5章-运动学基础课件.ppt

1、理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础1第第 5 章章 运动学基础运动学基础5-2 点的运动学点的运动学5-3 刚体的基本运动刚体的基本运动5-1 运动学的基本概念运动学的基本概念理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础2 运动学运动学是是研究物体在空间位置随时间变化的几何研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学性质的科学。在运动学中从几何学的观点研究物体的。在运动学中从几何学的观点研究物体的运动规律，不考虑影响运动的物理因素如力和质量等。运动规律，不考虑影响运动的物理因素如力和质量等。5-1 运动学的基本概念运动学的基本概念 机器是由机构组成的，机器是由机构组成

2、的，这些机构用来进行运动这些机构用来进行运动的传递与转变，以实现的传递与转变，以实现预期的运动。例如车轮预期的运动。例如车轮的运动会带动车辆前进。的运动会带动车辆前进。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础3 运动学的主要内容运动学的主要内容 包括建立机械运动的描述方包括建立机械运动的描述方法法,即即选择合适的参量对物体的机械运动进行定量描选择合适的参量对物体的机械运动进行定量描述述。研究表征运动几何性质的基本物理量，如速度、。研究表征运动几何性质的基本物理量，如速度、加速度、角速度和角加速度等。研究运动分解与合加速度、角速度和角加速度等。研究运动分解与合成的规律。成的规律。理论

3、力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础4 学习运动学的目的学习运动学的目的 除了为后续课程打基础外，除了为后续课程打基础外，也可以直接用来解决工程实际问题，例如机构运动也可以直接用来解决工程实际问题，例如机构运动分析。分析。运动学的力学模型运动学的力学模型：点和刚体点和刚体 点点：不考虑：不考虑质量质量，忽略体积大小的几何上的点；，忽略体积大小的几何上的点；刚体刚体：由无数点组成的不变形物体。：由无数点组成的不变形物体。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础5 运动是运动是绝对的绝对的，但，但运动的描述则是相对的运动的描述则是相对的。因。因此，在描述物体的运动时都需要指

4、明相对于哪个此，在描述物体的运动时都需要指明相对于哪个物体。用来确定点或物体位置和运动的另一个物物体。用来确定点或物体位置和运动的另一个物体称为体称为参考体参考体。固结在参考体上的坐标系称为。固结在参考体上的坐标系称为参参考系考系。一般工程问题中，如不加特别说明都取。一般工程问题中，如不加特别说明都取与与地面固连的坐标系为参考系地面固连的坐标系为参考系。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础6（1）点的位置的确定点的位置的确定rtrtrvt ddlim0rtrtvtvat 220ddddlim运动方程运动方程)(trr 1、点的运动的矢量表示法（3）加速度加速度（描述速度（描述速

5、度变化的快慢与方向变化的快慢与方向)（2）点的速度（描述点点的速度（描述点运动的快慢与运动方向运动的快慢与运动方向)显然矢端曲线就是显然矢端曲线就是动点的动点的运动轨迹运动轨迹。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础7 如果取矢径的原点与如果取矢径的原点与直角坐标系的原点重合，直角坐标系的原点重合，则有如下关系则有如下关系（1）点的位置的确定点的位置的确定kzj yi xr 直角坐标表示的点的运动直角坐标表示的点的运动方程为方程为)(,)(,)(321tfztfytfx 以上也就是以上也就是点的轨迹的参数方程点的轨迹的参数方程。2、点的运动的直角坐标表示法理论力学电子教案理论力学

6、电子教案运动学基础运动学基础8ktzjtyitxtrvdddddddd kvjvivvzyx （2）点的速度点的速度 tzvtyvtxvzyxdd ,dd ,dd 故故2z2y2xvvvv ,),cos(vvjvy 速度大小速度大小,),cos(vvivx 方向方向vvkvz),cos(理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础9（3）加速度加速度kajaiaktzjtyitxktvjtvitvtvazyxzyx 222222ddddddddddddddzyxaaaa222 aakaaajaaaiazyx ),cos(,),cos(,),cos(大小和方向为大小和方向为同理同理理论力

7、学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础10 当点作直线运动时，已知点在某瞬时的速度当点作直线运动时，已知点在某瞬时的速度v=5 m/s，问这时的加速度是否为，问这时的加速度是否为a=0？为什么？为什么？思考思考 题题 5-1 答答:不能确定。因为加速度是速度对时间的变不能确定。因为加速度是速度对时间的变化率，所以不能由某瞬时的速度来确定加速度。化率，所以不能由某瞬时的速度来确定加速度。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础11 一人在路灯下由灯柱起以匀速一人在路灯下由灯柱起以匀速v沿直线背离灯柱沿直线背离灯柱行走。设人高行走。设人高AB=l，灯高，灯高OD=h，试求头顶影

8、子，试求头顶影子M 的轨迹、速度和加速度。的轨迹、速度和加速度。例例 题题 5-1理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础12解：取坐标轴解：取坐标轴Ox如图。由三角形相似关系，有如图。由三角形相似关系，有即即从而求得点从而求得点M 的轨迹为直的轨迹为直线，运动方程为线，运动方程为 M 点的速度点的速度ABBMODOM lvtxhx vtlhhx vlhhtxvM dd例例 题题 5-1而加速度而加速度 a=0，即点，即点M 作匀速直线运动。作匀速直线运动。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础13椭圆规的曲柄椭圆规的曲柄OA可绕定轴可绕定轴O转动，端点转动，端点A以

9、铰链连接以铰链连接于规尺于规尺BC；规尺上的点；规尺上的点B和和C可分别沿互相垂直的可分别沿互相垂直的滑槽运动，滑槽运动，j j=w wt，w w为常为常量。试求规尺上任一点量。试求规尺上任一点M 的运动方程、轨迹方程、的运动方程、轨迹方程、速度及加速度方程。速度及加速度方程。bCMaABACOA 2已知：已知：例例 题题 5-2理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础141)(2222 bybax 解：考虑任意位置，点解：考虑任意位置，点M的的坐标坐标 x，y可以表示成可以表示成上式即为上式即为点点M的运动方程的运动方程。上式中消去角上式中消去角j j，即得点，即得点M的的轨迹方

10、程轨迹方程:例例 题题 5-2tbbytbabaxw wj jw wj jsin sincos)(cos)(可见点可见点M的轨迹为的轨迹为椭圆椭圆。有一种椭圆规就是据。有一种椭圆规就是据此原理制作的。此原理制作的。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础15tbyvtbaxvyxw ww ww ww wcossin)(点点M的速度方程：的速度方程：点点M的加速度方程：的加速度方程：tbyatbaxayxw ww ww ww wsincos)(22 tbbytbabaxw wj jw wj jsin sincos)(cos)(点点M的运动方程的运动方程:理论力学电子教案理论力学电子教

11、案运动学基础运动学基础16 以点的轨迹作为坐标轴来确定动点的位置的方法以点的轨迹作为坐标轴来确定动点的位置的方法叫叫自然法自然法。该方法适用于。该方法适用于动点的动点的 轨迹为已知轨迹为已知的情况。的情况。（1）点的位置的确定点的位置的确定 弧坐标表示的弧坐标表示的运动方程运动方程为为s=f(t)选定轨迹上的一点选定轨迹上的一点O为参为参考点，并设点考点，并设点O的某一侧为正的某一侧为正向，动点向，动点M在轨迹上的位置由在轨迹上的位置由弧长弧长s确定确定,s 称为动点称为动点M在轨在轨迹上的迹上的弧坐标弧坐标。4、点的运动的自然表示法理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础17（2

12、）点的速度）点的速度trvtlim0 tststrvttddlimlim00 经过经过D D t时间时间,点沿轨迹由点沿轨迹由M 到到M，矢径有增量矢径有增量 ，则则r为为切切向向单单位位矢矢。tettddesetsv 理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础18tevetstevetvevttvadddddddd)(ddddtt22ttt t22ttddddetsetva (一一)切向加速度（表示速度大小的变化）切向加速度（表示速度大小的变化）（3）点的加速度点的加速度tevv 理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础19(二二)法向加速度（法向加速度（表示速度方向的

13、变化）表示速度方向的变化）tevtevatlimddt0tn ,22sin ,0 ,0j jj jst时时当当 1|t e2sin22sin|2|ttttj jj j eeee。线方向单位矢为线方向单位矢为指向轨迹内凹一侧。法指向轨迹内凹一侧。法即沿法线方向。即沿法线方向。方向垂直于方向垂直于于是于是ntt,eeej j j jj jvtsstte ddddddddtn2neva 为轨迹在点为轨迹在点M的曲率半径。的曲率半径。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础20n2tntddevetvaaa ,2n2taaa 全加速度的大小和方向为全加速度的大小和方向为 为轨迹曲线在点为轨

14、迹曲线在点M 处的曲率处的曲率半径。半径。nt|arctanaa 理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础21何谓点的坐标，点的位移和点的路程。何谓点的坐标，点的位移和点的路程。在下述情况下，点分别作何种运动在下述情况下，点分别作何种运动？(a)at0，an0；(b)at0，an0；(c)at0，an0，(d)at0，an0。思思 考考 题题 5-2思思 考考 题题 5-3理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础22思思 考考 题题 5-4 火车头（可看作一个点）沿图示的轨道运动。火车头（可看作一个点）沿图示的轨道运动。问：图中所画的问：图中所画的 和和 ，哪些是可能的

15、？哪些是不，哪些是可能的？哪些是不可能的？并说明理由。可能的？并说明理由。va理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础23思思 考考 题题 5-4a 点点B和点和点F可能；可能；v 0,an 0,指向曲率中心；指向曲率中心；a 答：点答：点A不可能；不可能；v=0,an=0,沿轨迹切线；沿轨迹切线；若点若点C是曲线的拐点是曲线的拐点,就是可能的就是可能的,点点D、点、点E、点、点G不可能。不可能。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础24 点从位置点从位置 M0 处以处以 s=250t+5t2 规律沿半径规律沿半径 r=1500 m的圆弧运动，其中的圆弧运动，其中s以

16、以m计，计，t以以s计，当计，当 t=5 s时，试求点在轨迹上的位置时，试求点在轨迹上的位置M及其速度和加及其速度和加速度。速度。例例 题题 5-3理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础25解：因已知点沿圆弧轨迹的运动解：因已知点沿圆弧轨迹的运动方程，宜用自然法求解。取方程，宜用自然法求解。取M0为为弧坐标弧坐标 s 的原点，的原点，s 的正负方向如的正负方向如图所示。图所示。当当t=5 s时，点的位置时，点的位置 M 可由弧可由弧坐标确定坐标确定 m 137552502 tts先求出点的速度和切向加速度、法先求出点的速度和切向加速度、法向加速度向加速度,10250ddttsv

17、2tm/s10dd tva例例 题题 5-322n)10250(15001tva 理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础26 故在这瞬时点的全加速度故在这瞬时点的全加速度 的大的大小和方向分别为小和方向分别为 s/m 8.602n2t2 aaa代入代入 t=5 ss/m 300 v,s/m102t a2ns/m 60 a 得得例例 题题 5-3,166.0 tannt aa 5.9 22n)10250(15001tva ,10250ddttsv 2tm/s10dd tva理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础27 销钉销钉B可沿半径等于可沿半径等于R的的固定圆弧滑道

18、固定圆弧滑道DE和摆杆和摆杆OC的的直槽中滑动直槽中滑动,OA=R=0.1 m。已。已知摆杆的转角知摆杆的转角 （t以以s计，计，j j 以以rad计）。试求销计）。试求销钉在钉在t1=(1/4)s 和和t2=1 s时的加时的加速度。速度。t2sin8 j j例例 题题 5-4理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础28解：已知销钉解：已知销钉B的轨迹是圆的轨迹是圆弧弧DE，中心在点，中心在点A，半径是半径是R。选滑道上点。选滑道上点O作为弧坐标作为弧坐标的原点，并以的原点，并以OD为正向。则为正向。则点点B在任一瞬时的弧坐标在任一瞬时的弧坐标 Rs 但是，由几何关系知但是，由几何

19、关系知=2j j，且，且 ，将其代入上式，将其代入上式，得得t2sin8 j j 2sin402tRs j j这就是点这就是点B的弧坐标表示的运动方程。的弧坐标表示的运动方程。例例 题题 5-4理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础29点点B速度大小：速度大小：22cos20ddttsv 点点B的加速度的加速度 a 在切向的在切向的投影：投影：2sin10dd3tttva 在法向的投影：在法向的投影：2cos401.02cos2024222nttva 例例 题题 5-4理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础3023t11m/s 10 aaa1的实际指向沿切线的负向的

20、实际指向沿切线的负向,与图示与图示相反。相反。,s/m 4024n22 aaa2 沿半径沿半径 B2A。例例 题题 5-4当当t1=(1/4)s 时，时，j j1p p/8 rad，v1=0，又，又a1t=-p p3/10 m/s2，a1n=0。则点则点B的加速度大小的加速度大小当当t2=1 s时，时，j j20 0，v2=p p2/20 m/s，又又a2t=0，a2n=p p4/40 m/s2。则点。则点B的的加速度大小加速度大小 2sin103tta 2cos4024nta 22cos20tv 理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础31 点点P 沿螺旋线自外向内运动。它走过的

21、弧长与沿螺旋线自外向内运动。它走过的弧长与时间的一次方成正比。试问该点的速度是越来越快，时间的一次方成正比。试问该点的速度是越来越快，还是越来越慢？加速度是越来越大，还是越来越小？还是越来越慢？加速度是越来越大，还是越来越小？例例 题题 5-5理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础32解：运动方程：解：运动方程：ttdd,eketsvkts 点的速度大小不变。点的速度大小不变。22nt,0ddkvastva n2nnekeaa 全加速度全加速度 点自外向里运动时，其曲率半径越来越小，所点自外向里运动时，其曲率半径越来越小，所以点以点P的加速度数值越来越大。的加速度数值越来越大。理

22、论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础33 由于刚体上各点间的距离保持不变，因此各点由于刚体上各点间的距离保持不变，因此各点的运动不可能各不相关，在它们的轨迹、速度和加的运动不可能各不相关，在它们的轨迹、速度和加速度之间必然存在一定的联系。研究刚体的运动，速度之间必然存在一定的联系。研究刚体的运动，就是要确定就是要确定刚体作为整体的运动与其上各点的运动刚体作为整体的运动与其上各点的运动之间的关系之间的关系，这样才可能对机构的运动传递加以研，这样才可能对机构的运动传递加以研究。究。刚体的运动可以有多种形式，但基本的形式有两刚体的运动可以有多种形式，但基本的形式有两种，即本章将研究的种

23、，即本章将研究的平移和定轴转动平移和定轴转动。这是工程中常。这是工程中常见的运动，也是研究刚体复杂运动的基础。见的运动，也是研究刚体复杂运动的基础。5-3 刚体的基本运动刚体的基本运动理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础34 刚体在运动中刚体在运动中,其上其上任意一条直线任意一条直线始终与它的始终与它的初始位置平行，这种运动称为初始位置平行，这种运动称为平行移动平行移动，也称为，也称为平移或平动平移或平动。1.刚体的平移 图中两杆图中两杆O1A与与O2B平行且相等平行且相等,在图示平面在图示平面内摆动。内摆动。物快物快AB作作平移平移。图中凸轮和顶杆图中凸轮和顶杆AB,在图示平

24、面内作在图示平面内作平移平移。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础35 能否根据刚体上的一条直线判定该刚体是否能否根据刚体上的一条直线判定该刚体是否作作平移平移？为什么？为什么？思思 考考 题题 5-5 答：不能。例如直线轨道上行驶的车轮，与转动答：不能。例如直线轨道上行驶的车轮，与转动轴平行的任一直线与初始位置平行，但其他直线则轴平行的任一直线与初始位置平行，但其他直线则不然，因此不然，因此轮不是作平移轮不是作平移。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础36 轮子沿直线轨道运动时轮子沿直线轨道运动时,连接轮的平行连杆作连接轮的平行连杆作平移平移,其上各点的轨迹是

25、短幅旋轮线。其上各点的轨迹是短幅旋轮线。直线平移直线平移：刚体平移时刚体平移时,其上各点其上各点的轨迹为直线；的轨迹为直线；曲线平移曲线平移：刚体平移时刚体平移时,其上各点其上各点的轨迹为曲线。的轨迹为曲线。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础37)0dd(dd)(dddd trtrrrttrABAABABABABrrr 刚体平移的特点：由刚体平移的定义，由刚体平移的定义，是常矢量。是常矢量。ABrABvv dd)(dddd222222trrrttrAABAB ABaa 理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础38 由于点由于点A和点和点B是刚体上的任意两点，因此可

26、以是刚体上的任意两点，因此可以得出如下结论：得出如下结论：刚体作平移时，其上各点的刚体作平移时，其上各点的轨迹相同轨迹相同，同一同一瞬时瞬时各点有各点有相同的速度和相同的加速度相同的速度和相同的加速度，即：，即：平平移刚体的运动可以简化为一个点的运动移刚体的运动可以简化为一个点的运动。ABABaavv 理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础39行驶在弯道上的车厢是否作平移？为什么？行驶在弯道上的车厢是否作平移？为什么？答：不是，因为车厢上任作一条线段与原先的答：不是，因为车厢上任作一条线段与原先的位置不平行。但当车厢的大小与弯道的曲率半径相位置不平行。但当车厢的大小与弯道的曲率半

27、径相比较小时，可以近视将车厢看作曲线平移。比较小时，可以近视将车厢看作曲线平移。思思 考考 题题 5-6理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础402、刚体的定轴转动（1）刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点 刚体在运动时，其刚体在运动时，其上某一直线上各点保持上某一直线上各点保持不动，刚体的这种运动不动，刚体的这种运动称为称为定轴转动定轴转动，简称转，简称转动。其固定不动的直线动。其固定不动的直线称为刚体的转轴。称为刚体的转轴。刚体不在转轴上的刚体不在转轴上的各点各点均作圆周运动。均作圆周运动。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础41(2)定轴转动刚体位置的确定定

28、轴转动刚体位置的确定 刚体的转动方程刚体的转动方程j j=f(t)单位为弧度单位为弧度(rad)图示转角图示转角j j，是固定面，是固定面A与固连在转动刚体上的动平面与固连在转动刚体上的动平面B的夹角的夹角。j j 确定了刚体的位确定了刚体的位置，它的符号规定如下：从置，它的符号规定如下：从 z 轴正向看轴正向看,逆时针为正，顺时针逆时针为正，顺时针为负。刚体转角为负。刚体转角j j 与与 t 的函数的函数关系：关系：上式称为刚体的转动方程上式称为刚体的转动方程。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础42角速度也为代数量。其正负号这角速度也为代数量。其正负号这样来确定，从样来确定

29、，从 z 轴的正端向负端轴的正端向负端看，刚体逆时针转动为正，顺时看，刚体逆时针转动为正，顺时针转动为负。单位用针转动为负。单位用rad/s(弧度弧度/秒）。工程中常用单位还有转速秒）。工程中常用单位还有转速 n，单位为单位为r/min（转（转/分分)。(3)定轴转动刚体的角速度和角加速度定轴转动刚体的角速度和角加速度n与与w w 的关系为的关系为:rad/s30602nn w w)(ddlim 0代数量代数量j jj jj jw w ttt角速度：角速度：理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础43角加速度角加速度:如果如果 与与w w 同号，则为加速转动同号，则为加速转动,反之

30、则为减速转动反之则为减速转动 (一）匀速转动一）匀速转动 当当w w=常量常量,为匀速转动时，有为匀速转动时，有j jj jw ww w 220ddddlimtttt(rad/s2)下面讨论两种特殊情况。下面讨论两种特殊情况。j j=j j 0+w w t =0 式中式中j j0 是是 t=0 时刚体的转角。时刚体的转角。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础44 )(22102022000j jj j w ww w w wj jj j w ww wttt当当 =常量常量,为匀变速转动时。有为匀变速转动时。有式中式中j j0和和w w0是是t=0时刚体的转角和角速度。时刚体的转角

31、和角速度。(二二)匀变速转动匀变速转动 上述公式类似于点作匀变速直线运动的情况。上述公式类似于点作匀变速直线运动的情况。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础45 以以w w表示刚体的角速度，则它在表示刚体的角速度，则它在t s内的转角为内的转角为j j=w w t，是否正确？，是否正确？答：不正确。答：不正确。思思 考考 题题 5-7理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础463、转动刚体上点的速度和加速度 对于作对于作定轴转动定轴转动的刚体，研究其上某点的速度的刚体，研究其上某点的速度或加速度有时具有重要的意义。例如，胶带运输机或加速度有时具有重要的意义。例如，胶

32、带运输机的传递速度就是带轮边缘上一点的速度。的传递速度就是带轮边缘上一点的速度。除了刚体作平移的情况，刚体上各点的速度、除了刚体作平移的情况，刚体上各点的速度、加速度一般各不相同，因此，不能笼统说：加速度一般各不相同，因此，不能笼统说：“刚体刚体的速度或加速度的速度或加速度”，应该通过，应该通过刚体作为整体的运动刚体作为整体的运动来来研究刚体上各点的速度或加速度研究刚体上各点的速度或加速度。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础47w wj jj jRtRtRtsvtt ddlim lim00 已知转动刚体上各点都在垂直于转轴的平面内已知转动刚体上各点都在垂直于转轴的平面内作圆周

33、运动，故研究刚体上点的运动用弧坐标比较作圆周运动，故研究刚体上点的运动用弧坐标比较方便。方便。D Ds=R D Dj j速度速度 设研究转动刚体上一点设研究转动刚体上一点M的运动。在的运动。在D Dt 时间内，时间内，点点M 走过的弧长为走过的弧长为理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础48,RtR)R(ttva w ww w ddddddt222nw ww w RR)R(va 422t2nw w Raaa22nt tanw w w w|RR|a|a|切向加速度为切向加速度为法向加速度为法向加速度为全加速度大小为全加速度大小为方向为方向为理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础

34、运动学基础速度分布图速度分布图加速度分布图加速度分布图49 (1)在同一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加在同一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。结论结论:(2)在同一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速在同一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度的方向与半径间的夹角度的方向与半径间的夹角 都相同。都相同。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础50思思 考考 题题 5-8 试画出各图中转动刚体上点试画出各图中转动刚体上点A和点和点B的速度和的速度和加速度的方向。加速度的方向。理论力学电子教案理论力学电

35、子教案运动学基础运动学基础51思思 考考 题题 5-8 答答:图中转动刚体上点图中转动刚体上点A和点和点B的速度和加速度的速度和加速度的方向为的方向为:理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础52思思 考考 题题 5-8 答答:图中转动刚体上点图中转动刚体上点A和点和点B的速度和加速度的的速度和加速度的方向为方向为:理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础53解：由于荡木解：由于荡木AB在运动中始在运动中始终平行于直线终平行于直线O1O2，在荡木，在荡木上任意作一直线，也保持与上任意作一直线，也保持与原先的位置平行，故荡木作原先的位置平行，故荡木作平移。平移。O1A作定

36、轴转动。作定轴转动。例例 题题 5-6 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为钢索长为l，单位为，单位为m。当荡木在图示平面内摆动。当荡木在图示平面内摆动时时,钢索的摆动规律为钢索的摆动规律为 ，其中，其中 t 为时间，为时间，单位为单位为s；转角；转角j j0的单位为的单位为rad，试求当试求当t=0和和 t=2s时，荡木的中点时，荡木的中点M的轨迹、速度和加速度。的轨迹、速度和加速度。t4sin0j jj j 理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础54 为求中点为求中点M 的轨迹、速度的轨迹、速度和加速度，只需求出和加速度，只

37、需求出A点（或点（或B点）的轨迹、速度和加速度即可。点）的轨迹、速度和加速度即可。点点 A 在圆弧上运动，圆弧的半在圆弧上运动，圆弧的半径为径为l。M点的轨迹与点的轨迹与A点相同，点相同，过过M点作平行且等于点作平行且等于O1A的线段的线段O3M,则则M点以点以O3为圆心，为圆心，l为半为半径的圆弧运动。如以最低点径的圆弧运动。如以最低点O为为起点，规定弧坐标起点，规定弧坐标s向右为正，向右为正，则点则点A的的运动方程运动方程为为tls4 sin0j j 例例 题题 5-6理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础55再求导一次，得点再求导一次，得点A的切向加的切向加速度速度tltv

38、a4 sin16dd02tj j 点点A的法向加速度的法向加速度tllva4cos16 22022nj j 例例 题题 5-6将上式对时间求导，得点将上式对时间求导，得点A的速度的速度tltsv4 cos4dd0j j 理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础56上式代入上式代入t=0和和t=2s，就可求得这两瞬时点，就可求得这两瞬时点A的的速度和加速度，亦即点速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：速度。计算结果列表如下：例例 题题 5-600j j02 (铅直向上）铅直向上）0 （水平向右）（水平向右）00an(m/s2)at(m/

39、s2)v(m/s)j j(rad)t(s)04j jll0216j j l20216j j,4 sin0tlsj j tlv4 cos40j j,4 sin1602ttlaj j tla4cos16 2202nj j 理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础57 滑轮的半径滑轮的半径r=0.2m，可绕，可绕水平轴水平轴O转动，轮缘上缠有不转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂可伸长的细绳，绳的一端挂有物体有物体A（如图），已知滑轮（如图），已知滑轮绕 轴绕 轴 O 的 转 动 规 律的 转 动 规 律 j j=0.15 t3，其中，其中t 以以s计，计，j j 以以rad计，试

40、求计，试求t=2s 时轮缘时轮缘上点上点M和物体和物体A的速度和加速的速度和加速度。度。例例 题题 5-7理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础58 首先根据滑轮的转动规律，首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度求得它的角速度和角加速度，245.0t j jw wt 9.0 j j 代入代入 t=2 s，得得轮缘上点轮缘上点M 在在 t=2 s 时的速度时的速度为为 s/m 36.0rad/s8.1m2.0 w wrvM解：解：例例 题题 5-7，srad 81/.w w2srad 81/.r=0.2 m理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础5922ts/

41、m 360rad/s8.1m2.0.ra 222ns/m 648.0rad/s)8.1(m2.0 w wra全加速度全加速度 aM 的大小和方向的大小和方向:s/m 741.0m/s648.036.022222n2t aaaM,556.08.18.1 tan22 w w 29 例例 题题 5-7加速度的两个分量加速度的两个分量:，srad 81/.w w2srad 81/.r=0.2 m理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础60 因为因为物体物体A与轮缘上点与轮缘上点M的的运动不同，前者作运动不同，前者作直线平移直线平移，而后者随滑轮作而后者随滑轮作圆周运动圆周运动，因，因此，两

42、者的速度和加速度都不此，两者的速度和加速度都不完全相同。由于细绳不能伸长，完全相同。由于细绳不能伸长，物体物体A与点与点M的速度大小相等，的速度大小相等，A的加速度与点的加速度与点M切向加速度的切向加速度的大小也相等，于是有大小也相等，于是有sm 360/.vvMA 2tsm 360/.aaA 它们的方向铅直向下。它们的方向铅直向下。例例 题题 5-7理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础61 半径半径R=0.2m的滑轮可绕水平的滑轮可绕水平轴轴O 转动，轮缘上绕有不能伸长转动，轮缘上绕有不能伸长的细绳，绳的一端与滑轮固连，的细绳，绳的一端与滑轮固连，另一端则系有物块另一端则系有

43、物块A，设物块，设物块A从位置从位置B出发，以匀加速度出发，以匀加速度 a=4.9m/s2向 下 降 落，初 速向 下 降 落，初 速 v0=4m/s，试求当物块落下距离，试求当物块落下距离s=2m时轮缘上一点时轮缘上一点 M 的速度和的速度和加速度。加速度。例例 题题 5-8理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础62解：系统为匀变速转动，根据解：系统为匀变速转动，根据 v2 v02=2as，得点，得点M的速度的速度点点M的法向加速度的法向加速度:点点M的切向加速度的切向加速度:点点M的全加速度的全加速度:s/m 96.5(4m/s)m2m/s9.4222220 vasv2tm/

44、s9.4dd atva222202nm/s6.177m2.0(4m/s)m2m/s9.422 Rvasva 22n2tsm 178/aaa 例例 题题 5-8理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础63 减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮和和III安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为分别为z1=36，z2=112，z3=32 和和 z4=128，如主动轮，如主动轮的转速的转速n1=1450 r/min，试求从动轮，试求从动轮的转速的转速n4。例例 题题 5-9理论力学电子教案理论力学电子教案

45、运动学基础运动学基础64解：用解：用n1，n2，n3和和n4分分别表示各齿轮的转速，且有别表示各齿轮的转速，且有32nn 传动比传动比i12，i34为为,122112zznni 344334zznni 将两式相乘，得将两式相乘，得31424231zzzznnnn 例例 题题 5-91212122122112211,RRzzRRRRvvRvRvBABA 一对啮合的齿轮，有一对啮合的齿轮，有，所以所以由由，w ww ww ww ww ww w理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础65因为因为n2=n3，于是由齿轮，于是由齿轮到齿轮到齿轮的传动比为的传动比为4.123236128112

46、31424114 zzzznni最后，求得从动轮最后，求得从动轮的转速为的转速为 min/r1174.12min/r14501414 inn由图可见，从动轮由图可见，从动轮和主动轮和主动轮的转向相同。的转向相同。例例 题题 5-9理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础664、以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度tddj jw w 其中其中kw w 角速度和角加速度可以用矢量表示。角速度矢角速度和角加速度可以用矢量表示。角速度矢 的大小的大小|dd|tj jw w w w 如取转轴为如取转轴为 z 轴，它的正方向的轴，它的正方向的单位矢量用单位矢量用 表示，则角速度

47、矢表示，则角速度矢可表示为可表示为k理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础67同样，角加速度也可以用一个矢量表示，它是角速同样，角加速度也可以用一个矢量表示，它是角速度矢的导数度矢的导数k ktt w w dddd角速度矢和角加速度矢均为沿转轴自由滑动的矢量。角速度矢和角加速度矢均为沿转轴自由滑动的矢量。可用右手螺旋规则确定其指向。可用右手螺旋规则确定其指向。理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础68|sinrrRv w w w wrv 方向顺着角速度的转向。即：方向顺着角速度的转向。即：大小大小由此也可以得出由此也可以得出rtr dd 转动刚体上点的速度是由刚体的

48、角速度及点相对转动刚体上点的速度是由刚体的角速度及点相对于转轴的位置来确定的。如在转轴上任取一点于转轴的位置来确定的。如在转轴上任取一点O 为原为原点，点点，点M 的矢径以的矢径以 表示，则点表示，则点M 的速度可以表示为的速度可以表示为r理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础69加速度表示为加速度表示为:vr trrttrtva ddddd)(ddd不难证明不难证明vara nt 于是得于是得ntaaa 理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础70例例 题题 5-10 刚体以角速度刚体以角速度 绕定轴绕定轴Oz转动，其上固连有动坐标转动，其上固连有动坐标系系Oxyz

49、（如图），试求由（如图），试求由点点O 画出的动系轴向单位矢画出的动系轴向单位矢 端点端点A，B，C 的速度。的速度。kji 、w w理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础71trvAAdd AArv 点点A是定轴转动刚体内的一点，由式是定轴转动刚体内的一点，由式AArtr dd可见可见irA 但这里有但这里有itivA dd故故例例 题题 5-10解：求端点解：求端点 A 的速度。设点的速度。设点A 的矢径的矢径为为 ，则点则点A的速度为的速度为Ar同理可得同理可得 的矢量表达式。的矢量表达式。CBvv和和理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础72iti ddjtj ddktk dd于是得到一组公式于是得到一组公式它称为它称为泊松公式泊松公式。例例 题题 5-10itivA dd理论力学电子教案理论力学电子教案运动学基础运动学基础73