圆的性质，如“垂垂直于弦的直径必平分弦直于弦的直径必平分弦”“”“圆的切线垂直于经圆的切线垂直于经过切点的半径过切点的半径”“”“两圆相切时，切点与两圆圆两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线心三点共线”等等，寻找解题途径，减少运算等等，寻找解题途径，减少运算量量.3.3.圆与直线圆与直线l l相切的情形相切的情形圆心到圆心到l l的距离等于半的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于径，圆心与切点的连线垂直于l l.4.4.圆与直线圆与直线l l相交的情形相交的情形圆心到圆心到l l的距离小于半的距离小于半径，过圆心而垂直于径，过圆心而垂直于

29、l l的直线平分的直线平分l l被圆截得的弦；被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦.一、填空题一、填空题1.1.（20102010无锡模拟）无锡模拟）圆心为（圆心为（1 1，1 1）且与直线）且与直线x x+y y=4=4相切的圆的方程是相切的圆的方程是 .解析解析 r r=所以圆的方程为所以圆的方程为(x x-1)-1)2 2+(+(y y-1)-1)2 2=2.=2.(x x-1)-1)2 2+(+(y y-1)-1)2 2=2=2，22411定时检测定时检测2.2.（20102010绍兴调研）绍兴调研）将圆将圆x x2 2+y y2 2=1=1向

30、右平移向右平移2 2个单个单位，向上平移位，向上平移1 1个单位后，恰好与直线个单位后，恰好与直线x x-y y+b b=0=0相切，则实数相切，则实数b b的值为的值为 .解析解析 平移后，圆的方程为（平移后，圆的方程为（x x-2-2）2 2+(+(y y+1)+1)2 2=1,=1,将将y y=x x+b b代入方程，代入方程，化简得化简得2 2x x2 2+(2+(2b b-2)-2)x x+b b2 2+2+2b b+4=0.+4=0.直线与圆相切，故直线与圆相切，故=0=0，即即(2(2b b-2)-2)2 2-8(-8(b b2 2+2+2b b+4)=0,+4)=0,解得解得b

31、 b=.23233.3.（20102010徐州调研）徐州调研）若直线若直线y y=x x+k k与曲线与曲线 恰有一个公共点，则恰有一个公共点，则k k的取值范围的取值范围是是 .解析解析 的图形为半圆，的图形为半圆，x x2 2+y y2 2=1(=1(x x0)0)，y y=x x+k k为斜率为为斜率为1 1的平行直线系，的平行直线系，数形结合可知数形结合可知k k=或或k k(-1,1(-1,1.(-1,1(-1,1-2-2221yx21yx4.4.（20102010河北石家庄一模）河北石家庄一模）已知两点已知两点A A（-2-2，0 0），），B B（0 0，2 2），点），点C C

32、是圆是圆x x2 2+y y2 2-2-2x x=0=0上任一点，上任一点，则则ABCABC面积的最小值是面积的最小值是 .解析解析 圆心（圆心（1 1，0 0）到直线）到直线ABAB的距离为的距离为直线与圆相离，直线与圆相离，C C到直线到直线ABAB的距离的最小值为的距离的最小值为ABCABC面积的最小值是面积的最小值是23,1223,1223.23)1223(22215.5.（20102010山东泰安模拟）山东泰安模拟）由直线由直线y y=x x+1+1上的点向上的点向圆圆x x2 2+y y2 2-6-6x x+8=0+8=0引切线，则切线长的最小值为引切线，则切线长的最小值为 .解析

33、解析 方法一方法一 直线直线y y=x x+1+1上点上点P P（x x0 0,y y0 0）到圆心）到圆心C C的距离的距离|PCPC|与切线长与切线长d d满足满足方法二方法二 设圆心设圆心C C，切点，切点MM，则，则PMCPMC为直角三为直角三角形，切线最短等价于角形，切线最短等价于|PCPC|最小，当最小，当CPCP与直线与直线y y=x x+1+1垂直时，切线长取最小值垂直时，切线长取最小值7.77)1(29421)3(12000202202xxxyxPCd.71)22(2mind6.6.（20102010江苏泰州调研）江苏泰州调研）一束光线从点一束光线从点A A（-1-1，1 1

34、）出发，经）出发，经x x轴反射到圆轴反射到圆C C：（：（x x-2-2）2 2+(+(y y-3)-3)2 2=1=1 上的最短路程是上的最短路程是 .解析解析 圆圆C C关于关于x x轴对称的圆轴对称的圆C C为为(x x-2)-2)2 2+(y y+3)+3)2 2=1=1，过点，过点A A与圆与圆C C相切的切线长就是最相切的切线长就是最 短路程短路程.切线长切线长d d=62.621)31()21(227.7.（20092009天津理）天津理）若圆若圆x x2 2+y y2 2=4=4与圆与圆x x2 2+y y2 2+2+2ayay-6=0(6=0(a a0)0)的公共弦的长为的

35、公共弦的长为 ，则，则a a=.解析解析 x x2 2+y y2 2+2+2ayay=6,=6,x x2 2+y y2 2=4=4两式相减得两式相减得y y=.=.y y=,=,x x2 2+y y2 2=4,=4,解得解得a a=1.=1.1 1联立联立32a1a1)0(14222aaaxy得消去321422aa8.8.（20092009四川理）四川理）若若O O：x x2 2+y y2 2=5=5与与O O1 1:(x x-m m)2 2+y y2 2=20(=20(m mR)R)相交于相交于A A、B B两点，且两圆两点，且两圆在点在点A A处的切线互相垂直，则线段处的切线互相垂直，则线

36、段ABAB的长度的长度是是 .解析解析 如图所示，在如图所示，在RtRtOOOO1 1A A中，中，OAOA=，O O1 1A A=，OOOO1 1=5=5，ACAC=,=,ABAB=4.=4.4 4552255259.9.（20102010广东佛山调研）广东佛山调研）圆（圆（x x-3-3）2 2+(+(y y-3)-3)2 2=9=9上到直线上到直线3 3x x+4+4y y-11=0-11=0的距离等于的距离等于1 1的点有的点有 个个.解析解析 因为圆心到直线的距离为因为圆心到直线的距离为又因为圆的半径为又因为圆的半径为3 3，所以直线与圆相交，由数，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆

37、上到直线的距离为形结合知，圆上到直线的距离为1 1的点有的点有3 3个个.3 3，2511129二、解答题二、解答题10.10.（20102010山东师大附中一模）山东师大附中一模）求圆心在直线求圆心在直线x x+y y=0=0上，且过两圆上，且过两圆x x2 2+y y2 2-2-2x x+10+10y y-24=0,-24=0,x x2 2+y y2 2+2+2x x+2+2y y-8=0-8=0的交点的圆的方程的交点的圆的方程.解解 方法一方法一 解方程组解方程组 x x2 2+y y2 2-2-2x x+10+10y y-24=0-24=0 x x2 2+y y2 2+2+2x x+2

38、+2y y-8=0-8=0得交点坐标分别为（得交点坐标分别为（0 0，2 2），（），（-4-4，0 0），），因为圆心在直线因为圆心在直线x x+y y=0=0上，故设所求圆心坐标上，故设所求圆心坐标为（为（a a,-,-a a）,则有则有解得解得a a=-3,=-3,r r=,=,因此所求圆的方程为因此所求圆的方程为(x x+3)+3)2 2+(+(y y-3)-3)2 2=10.=10.,)4()2(2222raaaa10方法二方法二 同方法一得已知两圆的交点坐标为同方法一得已知两圆的交点坐标为(0,2),(-4,0).(0,2),(-4,0).设所求圆的方程为设所求圆的方程为x x2

39、2+y y2 2+DxDx+EyEy+F F=0,=0,则有则有 4+24+2E E+F F=0 =0 D D=6=6 16-4 16-4D D+F F=0 =0 E E=-6=-6 ，F F=8.=8.因此所求圆的方程为因此所求圆的方程为x x2 2+y y2 2+6+6x x-6-6y y+8=0.+8=0.解得解得0)2(2ED11.11.（20102010浙江湖州检测）浙江湖州检测）如图所示，已知圆如图所示，已知圆C C1 1:x x2 2+y y2 2-2-2mxmx-2-2nyny+m m2 2-1=0-1=0和圆和圆C C2 2：x x2 2+y y2 2+2+2x x+2 2y

40、 y-2=0-2=0交于交于A A、B B两点且这两点平分圆两点且这两点平分圆C C2 2的圆周的圆周.求圆求圆C C1 1的圆心的圆心C C1 1的轨迹方程，并求出当圆的轨迹方程，并求出当圆C C1 1的的半径最小时圆半径最小时圆C C1 1的方程的方程.解解 圆圆C C1 1：（：（x x-m m）2 2+（y y-n n）2 2=n n2 2+1+1，圆圆C C2 2：（：（x x+）2 2+（y y+1+1）2 2=4=4，而，而C C1 1C C2 2ABAB且且ABAB为圆为圆C C2 2直径直径.|ACAC2 2|=2|=2，又，又|ACAC1 1|2 2=2 2=1+=1+n

41、n2 2，|ACAC2 2|2 2=4=4，|C C1 1C C2 2|2 2=（m m+1+1）2 2+（n n+1+1）2 2.（m m+1+1）2 2=-2=-2（n n+2+2）即为点）即为点C C1 1的轨迹方程的轨迹方程.又又-2-2（n n+2+2）00，n n-2-2，当当n n=-2=-2时，时，m m=-1=-1，（，（）minmin=，此时圆此时圆C C1 1的方程为（的方程为（x x+1+1）2 2+(+(y y+2)+2)2 2=5.=5.2cr1cr1cr512.12.（20102010苏州模拟）苏州模拟）已知已知MM：x x2 2+(+(y y-2)-2)2 2=

42、1,=1,Q Q是是x x轴上的动点，轴上的动点，QAQA、QBQB分别切分别切MM于于A A、B B两点两点.（1 1）如果）如果|ABAB|=|=，求直线，求直线MQMQ的方程；的方程；（2 2）求证直线）求证直线ABAB恒过一个定点恒过一个定点.（1 1）解解 设设P P是是ABAB的中点，由的中点，由|ABAB|=|=，可得可得由射影定理，得由射影定理，得|MBMB|2 2=|=|MPMP|MQMQ|，得，得|MQMQ|=3|=3，在，在RtRtMOQMOQ中，中，故故Q Q点的坐标为（点的坐标为（，0 0）或（）或（，0 0）所以直线所以直线MQMQ的方程是：的方程是：324324.

43、31)322(1)2(222ABMAMP.5232222MOMQOQ55(2)(2)证明证明 设设Q Q（a a,0,0），由题意知），由题意知MM，A A，Q Q，B B四四点共圆，直径为点共圆，直径为MQMQ，设，设R R（x x,y y）是该圆上任一点，）是该圆上任一点，由由 得得,x x(x x-a a)+()+(y y-2)-2)y y=0.=0.即即x x2 2+y y2 2-axax-2-2y y=0.=0.式与式与x x2 2+(+(y y-2)-2)2 2=1=1联立，消去联立，消去x x2 2+y y2 2项得两圆公共项得两圆公共弦弦ABAB的方程为的方程为-axax+2+2y y=3.=3.无论无论a a取何值取何值,直线直线ABAB恒过点（恒过点（0,0,）.230QRMR0525205252yxyx或