1、2021年南京大学数学系拔尖班二次选拔考试试题本卷考试时间：120分钟，满分：100分1.（20分）设是定义在整数集上的函数。（1）设对每一个整数都有，且均成立，证明：恒等于常数。（2）如果存在常数，使得对每一个整数，均有，则称有上界，否则就称没有上界。假定没有上界，证明：要么存在一列正整数，使得当时，总成立；要么存在一列负整数，使得当时，。2.（30分）设是定义在中的函数，当为非负整数时，记。（1）证明：若，其中为正整数，则；（2）设为常数，记，证明：若对均成立，则对；（3）设如（2）中所定义，证明：对均成立，则对均成立。3.(20分)设F为复数集的子集，含有非零数，且对四则运算封闭，即对任
2、意F有F，且当时有F称这样的F为数域。(1) 证明：任何数域都包含有理数集；(2) 证明：包含2的最小数域为；(3) 试求包含的最小数域F，其中为虚数单位, 即；(4) 设F为(3)中的数域，试求所有函数FF，满足，F。4.设为实数集，为自然数集，是一个不定元，称形式表达式为上的一个形式幂级数，其中。所有形式幂级数的全体记为，例如当，其他都为零时的形式幂级数为一个二次多项式；当时的形式幂级数为对任意，定义上的加法和乘法为其中。（1）设，证明：存在唯一使得当且仅当，这样的称为可逆的，称为的逆；（2）设为非零实数，为等比数列，试求的逆；（3）设，试求的逆；（4）试利用（2）和（3）的结论求（3）中数列试求的通项公式。2021年南京大学数学系拔尖班二次选拔考试试题解答1. 解：2.解:3.解：4.解：8
