2023年中考九年级数学高频考点二轮专题训练-二次函数的几种形式.docx

1、2023年中考九年级数学高频考点二轮专题训练-二次函数的几种形式一、综合题1初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 209 m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？2如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x=1（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；（2）结合图象，解答

2、下列问题：当1x2时，求函数y的取值范围当y3时，求x的取值范围3已知二次函数y= 2x2 -4x-6.（1）用配方法将y= 2x2 -4x-6化成y=a (x-h) 2 +k的形式；并写出对称轴和 顶点坐标。 （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当 0x4 时，求y的取值范围； （4）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积。 4已知二次函数 y=-12x2+x+32 （1）将 y=-12x2+x+32 化成 y=a(x-h)2+k 的形式； （2）指出该二次函数的图象的顶点坐标；（3）请用描点法画出此二次函数的图象 5用配方法将二次函数化成y=a（xh）2+k的形

3、式，并写出顶点坐标和对称轴 （1）y=2x2+6x12 （2）y=0.5x23x+3 6求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标 （1）y=x2+2x3（配方法）； （2）y= 12 x2x+3（公式法） 7已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）、 （1）填空：抛物线的对称轴为直线x= ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 ； （2）求该抛物线的解析式 8某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）

4、根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 9如图，顶点为P（4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，（1）求该二次函数的关系式；（2）若点A的坐标是（6，3），求ANO的面积；（3）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：证明：ANM=ONM；ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由1

5、0如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= 12 x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x= 32 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B（1）直接写出点B的坐标；求抛物线解析式（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC求PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由11如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点M

6、是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作MNx轴，交直线BC于点N，求四边形MBNA的最大面积，并求出点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在一点P，使BCP为直角三角形？若存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由12如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x2交于B，C两点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由13如图，直线y= 43 x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的

7、抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式及顶点Q的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使BPC的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在写出理由；（3）直线y=kx6与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当MNC与AOC相似时，求点M坐标14如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90得到线段DE，过点E作直线lx轴于H，交抛物线于点M，过点C作CFl于F（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时（与点M重合

8、）求点F的坐标；求线段OD的长；试探究在直线l上，是否存在点G，使EDG=45？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由（3）在点D的运动过程中，连接CM，若CODCFM，请直接写出线段OD的长15如图，已知抛物线l1经过原点与A点，其顶点是P（2，3），平行于y轴的直线m与x轴交于点B（b，0），与抛物线l1交于点M（1）点A的坐标是 ；抛物线l1的解析式是 ；（2）当BM=3时，求b的值；（3）把抛物线l1绕点（0，1）旋转180，得到抛物线l2直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围 ；（4）直线m与抛物线l2交于点N，设线段MN的长为n，求n与b

9、的关系式，并求出线段MN的最小值与此时b的值16已知：在平面直角坐标系中，抛物线 y=-14x2+bx+3 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=2，点P（0，t）是y轴上的一个动点（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标（2）如图1，当0t4时，设PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值（3）如图2，当点P运动到使PDA=90时，RtADP与RtAOC是否相似？若相似，求出点P的坐标；若不相似，说明理由答案1【答案】（1）解：由题意可知，抛物线经过（0， 209 ），顶点坐标是（4，4）可设抛物线的解析式是 y=a(x-4)2+4

10、 ，代入点（0， 209 ），得： a(0-4)2+4=209 ，解得 a=-19 ，抛物线的解析式是 y=-19(x-4)2+4 ；当 x=7 时， y=-19(7-4)2+4=3 ，代表篮圈的点（7，3）在抛物线上，能够投中 （2）解：当 x=1 时， y=-19(1-4)2+4=33.1，乙能够盖帽拦截成功2【答案】（1）解：根据题意得 a-b+c=0c=3-b2a=1 ，解得 a=-1b=2c=3 ，所以二次函数关系式为y=x2+2x+3，因为y=（x1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）解：当x=1时，y=0；x=2时，y=3；而抛物线的顶点坐标为（1，4），且开口向下

11、，所以当1x2时，0y4；当y=3时，x2+2x+3=3，解得x=0或2，所以当y3时，x0或x23【答案】（1）解：y=2x2-4x-6 =2（x2-2x+1）-2-6=2（x-1）2-8；对称轴是直线x=1， 顶点坐标是（1，-8）（2）解：令x=0，得y=-6， 令y=0，得2x2-4x-6=0，解得x=-1或x=3，则抛物线与x轴的交点为：（-1，0），（3，0）；与y轴的交点为：（0，-6）由（1）题得：对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-8），开口向上，故图象为：（3）解：当x=1时，y有最小值，最小值为-8， 0x4 ，y的最小值为10，y的取值范围 -8y10（4）解：当x=0时

12、，y=-6； 当y=0时，2x2-4x-6=0，解得：x=3或x=-1，函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积= 1246=124【答案】（1）解： y=-12x2+x+32=-12(x2-2x)+32=-12(x-1)2+2（2）解：由（1）知，该二次函数的图象的顶点坐标为 (1,2)（3）解：列表： x-10123y01.521.50图象如图所示：5【答案】（1）解：y=2x2+6x12=2（x+ 32 ）2 32 ，则该抛物线的顶点坐标是（ 32 ， 32 ），对称轴是x= 32（2）解：y=0.5x23x+3= 12 （x+3）2+ 152 ，则该抛物线的顶点坐标是（3， 152

13、），对称轴是x=36【答案】（1）解：y=x2+2x3=x2+2x+14 =（x+1）24，所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4）（2）解： b2a = -1212 =1， 4ac-b24a = 4123-(-1)2412 = 52 ， 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1， 52 ）7【答案】（1）2；（3，0）（2）解：拋物线经过点C（1，0）、D（3，0）， 设拋物线的解析式为y=a（x1）（x3）由拋物线经过点A（0，3），得a=1拋物线的解析式为y=x24x+38【答案】（1）解：由图象可知其顶点坐标为（2，2）， 故可设其函数关系式为：S

14、=a（t2）22所求函数关系式的图象过（0，0），于是得：a（02）22=0，解得a= 12 所求函数关系式为：S= 12 （t2）22，即S= 12 t22t答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S= 12 t22t（2）解：把S=30代入S= 12 （t2）22， 得 12 （t2）22=30解得t1=10，t2=6（舍去）答：截止到10月末公司累积利润可达30万元（3）解：把t=7代入关系式， 得S= 12 7227=10.5，把t=8代入关系式，得S= 12 8228=16，1610.5=5.5，答：第8个月公司所获利是5.5万元9【答案】（1）解：二次函数的顶点坐标为（4，4），

15、设二次函数的解析式为y=a（x4）24，又二次函数过（0，0），0=a（04）24，解得：a= 14 ，二次函数解析式为y= 14 （x4）24= 14 x22x（2）解：设直线OA的解析式为y=kx，将A（6，3）代入得3=6k，解得k= 12 ，直线OA的解析式为y= 12 x，把x=4代入y= 12 x得y=2，M（4，2），又点M、N关于点P对称，N（4，6），MN=4，SANO= 12 64=12（3）解：证明：过A作AHl于H，l与x轴交于点D，如图所示：设A（m， 14 m22m），又O（0，0），直线AO的解析式为y= 14m2-2mm x=（ 14 m2）x，则M（4，m8）

16、，N（4，m），H（4， 14 m22m），OD=4，ND=m，HA=m4，NH=NDHD= 14 m2m，在RtOND中，tanONM= ODDN = 4m ，在RtANH中，tanANM= HAHN = m-414m2-m = 4(m-4)m(m-4) = 4m ，tanONM=tanANM，则ANM=ONM；ANO能为直角三角形，理由如下：分三种情况考虑：（i）若ONA为直角，由得：ANM=ONM=45，AHN为等腰直角三角形，HA=NH，即m4= 14 m2m，整理得：m28m+16=0，即（m4）2=0，解得：m=4，此时点A与点P重合，故不存在A点使ONA为直角三角形；（ii）若A

17、ON为直角，根据勾股定理得：OA2+ON2=AN2，OA2=m2+（ 14 m22m）2，ON2=42+m2，AN2=（m4）2+（ 14 m22m+m）2，m2+（ 14 m22m）2+42+m2=（m4）2+（ 14 m22m+m）2，整理得：m（m28m16）=0，解得：m=0或m=4+4 2 或44 2 （舍去），当m=0时，A点与原点重合，故AON不能为直角，当m=4+4 2 ，即A（4+4 2 ，4）时，N为第四象限点，成立，故AON能为直角；（iii）若NAO为直角，可得NAM=ODM=90，且AMN=DMO，AMNDMO，又MAN=ODN=90，且ANM=OND，AMNDON，

18、AMNDMODON，MDOD = ODND ，即 8-m4 = 4m ，整理得：（m4）2=0，解得：m=4，此时A与P重合，故NAO不能为直角，综上，点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，ANO能为直角三角形，当m=4+4 2 ，即A（4+4 2 ，4）时，N为第四象限点，成立，故AON能为直角10【答案】（1）解：y= 12x+2 当x=0时，y=2，当y=0时，x=4，C（0，2），A（4，0），由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x= 32 对称，点B的坐标为1，0）抛物线y=ax2+bx+c过A（4，0），B（1，0），可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x1），又抛物线过点C（

19、0，2），2=4aa= -12y= -12 x2-32 x+2（2）解：设P（m， -12 m2-32 m+2）过点P作PQx轴交AC于点Q，Q（m， 12 m+2），PQ= -12 m2-32 m+2（ 12 m+2）= -12 m22m，SPAC= 12 PQ4，=2PQ=m24m=（m+2）2+4，当m=2时，PAC的面积有最大值是4，此时P（2，3）（3）解：方法一：在RtAOC中，tanCAO= 12 在RtBOC中，tanBCO= 12 ，CAO=BCO，BCO+OBC=90，CAO+OBC=90，ACB=90，ABCACOCBO，如下图：当M点与C点重合，即M（0，2）时，MAN

20、BAC；根据抛物线的对称性，当M（3，2）时，MANABC；当点M在第四象限时，设M（n， -12 n2-32 n+2），则N（n，0）MN= 12 n2+ 32 n2，AN=n+4当 MNAN=12 时，MN= 12 AN，即 12 n2+ 32 n2= 12 （n+4）整理得：n2+2n8=0解得：n1=4（舍），n2=2M（2，3）；当 MNAN=21 时，MN=2AN，即 12 n2+ 32 n2=2（n+4），整理得：n2n20=0解得：n1=4（舍），n2=5，M（5，18）综上所述：存在M1（0，2），M2（3，2），M3（2，3），M4（5，18），使得以点A、M、N为顶点的三

21、角形与ABC相似方法二：A（4，0），B（1，0），C（0，2），KACKBC=1，ACBC，MNx轴，若以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似，则 MNNA=ACBC ， MNNA=BCAC ，设M（2t，2t23t+2），N（2t，0），| 2t2+3t-22t+4 |= 525 ，| 2t-12 |= 12 ，2t1=0，2t2=2，| 2t2+3t-22t+4 |= 255 ，| 2t-12 |=2，2t1=5，2t2=3，综上所述：存在M1（0，2），M2（3，2），M3（2，3），M4（5，18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似11【答案】（1）解：设抛物线解析式为

22、y=a（x1）（x3），把C（0，3）代入得a（1）（3）=3，解得a=3，抛物线解析式为y=（x1）（x3），即y=x24x+3（2）解：如图1，设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B（3，0）代入得 b=33k+b=0 ，解得 k=-1b=3 ，直线BC的解析式为y=x+3，设M（x，x24x+3）（1x3），则N（x，x+3），MN=x+3（x24x+3）=x2+5x，四边形MBNA的面积=SABM+SABN= 12 ABMN= 12 2（x2+5x）=x2+5x=（x 52 ）2+ 254 ，当x= 52 时，四边形MBNA的面积最大，最大值为 254 ；（3）解：存在O

23、B=OC，OBC为等腰直角三角形，OBC=OCB=45，过B点作PBBC交抛物线于P点，交y轴于Q点，如图2，则CBQ=90，OBQ=45，OBQ为等腰直角三角形，OQ=OB=3，Q（0，3），易得直线BQ的解析式为y=x3，解方程组 y=x2-4x+3y=x-3 得 x=2y=-1 或 x=3y=0 ，此时P点坐标为（2，1）；过C点作PCBC交抛物线于P点，如图3，则PCB=90，易得直线CQ的解析式为y=x+3，解方程组 y=x2-4x+3y=x+3 得 x=0y=3 或 x=5y=8 ，此时P点坐标为（5，8）；当BPC=90时，如图4，作PHy轴于H，BFPH于F，设P（t，t24t

24、+3），易证得CPHPBF，PHBF = CHPF ，即 t-(t2-4t+3) = 3-(t2-4t+3)3-t ，t-(t-3)(t-1) = t(t-4)t-3 ，整理得t25t+5=0，解得t1= 5-52 ，t2= 5+52 ，此时P点坐标为（ 5-52 ， 1-52 ）或（ 5+52 ， 1+52 ），综上所述，满足条件的P点坐标为（2，1），（5，8），（ 5-52 ， 1-52 ），（ 5+52 ， 1+52 ）12【答案】（1）解：顶点坐标为（1，1），设抛物线解析式为y=a（x1）2+1，又抛物线过原点，0=a（01）2+1，解得a=1，抛物线解析式为y=（x1）2+1，即

25、y=x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得 y=-x2+2xy=x-2 ，解得 x=2y=0 或 x=-1y=-3 ，B（2，0），C（1，3）；（2）证明：如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，ABO=CBO=45，即ABC=90，ABC是直角三角形；（3）解：假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，x2+2x），ON=|x|，MN=|x2+2x|，由（2）在RtABD和RtCEB中，可分别求得AB= 2 ，BC=3 2 ，MNx轴于点NABC=MNO=90，当ABC和MNO相似时有 MNAB =

26、ONBC 或 MNBC = ONAB ，当 MNAB = ONBC 时，则有 |-x2+2x|2 = |x|32 ，即|x|x+2|= 13 |x|，当x=0时M、O、N不能构成三角形，x0，|x+2|= 13 ，即x+2= 13 ，解得x= 53 或x= 73 ，此时N点坐标为（ 53 ，0）或（ 73 ，0）；当 MNBC = ONAB 时，则有 |-x2+2x|32 = |x|2 ，即|x|x+2|=3|x|，|x+2|=3，即x+2=3，解得x=5或x=1，此时N点坐标为（1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（ 53 ，0）或（ 73 ，0）或（1，0）或（5，0

27、）13【答案】（1）解：令y=0代入y= 43 x+4，解得：x=3，A（3，0）令x=0，代入y= 43 x+4，得y=4，C（0，4）设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x1），把C（0，4）代入上式得，a= 43 ，y= 43 x2 83 x+4y= 43 （x2+2x+1）+ 203 ，Q（1， 203 ）（2）解：点B的坐标为（1，0），取点B关于y轴的对称点B（1，0），连接CB，则BCO=BCO，BPC的内心在y轴上设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B和点C的坐标代入得： b=4-k+b=0 ，解得：k=4，b=4直线BC的解析式为y=4x+4，将y=4x+4与y= 4

28、3 x2 83 x+4联立得： y=4x+4y=-43x2-83x+4 ，解得： x=-5y=-16 或 x=0y=4 （舍去）点P的坐标为（5，16）（3）解：N（0，6），直线AC的表达式为y= 43 x+4当MNCAOC时，CMN=90直线MN的一次项系数为 34 MN的解析式为y= 34 x6将y= 43 x+4与y= 34 x6联立，解得： x=-245y=-145 ，点M的坐标为（ 245 ， 145 ）当CNM为直角时，MNx轴，将y=6代入y= 43 x+4得： 43 x+4=6，解得：x= 152 M（ 152 ，6）综上所述，点M的坐标为（ 245 ， 145 ）或（ 15

29、2 ，6）14【答案】（1）解：把x=0代入抛物线的解析式得：y=3，C（0，3）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x5），将点C的坐标代入得：5a=3，解得：a= 35 抛物线的解析式为y= 35 x2+125 x+3（2）解：CFl，OBl，CFx轴点F的纵坐标为3将y=3代入抛物线的解析式得： 35 x2+ 125 x+3=3，解得x=0或x=4点F的坐标为（4，3）点F的坐标为（4，3），点H的坐标为（4，0）CDE=90，CDO+EDH=90OCD+CDO=90，OCD=EDH由旋转的性质可知：CD=DE在RtOCD和RtHDE中， OCD=EDHCOD=DHECD=DE ，RtO

30、CDRtHDECO=DH=3又OH=4，OD=1如图1所示：将CD绕点C逆时针旋转90得到线段CN，则N（3，4）且四边形CDEN为正方形四边形CDEN为正方形，GDE=45设DN的解析式为y=kx+b，将点D和点N的坐标代入得： k+b=03k+b=4 ，解得：k=2，b=2DN的解析式为y=2x2把x=4代入得：y=6，G（4，6）设直线DG的解析式为y= 12 x+c，将点D的坐标代入得： 12 +c=0，解得：c= 12 直线DG的解析式为y= 12 x+ 12 将x=4代入得：y= 32 点G的坐标为（4， 32 ）综上所述，点G的坐标为（4，6）或（4， 32 ）（3）解：如图2所

31、示：设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3， 35 a2 65 a+ 245 ）FM= 35 a2 65 a+ 95 CODCFM，OCDO = CFFM ，即 3a = 3+a-35a2-65a+95 ，整理得：14a2+33a27=0，解得a= 914 或a=3（舍去）OD= 914 如图3所示：设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3， 35 a2 65 a+ 245 ）FM= 35 a2+ 65 a 95 CODCFM，OCDO = CFFM ， 3a = a+335a2+65a-95 ，整理得：4a2+3a27=9，解得：a=3（舍去）或a= 94 OD= 94 综上所

32、述，OD的长为 914 或 9415【答案】（1）（4，0）；y= 34 （x+2）2+3（2）解：在y= 34 （x+2）2+3中，令y=3，则 34 （x+2）2+3=3，解得：x=2 2 2或2 2 2当在y= 34 （x+2）2+3中，令y=3时，则 34 （x+2）2+3=3，解得x=2，即b=2则b=2或2 2 2或2 2 2；（3）2x2（4）解：设M的坐标是（b， 34(b+2)2+3 ），则N的坐标是（b， 34 （b2）21），则MN= 34 （b2）21） 34(b+2)2+3 = 32 b2+2则当b=0时，MN最小，是216【答案】（1）解：对称轴为x= b2(-14

33、) =2，解得b=1，所以，抛物线的解析式为y= 14 x2x+3，y= 14 x2x+3= 14 （x+2）2+4，顶点D的坐标为（2，4）.（2）解：令y=0，则 14 x2x+3=0，整理得，x2+4x12=0，解得x1=6，x2=2，点A（6，0），B（2，0），如图1，过点D作DEy轴于E，0t4，PAD的面积为S=S梯形AOEDSAOPSPDE，= 12 （2+6）4 12 6t 12 2（4t），=2t+12，k=20，S随t的增大而减小，t=4时，S有最小值，最小值为24+12=4.（3）解：如图2，过点D作DFx轴于F，A（6，0），D（2，4），AF=2（6）=4，AF=DF，ADF是等腰直角三角形，ADF=45，由二次函数对称性，BDF=ADF=45，PDA=90时点P为BD与y轴的交点，OF=OB=2，PO为BDF的中位线，OP= 12 DF=2，点P的坐标为（0，2），由勾股定理得，DP= (-2-0)2+(4-2)2 =2 2 ，AD= 2 AF=4 2 ，ADDP = 4222 =2，令x=0，则y=3，点C的坐标为（0，3），OC=3，OAOC = 63 =2，ADDP = OAOC ，又PDA=90，COA=90，RtADPRtAOC.25