2023届南通一模（苏北七市）数学试题+答案.pdf

1、南通市南通市2023届高三第一次调研测试届高三第一次调研测试数学本试卷共本试卷共6页，页，22小题，满分小题，满分150分考试用时分考试用时120分钟分钟注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效

2、4.考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一一选择题本题共选择题本题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 A=x 1x3，B=x 2xm+1)P(Xm)=0.5；丙：P Xm=0.5；丁：P(m-1 Xm)P(m+1 X0,2的部分图象如图所示，则()A.=2B.=6C.f x的图象关于点12,0对称D.f x在区间,54上单调递增11.一个袋中有大小形状完全相同的3个小球，颜色分别为红黄蓝从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件 A

3、，“第二次取到黄球”为事件B，则()A.P A=13B.A，B为互斥事件C.P B A=12D.A，B相互独立12.已知抛物线x2=4y的焦点为F，以该抛物线上三点 A，B，C为切点的切线分别是l1，l2，l3，直线l1，l2相交于点D，l3与l1，l2分别相交于点P，Q记 A，B，D的横坐标分别为x1，x2，x3，则()A.DA DB=0B.x1+x2=2x3C.AF BF=|DF|2D.AP CQ=PC PD三三填空题：本题共填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分13.已知函数 f x=1+log22-x,x1,2x-1,x1,则 ff-2=14.写出一个同时满足下

4、列条件的等比数列 an的通项公式an=anan+10；an0)，设直线x+3y-3=0与两坐标轴的交点分别为 A，B，若圆O上有且只有一个点P满足 AP=BP，则r的值为16.已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长都为1，点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为，的面积的最大值为(第一空2分，第二空3分)四四解答题：本题共解答题：本题共6小题，共小题，共70分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤17.(10分)在S1，S2，S4成等比数列，a4=2a2+2，S8=S4+S7-2这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并

5、完成解答已知数列 an是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且满足，(1)求 an的通项公式；(2)求1a1a2+1a2a3+1a3a4+1anan+1注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分。218.(12分)第二十二届卡塔尔世界杯足球赛(FIFAWorldCupQatar2022)决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计有关，随机抽取了男女同学各100名进行调查，部分数(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关

6、？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门已知男生进球的概率为23，女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望附：K2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+dP K2k0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.(12分)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB-2acosC=2c-bcosA(1)若c=3a，求cosB的值；(2)若b=1，BAC的平分线 AD交BC于点D，求 AD长度的取值范围20.(12分)如图，在ABC中，AD是BC边上的高，以 AD为折痕，将

7、ACD折至APD的位置，使得PB ABABCDP(1)证明：PB平面 ABD；(2)若 AD=PB=4，BD=2，求二面角B-PA-D的正弦值321.(12分)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点为 A，过左焦点F的直线与C交于P，Q两点当PQx轴时，PA=10，PAQ的面积为3(1)求C的方程；(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点22.(12分)已知函数 f x=xaex-1和g x=a+lnxx有相同的最大值(1)求实数a；(2)设直线 y=b与两条曲线 y=f x和 y=g x共有四个不同的交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，x4x1x2x3x4，证明：x1x4=

8、x2x342023届高三第一次调研测试届高三第一次调研测试数学答案与解析答案与解析一一选择题本题共选择题本题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】A【解析】AB=x2m+1)=P(XP(X0，t1或t1或t-3，gt=-tet+1，t0，g t，0g t1时，gt0，g t，g tg 1=0，综上：y1y2-,0 0,4e-2，选D二二多选题：本题共多选题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给

9、出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得分，部分选对的得2分，有选错的得分，有选错的得0分分9.【答案】ABD【解析】AD1BC1，AD1平面BOC1，BC1平面BOC1，AD1平面BOC1，A对BDCO，BDCC1，CDCC1=C，BD平面COC1，B对C1C平面 ABCD，C1O与平面 ABCD所成角为C1OC，tanC1OC=221，C1OC45，C错VC-BOC1=VC1-BOC=1312212=23，D对选 ABD10.【答案】ACD【解析】T2=56-3=2，T=2，=2，f x=sin 2x+，f3=sin23+=1，=-6，A对，B错f x=sin 2x-6

10、，2x-6=k，x=12+k2，kZk=0时，f x关于12,0对称，C对-2+2k2x-62+2k，-6+kx3+k，kZ，f x在56,43，而,5456,43，f x在,54，D对，选 ACD11.【答案】AC【解析】P A=13，A对A，B可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，A，B不互斥，B错在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为12，C对P B=2312+130=13，P AB=1312=16，P ABP AP B，A，B不独立，D错，选 AC12.【答案】BCD【解析】：A x1,x214，B x2,x224，C x0,x204，y=12x，k1=12x1，l

11、1：y-x214=12x1x-x1，即 y=12x1x-14x21l2：y=12x2x-14x22，6y=12x1x-14x21y=12x2x-14x22,x=x1+x22y=x1x24，即x3=x1+x22时，DA DB=x1-x1+x22,x214-x1x24x2-x1+x22,x224-x1x24=x1-x22,x1x1-x24x2-x12,x2x2-x14=-x1-x224-x1x2x1-x2216=-x1-x2164+x1x2不一定为0，A错AF BF=x214+1x224+1=x21x2216+x214+x224+1,DF2=x1+x224+x1x24-12=x21+2x1x2+x

12、224+x21x2216-x1x22+1=x21x2216+x214+x224+1=AFBF，C对Dx1+x22,x1x24，Px1+x02,x1x04，Qx2+x02,x2x04，AP=x0-x122+x1x0-x2042=x0-x14+x214，CQ=x2-x022+x2x0-x204=x2-x04+x204，PC=x1-x022+x1x0-x2042=x1-x04+x204PD=x2-x022+x0-x2x142=x2-x04+x214 APCQ=PCPD，D对三三填空题：本题共填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分13.【答案】4【解析】f-2=1+log22-

13、2=1+log24=3，ff-2=f 3=23-1=22=414.【答案】an=-12n【解析】可构造等比数列，anan+1 an+1，1 q，q取-12，an=-12n15.【答案】12【解析】A3,0，B 0,1，PA=PB，P在 AB的垂直平分线 y=3x-1上，P在圆O:x2+y2=r2满足条件的P有且仅有一个，直线与圆相切，r=1216.【答案】5；23【解析】方法一：的边数至多为5，延长EF，CD交于点J，延长EI，CB交于点K，连接JK分别与 AD，AB交于G，H，连接FG，HI得截面五边形EFGHI设SE=x，SF=2x，EF=3x，CJ=2-2x，JD=1-2x=DG，JF=

14、3 1-2x，JK=2 2-2x=2 2 1-x，JG=HK=2 1-2x，FG=1-2x，JG2+FG2=JF2，JGGFSJGF=122 1-2x 1-2x=SJHK，而EJ=3 1-x=EK，JK=2 2 1-x，7SEJK=122 2(1-x)2=2(1-x)2，显然五边形时截面面积最大，S截面五边形=2(1-x)2-2(1-2x)2=2-3x2+2x2-4-12=23，x=13时取“=”，面积的最大值为23应填：5；23方法二：取SC中点F，BFSC，DFSC，SC平面BDF作平面与BDF平行，如图至多为五边形令SESF=，EP=BF=32，SP=SB=，PB=1-，BQ=1-，PQ

15、=1-，NQ=MP=BD=2cosDFB=34+34-223232=-13，sinDFB=2 23SEMP=1232322 23=242MN与NQ的夹角为SA与BD夹角，而SA与BD垂直，SPMNQ=2 1-，S=2 1-+242=-3422+2，=23时，S取最大值23四四解答题：本题共解答题：本题共6小题，共小题，共70分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤17.【解析】(1)设 an公差为d，若选，则S1S4=S22a4=2a2+2a14a1+6d=2a1+d2a1+3d=2 a1+d+2d=2a1 7a1=6a1+2，a1=2，d=4，an=2+4

16、 n-1=4n-2若选或同理可得an=4n-2(2)1anan+1=14n-24n+2=1412n-12n+1=1812n-1-12n+11a1a2+1a2a3+1anan+1=181-13+13-15+12n-1-12n+1=181-12n+1=n4 2n+118.【解析】喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200(1)22列联表如下：K2=200(6070-4030)21001009011018.18210.828，有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关(2)3人进球总次数的所有可能取值为0，1，2，3P=0=13212=118，P=1=C12

17、231312+12132=5188P=2=C12231312+23212=49，P=3=23212=29的分布列如下：0123P1185184929的数学期望：E=1518+249+329=11619.【解析】(1)acosB-2acosC=2c-bcosA，sinAcosB-2sinAcosC=2sinC-sinBcosAsinAcosB+cosAsinB=2sinAcosC+2cosAsinCsin A+B=2sin A+CsinC=2sinBc=2b，c=3ab=3a2，cosB=a2+c2-b22ac=a2+3a2-34a22a3a=13 324(2)由(1)知c=2b，b=1，c=2

18、，设BAD=，SABC=122sin2=122 ADsin+121 ADsin AD=43cos，0,2，AD 0,4320.【解析】(1)证明：PD AD，ADBD，PDBD=D，AD平面PBD，ADPB，又PB AB，AD，AB平面 ABD，AD AB=A，PB平面 ABD(2)如图建系，则B 0,2,0，P 0,2,4，A 4,0,0，D 0,0,0，BP=0,0,4，PA=4,-2,-4，DA=4,0,0，设平面BPA与平面PAD的一个法向量分别为n1=x1,y1,z1，n2=x2,y2,z2，n1 BP=0n1 PA=04z1=04x1-2y1-4z1=0n1=1,2,0,n2 PA

19、=0n2 DA=04x2-2y2-4z2=04x2=0n2=0,2,-1,设二面角B-PA-D平面角为，9 cos=n1 n2 n1 n2=45 5=45，sin=3521.【解析】(1)当PQx轴时，PQ=2b2a，PF=b2a，b2a2+(c-a)2=10122b2a c-a=3b2a=3c-a=1c2=a2+b2a=1b=3,双曲线C的方程为：x2-y23=1(2)方法一：设PQ方程为x=my-2，P x1,y1，Q x2,y2，x=my-23x2-y2=33 m2y2-4my+4-y2=3 3m2-1y2-12my+9=0,以PQ为直径的圆的方程为 x-x1x-x2+y-y1y-y2=

20、0 x2-x1+x2x+x1x2+y2-y1+y2y+y1y2=0，由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，令 y=0 x2-x1+x2x+x1x2+y1y2=0，而x1+x2=m y1+y2-4=12m23m2-1-4=43m2-1，x1x2=my1-2my2-2=m2y1y2-2m y1+y2+4=9m23m2-1-2m12m3m2-1+4=-3m2-43m2-1，x2-43m2-1x+-3m2-43m2-1+93m2-1=0 3m2-1x2-4x+5-3m2=03m2-1x+3m2-5x-1=0对mR恒成立，x=1以PQ为直径的圆经过定点 1,0方法二：设PQ方程为x=my-2，P

21、x1,y1，Q x2,y2，x=my-23x2-y2=3 3m2-1y2-12my+9=0,由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点设以PQ为直径的圆过E t,0，EP EQ=0 x1-tx2-t+y1y2=0 x1x2-t x1+x2+t2+y1y2=0，而x1x2=my1-2my2-2=m2y1y2-2m y1+y2+4=m293m2-1-2m12m3m2-1+4=-3m2-43m2-1，x1+x2=m y1+y2-4=12m23m2-1-4=43m2-1-3m2-43m2-1-4t3m2-1+t2+93m2-1=0，3m2-1t2-4t+5-3m2=0，即3m2-1t+3m2-5t-1

22、=0对mR恒成立，t=1，即以PQ为直径的圆经过定点 1,01022.【解析】(1)fx=1aex-1-ex-1xex-12=1a1-xex-1，令 fx=0 x=1 f x有最大值，a0且 f x在 0,1上；1,+上，f(x)max=f 1=1aa=1时，gx=1-a-lnxx2=-lnxx2，当0 x0，g x；当x1时，gx0；当x 1,+时，由xex=lnexex=lnexelnex且xlnex1，x=xex在 1,+上，x lnex方程无解当x1e,1时，由1xlnex，x=xex在 0,1上，x lnex方程有唯一解x=1当0b1时，注意到F(0)=-b0，F1b+2=1b+2e1b+1-b1b+21b+12-b0F x在 0,1和 1,1b+2上各有一个零点x1，x3f x，g x示意图如下注意到G1e=-b0，G4b21而 x=xex在 1,+上，由 x3=lnex4x3=lnx4，ex3-1=x4，x1x2=x3x4x1x4=x2x3，证毕；11