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1、 第一节第一节 第二型曲线积分第二型曲线积分 第二节第二节 第二型曲面积分第二型曲面积分 第三节第三节 各种积分的关系及其各种积分的关系及其 在场论中的应用在场论中的应用 第七章第七章 向量函数的积分向量函数的积分观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上侧上侧和和下侧下侧封闭曲面分封闭曲面分内侧内侧和和外侧外侧n曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面；双侧曲面；2.2.单侧曲面单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面莫比乌斯带莫比乌斯带典型单侧曲面典型单侧曲面:对对于于双双侧侧曲曲面面，可可通通过过曲曲面面上上法法向向量量的的指指向向来来 确确定定曲曲面面的

2、的侧侧。取取定定了了法法向向量量指指向向的的曲曲面面，称称为为 有有向向曲曲面面。n 上侧上侧xyzo对于对于：轴的正向成锐角轴的正向成锐角与与若法向量若法向量 ),(znyxfz，则取定了曲面的上侧。则取定了曲面的上侧。轴的正向成钝轴的正向成钝与与若法向量若法向量 zn 角，则取定了曲面的下侧。角，则取定了曲面的下侧。n 下侧下侧xyzo 曲面曲面：),(yxzz 有上侧与下侧之分；有上侧与下侧之分；曲面曲面：),(zyxx 有前侧与后侧之分；有前侧与后侧之分；曲面曲面：),(zxyy 有左侧与右侧之分。有左侧与右侧之分。一般封闭曲面有内侧与外侧之分一般封闭曲面有内侧与外侧之分。一、流量问题

3、一、流量问题 若若为为 平面上面积为平面上面积为的的 A区域，而流速区域，而流速是是 v常向量，常向量，指定侧的单位法向量指定侧的单位法向量kjin coscoscos。（1）分割）分割 ),2,1(niSni 小块小块任意分成任意分成将将，iS 同时代表其面积。同时代表其面积。若若为曲面为曲面 ，流速，流速不是常向不是常向 v 量，则用下面的方法计算量，则用下面的方法计算 流量流量。Avn 则则 nvAvA cos。（2）近似）近似 iiiiiSM ),(，以点以点iM处的流速处的流速)(iiMvv 和单位法向量和单位法向量in分别代替分别代替 iS 上其他各点处的流速和上其他各点处的流速和

4、 单位法向量，得到流过单位法向量，得到流过iS 指定侧的流量的近似值：指定侧的流量的近似值：).,2 ,1(ninvSiiii iMiS ivinxyoz（3）求求和和 iniiiSnv 1 （4）取极限）取极限设max1的的直直径径iniSd，则则iniiidSnv 10 lim。iMiS ivinxyoz二、第二型曲面积分的定义二、第二型曲面积分的定义的的第第二二型型曲曲面面积积分分，记记为为dSnzyxA),(，即即 iniiiiidSnAdSnzyxA 10),(lim),(注注：（1）当）当),(zyxA在有向曲面在有向曲面上连续时，其第二型连续时，其第二型 曲面积分存在。曲面积分存

5、在。（2）流流体体),(zyxv流流向向 有有向向曲曲面面指指定定侧侧的的流流量量 dSnzyxv),(。三、第二型曲面积分的性质三、第二型曲面积分的性质设设),(zyxAA，),(zyxBB，（3）dSnAdSnA (与与 是是同同一一曲曲面面的的两两侧侧)。（1）dSnBbdSnAadSnBbAa )(),(为为常常数数ba；（2）dSnAdSnAdSnA21 (21 与与可分为可分为)；四、第二型曲面积分的数量表达式四、第二型曲面积分的数量表达式 设设),(),(),(),(zyxRzyxQzyxPzyxA，cos ,cos ,cos n，则则 dSRQPdSnzyxA)coscosco

6、s(),(的的面面积积元元素素是是曲曲面面其其中中 dS。记记,cos,cos,cosdydxdxdzdzdydSdSdSdSndS ，则则dyRdxdxQdzdzPdydSAdSnA，从从而而 dyRdxdxQdzdzPdydSnA。dyRdxdxQdzdzPdydSnzyxA),(它们的取值可正、可负、也可为零。它们的取值可正、可负、也可为零。如当如当0cos 时，时，dydx 取正号；当取正号；当0cos 时，时，dydx 取负号。取负号。面面上上的的投投影影在在是是 yozdSdzdy；在在是是dSdxdz 面上的投影面上的投影 zox；面面上上的的投投影影在在是是 xoydSdydx

7、。特殊形式特殊形式：dzPdy称称为为 P 对坐标对坐标 y，z 的的曲面积分；曲面积分；dxQdz称称为为 Q 对坐标对坐标 z，x 的的曲面积分；曲面积分；dyRdx称称为为 R 对坐标对坐标 x，y 的的曲面积分。曲面积分。2.3 2.3 第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算以以 dydxzyxR),(为例。为例。在在xy面面上上的的投投影影区区域域为为xyD，上连续上连续在在 ),(,0,0),(zyxRzyxA，则则 设设有有向向光光滑滑曲曲面面：),(yxzz，取取上上侧侧 。iniiiiidSRdSnzyxAdydxzyxR 10cos),(lim),(),(),(),(,i

8、iiiiiizM ，又又 取取上上侧侧，0cos i，iiS cos表表示示xySi 在在 平平面面 上上的的投投影影区区域域i 的的面面积积（仍仍记记为为i ）的的近近似似值值，即即 iiiS cos；iMiS i inzi i 令令max1的的直直径径inid ，当当0d时时，0 d，iniiiiidSRdydxzyxR 10cos),(lim),(xyDiniiiiiddxdyyxzyxRR),(,(),(z ,(lim10。若若取取下下侧侧，则则0cos i，iiiS cos，xyDdxdyyxzyxRdydxzyxR),(,(),(。若若曲曲面面为为：),(zyxx，则则有有 yzD

9、dydzzyzyxPdzdyzyxP),),(),(（前前侧侧取取正正，后后侧侧取取负负。）若若曲曲面面为为：),(zxyy，则则有有 xzDdxdzzzxyxQdzdxzyxQ),(,(),(（右右侧侧取取正正，左左侧侧取取负负。）将第二型曲面积分化为二重积分的方法将第二型曲面积分化为二重积分的方法 一代一代：将曲面：将曲面的方程的方程 代入被积函数；代入被积函数；二投二投：将曲面：将曲面投影投影 到坐标平面。到坐标平面。（例如：积分中含（例如：积分中含dydx，则应向，则应向 xoy 面投影。）面投影。）三定号三定号：由曲面的侧来决定取正号还：由曲面的侧来决定取正号还是取负号；是取负号；四

10、换域四换域：改变积分域，曲面：改变积分域，曲面变为投影域变为投影域 。解：（解：（1）：22yxz ，10 z，下侧，下侧，xyD：122 yx，例例 1计计算算 dyzdx，（1）为锥面为锥面22yxz 在在10 z部分的下侧；部分的下侧；（2）为锥面为锥面22yxz 与平面与平面1 z所围曲面的内侧。所围曲面的内侧。xyDdxdyyxdyzdx22.3210220 ddxyoz1xyD111 ：22yxz ，10 z，上上侧侧；（2）21 ，21dyzdx 2 ：1 z，122 yx，下侧；，下侧；xyD：122 yx。.313222 xyxyDDdxdydxdyyxxyz1 2 o1xy

11、D11 1：)0 ,0(azayax 的前侧；的前侧；2：)0 ,0(0azayx 的后侧；的后侧；3：)0 ,0(azaxay 的右侧；的右侧；4：)0 ,0(0azaxy 的左侧；的左侧；5：)0 ,0(ayaxaz 的上侧；的上侧；6：)0 ,0(0ayaxz 的下侧；的下侧；例例 2计计算算dydxxzydxdzxdzdyzxyI )()(22，其其中中 是是正正六六面面体体的的外外侧侧（如如图图所所示示）。解：解：621 ，o 1 2 3 4 5 6 xyzaaa dydxxzydxdzxdzdyzxyI)()(22 除除1、2 外外，其其余余四四片片曲曲面面在在yoz面面上上的的投

12、投影影均均为为零零，21)(dzdyzxy yzyzDDdydzzydydzzay)0()(.21400adzydyaydydzaaaDyz o 1 2 3 4 5 6 xyzaaa同理同理 432dxdzx.022 xzxzDDdzdxxdzdxxo 1 2 3 4 5 6 xyzaaa 65)(2dydxxzy 622)(dxdyydxdyaxyxyD 4442121aaaI 。,21400adyxdxaaxdxdyaaDxy o 1 2 3 4 5 6 xyzaaa例例 3计算计算 23222)(zyxdyzdxdxydzdzxdyI，其中其中是是 球面球面2222azyx 的外侧。的外

13、侧。解：由轮换对称性，得解：由轮换对称性，得 2322223222)(3)(zyxdyzdxzyxdyzdxdxydzdzxdyI 下下上上 ，上上：222yxaz ，上上侧侧；下下：222yxaz ，下侧。下侧。xyD：222ayx 。3)(323222 下下上上zyxdyzdxI xyxyDDdxdyayxadxdyayxa 332223222 xyDdxdyyxaa2223 6 432 633aa。两类曲面积分的关系两类曲面积分的关系设设 曲曲面面指指向向侧侧的的单单位位法法向向量量cos,cos,cos n，则则有有 dyRdxdxQdzdzPdydSnA dSRQPcoscoscos

14、 即向量值函数即向量值函数),(zyxA在有向在有向 曲面曲面上的第二型曲面上的第二型曲面 积分等于数量值函数积分等于数量值函数 coscoscosRQP在在 曲面曲面上上 的第一型曲面积分。的第一型曲面积分。其其中中是是 锥锥面面)0(222hzzyx ，cos,cos,cos 为为锥锥面面的的外外法法线线的的方方向向余余弦弦。解解：)0(22hzyxz ，下下侧侧。面上的投影域为面上的投影域为在在xoy xyD：222hyx 。的外法向量的外法向量 为为1,yxzz，,122dxdyzzdSyx ,2222yxyzyxxzyx 221cosyxxzzz ，221cosyxyzzz ，2211cosyxzz ，dxdyyxyxyyxxIxyD)(22223223 .2)(4032022hdddxdyyxhDxy 解解法法二二（利利用用两两类类曲曲面面积积分分的的关关系系）dSzyxI)coscoscos(222 dydxzdxdzydzdyx 222dzdyxdzdyxdzdyx 后后前前222,0)()(2222 dydzyzdydzyzyzyzDD dydxzdxdzydzdyx222.2)(40320222hdddxdyyxdydxzhDxy dxdzydxdzydxdzy 左左右右222,0)()(2222 dzdxxzdzdxxzxzxzDD.2 4hI 故故