《概率论与数理统计》课件ch.ppt

1、概率论与数理统计 111/26/2022第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念n样本空间样本空间n随机事件随机事件n频率和概率频率和概率n条件概率条件概率n事件的独立性事件的独立性21 1 随机试验随机试验确定性现象：结果确定确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定不确定性现象：结果不确定确定性现象确定性现象不确定性现象不确定性现象自然界与社会生活中的两类现象自然界与社会生活中的两类现象3例：向上抛出的物体会掉落到地上（确定）打靶，击中靶心（不确定）买了彩票会中奖（不确定）4不 确 定 现 象：个 别 现 象 随 机 现 象:在 个 别 试 验 中 其 结 果 呈 现 出 不 确

2、定 性，但 在 大 量 重 复 试 验 中 其 结 果 又 具 有 统 计 规 律 性。不 确 定 现 象：个 别 现 象 随 机 现 象:在 个 别 试 验 中 其 结 果 呈 现 出 不 确 定 性，但 在 大 量 重 复 试 验 中 其 结 果 又 具 有 统 计 规 律 性。不 确 定 现 象：个 别 现 象 随 机 现 象:在 个 别 试 验 中 其 结 果 呈 现 出 不 确 定 性，但 在 大 量 重 复 试 验 中 其 结 果 又 具 有 统 计 规 律 性。5 概率论与数理统计是研究随机现概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的学科。象数量规律的学科。6对随机现象的观察、记录

3、、实验统称对随机现象的观察、记录、实验统称为随机试验。它具有以下特性：为随机试验。它具有以下特性：n可以在相同条件下重复进行；可以在相同条件下重复进行；n事先知道可能出现的结果；事先知道可能出现的结果；n进行试验前并不知道哪个试验结果会进行试验前并不知道哪个试验结果会发生发生。7例：例：v抛一枚硬币，观察试验结果；抛一枚硬币，观察试验结果；v对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某路公交车某停靠站登记下车人数；v对某批电子产品测试其输入电压；对某批电子产品测试其输入电压；v对听课人数进行一次登记；对听课人数进行一次登记；82 2 样本空间样本空间随机事件随机事件(一一)样本空间样本空间 定义：随

4、机试验定义：随机试验E E的所有结果构成的所有结果构成的集合称为的集合称为E E的的 样本空间样本空间，记为，记为S=eS=e，称称S S中的元素中的元素e e为为样本点样本点，一个元素，一个元素的单点集称为的单点集称为基本事件基本事件9n例：q一枚硬币抛一次一枚硬币抛一次q记录一城市一日中发生交通事故次数记录一城市一日中发生交通事故次数q记录一批产品的寿命记录一批产品的寿命xq记录某地一昼夜最高温度记录某地一昼夜最高温度x，最低温，最低温度度y10S=S=正面，反面正面，反面；S=0,1,2,S=0,1,2,；S=x|axb S=x|axb S=(x,y)|TS=(x,y)|T0 0yyxT

5、xT1 1；11(二)随机事件随机事件 一般我们称一般我们称S S的子集的子集A A为为E E的的随随机事件机事件A A，简称简称事件事件A.A.当且仅当当且仅当A A所所包含的一个样本点发生称包含的一个样本点发生称事件事件A A发发生生。12随机事件有如下特征：随机事件有如下特征：v任意一事件任意一事件A是相应的样本空间是相应的样本空间S的一个的一个子集，其关系可用维恩子集，其关系可用维恩(Venn)图来表示；图来表示；v事件事件A发生当且仅当发生当且仅当A中的某一个样本点中的某一个样本点出现；出现；v事件事件A的表示可用集合，也可用语言来表的表示可用集合，也可用语言来表示。示。13S=0,

6、1,2,S=0,1,2,；A=A=至少有至少有1010人候车人候车=10,11,12,=10,11,12,S S，A A为随机事件，为随机事件，A A可能发生，也可能不发生。可能发生，也可能不发生。例：观察例：观察8989路公交车浙大站候车路公交车浙大站候车人数。人数。14n由一个样本点组成的单点集，称为由一个样本点组成的单点集，称为基基本事件。本事件。n如果将如果将S亦视作事件，则每次试验亦视作事件，则每次试验S总总是发生，故又称是发生，故又称S为为必然事件必然事件。n为方便起见，记为方便起见，记为为不可能事件不可能事件，不不包含任何样本点。包含任何样本点。152 ABA BBA1 ：事件

7、发生一定导致 发生ABABSAB(三三)事件的关系及运算事件的关系及运算v事件的关系（包含、相等）事件的关系（包含、相等）16例：例：q记记A=A=明天天晴明天天晴，B=B=明天无雨明天无雨 q记记A=A=至少有至少有1010人候车人候车，B=B=至少有至少有5 5人候车人候车 n抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别记为记为x,y.x,y.记记A=x+yA=x+y为奇数为奇数，B=B=两次的骰子点两次的骰子点数奇偶性不同数奇偶性不同 ，则，则 BABABA17n 事件的运算事件的运算|A B xx A x B A B 或：与至 少 有 一 发 生。S

8、BAA B A A与与B B的和事件，记为的和事件，记为|AB xx A xB AB 或：与 至 少 有 一 发 生。18n 事件的运算事件的运算SAB,A B A B AB A A与与B B的积事件，记为的积事件，记为|AB xxAxB AB 且：与 同 时 发 生。|A B xx A x B A B 且：与同 时 发 生。19121121,ninininiAA AAAA AA：至少有一发生：同时发生SBA当AB=AB=时，称事件A A与B B是互不相容的，或互斥的。20,逆事件记为互逆(互为的,若,对立事件)称 AASABSAAA BA AA BASA21|事 件 对 事 件 的 差 事

9、件：且 A BAB xxA xBAB|事 件 对 事 件 的 差 事 件：且 AB AB xx A x BABSAB22“和和”、“交交”关系式关系式1211nniiniiAAA AA；1211nniiniiAAAAA；23AB AB ABABABAB例：设例：设A A=甲来听课甲来听课 ，B B=乙来听乙来听 课课 ，则：，则：甲、乙至少有一人来甲、乙至少有一人来 甲、乙都来甲、乙都来 甲、乙都不来甲、乙都不来 甲、乙至少有一人不来甲、乙至少有一人不来 24 概率中常有以下定义：由概率中常有以下定义：由n n个元件组成个元件组成的系统，其中一个损坏，则系统就损坏，的系统，其中一个损坏，则系统

10、就损坏，此时这一系统称为此时这一系统称为“串联系统串联系统”；若有；若有一个不损坏，则系统不损坏，此时这一一个不损坏，则系统不损坏，此时这一系统称为系统称为“并联系统并联系统”。25例：例：由由n n个部件组成的系统，记个部件组成的系统，记串联系统：串联系统：并联系统：并联系统：第i个部件没有损坏，i=1,2,A系统没有损坏iAn1niiAA1niiAA263 3 频率与概率频率与概率(一一)频率频率定义：记其中 A发生的次数(频数)；n总试验次数。称 为A在这n次试验中发生的频率频率。An()；nAfAnn()nfA271 n；例：例：中国男子国家足球队，中国男子国家足球队，“冲出亚洲冲出亚

11、洲”共进行了共进行了n n次，其中成功了一次，在次，其中成功了一次，在这这n n次试验中次试验中“冲出亚洲冲出亚洲”这事件发这事件发生的频率为生的频率为 28()12 1675%nfA()nfA某人一共听了某人一共听了1616次次“概率统计概率统计”课，其课，其中有中有1212次迟到，记次迟到，记A=A=听课迟到听课迟到，则，则 频率 反映了事件A发生的频繁程度频繁程度。29频率的性质：频率的性质：1 2111 0()12()13,()()nnkkkniniiif Af SAAAfAf A。若,两 两 互 不 相 容，则 12111 0()12()13,()()nnkkkniniiif Af

12、SA AAfAf A。若,两两互不相容，则 121110()12()13,()()nnkkkniniiifAfSAAAfAfA。若,两 两 互 不 相 容，则 30试验序号n=5n =50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.51

13、60.5240.494 例：抛硬币出现的正面的频率实验者nnHfn(H)德摩根204810610.5181蒲 丰404020480.5069K皮尔逊1200060190.5016K皮尔逊24000120120.500532频率的重要性质：频率的重要性质：随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p()nfA33 定义定义2 2：将概率视为测度，且满足：将概率视为测度，且满足：称P(A)为事件为事件A A的概率的概率。12111()02()13,()()。,.,.,（ij）kijiiiiP AP SA AAA APAP A (二二)概率概率 定义定义1 1：的稳定值的稳定值p p定义为定义为A A的概率的概

14、率，记为，记为P(A)=pP(A)=p()nfA34性质：性质：(1,2,.),nAn 证：令1,.nijnAA Aij 111()()()nnnnnPPAP AP 1 ()0 P()0.()0)PP 351 2112,()()nnn i jiiiiAAAA A i j P APA 。,.,(1,2,.),n kAk 证：令,1,2,.ijA Aij i j 1111()()()().nniiiiiiiiPAPAP AP A12112,()()nnnijiiiiA AA AAijPAP A。,.,364()()()若，则有 ABP BAP BP A3 ()1()P AP AAAS 证：()()

15、1P AP A()(),()()1于是有P BP AP AP S37()()证：BAA BABABAAB()()()P BP AP AB()()()()0P BP AP ABP BA()()P BP A()?P BA问题：一般情况下()()()P BAP BP AB答案：38()0()1P AAP BBS注：已知不能；已知不能.395()()()()概 率 的 加 法 公 式：P ABP AP BP A B()ABABA证：()()()P ABP AP BA()()()()P ABP AP BP AB5()()()()概 率 的 加 法 公 式：PAB PAPB PA B40#5。的推广1：(

16、)()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC()()()()P ABCP ABP CP A CB C 证：()()()()()()()PA PB PA B PC PA C PB C PA B C()()()()()()()P AP BP A BP CP A CP B CP A B C ()()()()PA B C PA B PC PA C B C 证：411111121()()()()(1)()nniiijiij ninijknij k nPAP AP A AP A A AP A AA#5。的推广2(一般情形）：42例：甲乙丙例：甲乙丙3人去参加

17、某个集会的概率人去参加某个集会的概率均为均为0.4，其中至少有两人参加的概率为，其中至少有两人参加的概率为0.3，都参加的概率为，都参加的概率为0.05，求，求3人中至人中至少有一人参加的概率。少有一人参加的概率。43解：设解：设A,B,C分别表示甲分别表示甲,乙乙,丙参加，丙参加，由条件知由条件知 P(A)=P(B)=P(C)=0.4,P(AB AC BC)=0.3,P(ABC)=0.05.44由由0.3P(AB AC BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)2P(ABC),得得 P(AB)+P(AC)+P(BC)=0.3+2P(ABC)=0.4,45因此，因此，P(甲乙丙至少有一人参加）

18、甲乙丙至少有一人参加）=P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=0.85.464 4 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）定义：若试验定义：若试验E E满足满足：nS S中样本点有限中样本点有限(有限性有限性)n出现每一样本点的概率相等出现每一样本点的概率相等(等可能性等可能性)AP AS所包含的样本点数中的样本点数称这种试验为等可能概型等可能概型(或古典概型或古典概型)。47例例1：一袋中有：一袋中有8个球，其中个球，其中3个为红球，个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等。个为黄球，设摸到每一球的可能性相等。（1）从袋

19、中随机摸一球，）从袋中随机摸一球，记记A=摸到红摸到红球球，求求P(A)（2）从袋中不放回摸两球，记从袋中不放回摸两球，记B=恰是一恰是一红一黄红一黄，求求P(B)48 解：解：(1)(1)11235815(2)()/53.6%28P BC CC 38P AS=1,2,8,A=1,2,3 49例例2：有：有N件产品，其中件产品，其中D件是次品，件是次品，从中不放回的取从中不放回的取n件，记件，记Ak恰有恰有k件次品件次品（kD)，求，求P(Ak)(,)DN nN50()/,0,1,kn knkDN DNP AC CCkn0LmC（注：当注：当Lm Lm 或或 L0L0，i=1,2,n；则称：；

20、则称：1()()(|)njjjP AP BP A B为全概率公式全概率公式B1B2BnSA定理：定理：9012nAASABABABijABABij与不相容1()()njjP AP AB1()(|)njjjP BP A B证明证明 注：注：在运用全概率公式时，一个关键是构造在运用全概率公式时，一个关键是构造一组合适的划分。一组合适的划分。91*全概率公式可由以下框图表示：设 P(Bj)=pj,P(A|Bj)=qj,j=1,2,n易知：11njjpSP1P2.B2B1Bn.q2q1qnA 1|njjjP AP BP A BPn92 更进一步更进一步，设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S，A和和

21、C为为E的事件。的事件。B1,B2,Bn为为S的一个划的一个划分，分，P(BiC)0，i=1,2,n；P(C)0,则则称：称：为条件概率的全概率公式。为条件概率的全概率公式。11()()()(|)nnjjjjjP A CP AB CP B CP A B C931()(|)(|)()(|)iiinjjjP B P A BP BAP B P A B定理：接上面全概率公式的条件，定理：接上面全概率公式的条件，且且P(A)0,P(A)0,则则称此式为称此式为Bayes公式。公式。94例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为出差的概率为70%70%，若甲出差，则乙

22、出，若甲出差，则乙出差的概率为差的概率为10%10%；若甲不出差，则乙出；若甲不出差，则乙出差的概率为差的概率为60%60%。(1)(1)求近期乙出差的概率；求近期乙出差的概率；(2)(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。的概率。95()0.70,(|)0.10,(|)0.60P AP B AP B A已知 1 ()()P BP ABAB()(|)()(|)P A P B AP A P B A0.7 0.1 0.3 0.6 25%()()P ABP AB解：设解：设A=A=甲出差甲出差，B=B=乙出差乙出差 96()()72 (|)()()()25P ABP

23、 ABP A BP BP ABP ABBayes公式公式97例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有验具有5%5%的假阳性及的假阳性及5%5%的假阴性：的假阴性：若设若设A=A=试验反应是阳性试验反应是阳性，C=C=被诊断患有癌症被诊断患有癌症 则有：则有：已知已知某一群体某一群体P(C)=0.005P(C)=0.005，问这种方法能否用于普问这种方法能否用于普查？查？(|)5%,(|)5%,P A CP A C98()(|)()P ACPC AP A()(|)0.087()(|)()(|)P C P A CP C P A CP C P A C若若

24、P(C)较大，不妨设较大，不妨设P(C)=0.8推出推出P(C|A)=0.987说明这种说明这种试验方法可在医院用试验方法可在医院用解：考察解：考察P(C|A)P(C|A)的值的值若用于普查，若用于普查，100100个阳性病人中被诊断患有个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有癌症的大约有8.78.7个，所以不宜用于普查。个，所以不宜用于普查。99例：例：有三个箱子，第有三个箱子，第1箱装有箱装有5件正品件正品2件次品，第件次品，第2箱装有箱装有4件正品件正品2件次品，件次品，第第3箱装有箱装有3件正品件正品2件次品。现从第一件次品。现从第一箱中随机取箱中随机取1件放到第件放到第2箱，再从第箱，再从

25、第2箱箱中随机取中随机取1件放到第件放到第3箱，然后从第箱，然后从第3箱箱中随机取中随机取1件，求最后取到的是次品的件，求最后取到的是次品的概率。概率。100()()(|)()(|)P CP A P C AP A P C A解：设解：设A,B,CA,B,C分别表示从第分别表示从第1 1，2 2，3 3箱取到次品，箱取到次品，3 34 21 7()()(|)()(|)7 67 64 2P C AP B A P C B AP B A P C B A由由条件概率全概率公式，条件概率全概率公式，33 42 17()()(|)()(|)76 76 42PCA PBAPC BA PBAPC BA10123

26、 52 16()()(|)()(|)76 7642PC AP BA PC BAP B A PC BA21 7 51 6 5 7()()(|)()(|)74 2 74 2 1 4 7PC PAPCA PAPCA问题：直接可以用全概率公式吗？问题：直接可以用全概率公式吗？2 35 21 6()()(|)()(|)7 67 64 2P C AP B A P C B AP B A P C B A2 1 75 1 65 7()()(|)()(|)7 4 27 4 21 4 7P CP A P C AP A P C A 1026 6 独立性独立性例：有例：有10件产品，其中件产品，其中8件为正品，件为正品

27、，2件件次品。从中取次品。从中取2次次,每次取每次取1件，设件，设Ai=第第i次取到正品次取到正品，i=1,221278(|)()910P AAP A2128(|)()10P A AP A不放回抽样时，不放回抽样时，放回抽样时放回抽样时，103即放回抽样时，即放回抽样时，A A1 1的发生对的发生对A A2 2的发生的发生概率不影响。同样，概率不影响。同样，A A2 2的发生对的发生对A A1 1的的发生概率不影响。发生概率不影响。104定义：设定义：设A，B为两随机事件，如果为两随机事件，如果P(AB)=P(A)*P(B)，则称，则称A，B 相互独立相互独立.若若 ，P(AB)=P(A)P(

28、B)等价于等价于P(B|A)=P(B)，P(AB)=P(A)P(B)也等价于也等价于P(A|B)=P(A).()0,()0P AP B105 1P ABP AP BP ABP A ABP A P ABP AP BP AP B证：当时,ABABABAB相 互 独 立相 互 独 立相 互 独 立相 互 独 立,A BA BA BA B相 互 独 立 相 互 独 立 相 互 独 立 相 互 独 立 1PA B PAPBPA B PAA B PA PA B PA PB PAPB 证：当时106 1212112,2,kjnkiiiijnA AAnk nP AAAP AA AA 设为个 随 机 事 件，若

29、 对定 义：均 有：则 称相 互 独 立定义：定义：107注意：注意：1 两两独立不能相互独立2实际问题中，常常不是用定义去验证事件的独立性，而是由实际情形来判断其独立性。108 n n重贝努利试验：设试验重贝努利试验：设试验E E只有两个只有两个可能的结果：可能的结果：,p(A)=p,p(A)=p,0p1,0p0，但很小很小，他独立重复进行但很小很小，他独立重复进行了了n次操作，次操作，求求(1)n次都不发生事故的概率；次都不发生事故的概率；(2)至少有一次发生事故的概率。至少有一次发生事故的概率。120解：设解：设A=n次都不发生事故次都不发生事故,B=至少至少有一次发生事故有一次发生事故,Ci=第第i次不发生事次不发生事故故,i=1,2,n1,.,()1niCCP Cp 则相互独立，1()()(1)nnP AP CCp()1()1(1),lim()1nnPBPApPB 注 意 到121上式的意义为：上式的意义为：“小概率事件小概率事件”在在大量独立重复试验中大量独立重复试验中“至少有一次至少有一次发生发生”几乎是必然的。几乎是必然的。()1()1(1),lim()1nnP B PApP B 注 意 到122课件待续!11/26/2022