秒杀题型 离心率(椭圆与双曲线)(详细解析版).docx

1、秒杀题型一：利用焦点三角形求离心率。2c秒杀思路：利用定义，求出e =。2a秒杀公式：椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为a 、 b ，则e = sin(a + b) (正弦定理)。sina + sin bsin(a + b) sina - sin b双曲线：利用焦点三角形两底角a, b 来表示: e =。1.(高考题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知DABC 顶点 A(-4,0) 和C(4,0) ,顶点 B 在椭圆 x2 + y2 = 1 上,则259sin A + sin C =.sin B【解析】：秒杀公式： sin A + sin C = 1 = 5 。sin Be4x2y22.(20

2、13 年新课标全国卷 II)设椭圆 C :+= 1 (a b 0) 的左、右焦点分别为 F , F, P 是 C 上的a2b212点, PF F F , PF F= 30o ,则C 的离心率为()21 21 23113A. 6B. 3C. 2D. 3【解析】：设 PF= t ， PF= 2t ，则 F F=3t ，即2a = 3t ， 2c =3t ， e = 2c =3，选D。211 22a3秒杀公式： e =sin(90 + 30)=，选D。3sin 90 + sin 3033.(高考题)已知 F , F 是椭圆的两个焦点,过 F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 AB 两DABF 点,若是

3、正三1212角形,则这个椭圆的离心率是 ()3223A. 3B. 3C. 2D. 2【解析】： DAF F 与上题完全相同，选A。1 24.(高考题)双曲线 x2 - y2 = 1( a 0 , b 0 )的左、右焦点分别是 F , F ,过 F 作倾斜角为30 的直线交双曲a2b2121线右支于 M 点,若 MF 2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为()632A.B.C.3D. 3【解析】：设 PF= t ， PF= 2t ，则 F F=3t ，即2a = t ， 2c =3t ， e = 2c =3 ，选B。211 22a()秒杀公式： e =sin 90 + 30 sin 90 - s

4、in 30=3 ，选B。5.(高考题)设椭圆的两个焦点分别为 F , F ,过 F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若DF PF为等腰直角三122122D. 2 -1角形,则椭圆的离心率是()2A. B.2 -1C. 2 -22【解析】： PF= 2c ， PF= 2 2c ，则 F F= 2c ，即2a = 2 2c + 2c ，e = 2c =2c=2 -1，2 2c + 2c211 22a选 D。()2sin 90 + 45秒杀公式： e =sin 90 + sin 4521+22=2 -1，选D。6.(高考题)已知正方形 ABCD ,则以 A, B 为焦点,且过C, D 两点的椭圆的

5、离心率为.【解析】：取一个焦点三角形，同上题，e =2 -1。7.(2013 年辽宁卷)已知椭圆C : x2 + y2 = 1(a b 0) 的左焦点为 F , C 与过原点的直线相交于 A, B 两点,连a2b24接 AF , BF .若 AB = 10, AF = 6 , cosABF =,则C 的离心率e =.54【解析】：由余弦定理得62 =| BF |2 +102 - 2 10 | BF | ，得| BF |= 8 ，A 到右焦点的距离也是 8，5由椭圆定义： 2a = 6 + 8 = 14 ， 2c = 10 ， e = 10 = 5 。1478.(2016 年新课标全国卷II11

6、)已知 F , F 是双曲线 E :x2 - y2= 1 的左、右焦点,点 M 在 E 上, MF与 x 轴垂12a2b21直, sin MF F= 1 ,则 E 的离心率为()2 132A.【解析】：设MF3B. 2= 1，则 MFC.3= 3 ， F FD. 2= 2C = 2 2 ， 2a = MF- MF= 2 ， e =2 ，选A。121 221()2 2sin 90 + MF FcosMF F32秒杀公式： e =2 1=sin 90 - sin 11 =2=2 ，选A。MF F1-2 1339.(2018 年新课标全国卷II 文)已知 F , F 是椭圆C 的两个焦点, P 是C

7、 上的一点,若 PF PF ,1212且PF F = 60,则C 的离心率为 ()2 1A.1-3B. 2 -3 -13D. 3 -1C. 22【解析】：设 PF= 1 ，则 PF =3, F F= 2 ， e = 2c =2=3 -1 ，选D。3 +1秒杀公式： e =21sin(90)=1 22a1=3 -1，选D。sin 60 + sin 303 +1210.(高考题)椭圆G : x2 + y2 = 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F , F ,焦距为2c ,若直线 y =3( x + c) 与椭a2b212圆G 的一个交点M 满足MF F = 2MF F ,则该椭圆的离心率等于.

8、1 22 1【解析】：同上题， e =3 -1 。11.(2018 年北京卷)已知椭圆M： += 1(a b 0) ，双曲线 N x2 - y2 = 1 若双曲线 N 的两条渐近线与x22y：a2b2m2n2椭圆 M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为；双曲线N 的离心率为【解析】：设其中一个交点为P ，则DPF F 为焦点直角三角形，设 PF= 1 ，则有 PF=3, F F= 2 ，1 2121 2椭圆的离心率为e1=3 -1，双曲线渐近线的倾斜角为60，双曲线的离心率为 2。12.(高考题)已知 F , F 是双曲线 x 2- y 2= 1(a

9、0, b 0) 的两个焦点,以线段 F F为边作正三角形MF F ,12a 2b 21 21 2若边 MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()1A. 4 + 2B.-1C.3 + 1D.+ 1333223 -1【解析】：设中点为 P(右），PF = 1 ，PF =3 ，F F = 2c = 2 ，2a =3 -1 ，e = 2c =3 +1 ，211 22a选 D。秒杀公式： e =sin(90)sin 60 - sin 30 =13 -12=3 +1，选D。13.(高考题) F 和 F 分别是双曲线 x2 - r 2 = 1(a 0,b 0) 的两个焦点, A 和 B 是以为圆心,以

10、OF 为半O12a2b21径的圆与该双曲线左支的两个交点,且DF AB 是等边三角形,则双曲线的离心为()235A. B.C.5D.1 +32【解析】：取DAF F ，同上题， e =3 +1 ，选D。1 214.(高考题)设 F , F 是双曲线C : x2 - y2 = 1(a 0,b 0) 的两个焦点,若在C 上存在一点 P 使 PF PF ,12a2b212且PF F = 30,则C 的离心率为.1 2【解析】：同上题， e =3 +1 。15.( 高考题 ) 设 F , F分别是双曲线x2 - y2的左、右焦点 , 若双曲线上存在点A , 使 F AF= 90o 且12a2b212A

11、F = 3 AF12,则双曲线的离心率为()510A.B.155C. D.222【解析】：设 AF= 1，则 AF= 3 ， F F= 2c =， 2a = 2 ， e =2c =，选B。10211 21032a216.( 高考题 ) 在ABC 中, A = 90o, tan B =4e =. 若以 A, B 为焦点的椭圆经过点C , 则该椭圆的离心率【解析】：设 AC = 3t ，则 BC = 5t ， AB = 2c = 4t ， 2a = 8t ， e =4秒杀公式： e = 5= 1 。1+ 3252c = 4t = 1 。2a8t217.(高考题)已知长方形 ABCD , AB =

12、4 , BC = 3,则以 A, B 为焦点,且过C, D 两点的椭圆的离心率为.【解析】：取一个焦点三角形，同上题，e = 1 。218.(2016 年山东卷)已知双曲线E : x2 - y2 = 1(a 0, b 0),若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB, CD 的a2b2中点为 E 的两个焦点,且2 AB = 3 BC ,则 E 的离心率是.【解析】：取一个焦点三角形 AF F ，设 AB = 6t ，则 BC = 4t ， AF= 3t ，F F= 4t = 2c ， AF= 5t ，2a = 2t ， e =1 22c = 4t = 2 。2a2t11 22319.(高考题

13、)设DABC 是等腰三角形, ABC = 120o,则以 A, B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为()A.1 +2B.1 +32C. 1 +22D. 1 +【解析】： AB = BC = 2c ， AC = 2 3c ， 2a = 2 3c - 2c ， e =2c =2c=2 3c - 2c2a，选B。3 +1220.(高考题)在ABC 中, AB = BC , cos B = - 7 ,若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率18e =【 解析】： AB = BC = 2c ， 由余弦定理得： AC 2 = 4c2 + 4c2 +2810010=c2c2 ， ACc

14、，9932a = 10 c + 2c = 16 c ， e = 2c =2c = 3 。332a16 c8321.(高考题)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F , F ,若曲线 C 上存在点 P 满足 PF: F F: PF=4:3:2,则曲线C 的离心率等于()1211 22A. 1 或 3B. 2 或 2C. 1 或 2D. 2 或 3223232【解析】：设 PF= 4t ， F F= 3t ， PF= 2t ，11 22当曲线为椭圆时， 2a = 6t ， 2c = 3t ， e =2c = 1 ；2a22c3当曲线为双曲线时， 2a = 2t ， 2c = 3t ， e =，选A。

15、2a222.(高考题)设F , F是双曲线C : x2 - y2 = 1(a 0,b 0)的两个焦点, P 是C 上一点，若12a2b2PF + PF =126a, 且DPF F 的最小内角为30 o,则C 的离心率为.1 2【解析】：设 P 在双曲线右支上，由双曲线定义得 PF1- PF2= 2a ， PF 1= 4a ，PF2= 2a ，Q 2a 2c ，且2a 0, b 0) 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12a2b2| PF | + | PF|= 3b,| PF | | PF|= 9 ab, 则该双曲线的离心率为()14A. 3215B. 3249C. 4D.33b + 2a3

16、b - 2a【解析】：设 P 在双曲线右支上，由双曲线定义得 PF1- PF2= 2a ， PF 1=， PF =，222 9b2 - 4a2 = 9 ab ， b = 4 或 b = - 1 （舍去），e = 5 ，选B。44a3a3324.(高考题)椭圆 x2 + y2 = 1(a 为定值,且a 5) 的左焦点为 F ,直线 x = m 与椭圆相交于点 A , B ,a25DFAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是.【解析】：设右焦点为 F ，Q 由椭圆定义得：AF + AF+ BF + BF= 4a ，由 AF+ BF AB ， DFAB222222的周长的最大值是4a = 1

17、2 ， a = 3 ， c = 2 ， e = 。325.(高考题)设 F 是双曲线C : x2 - y2 = 1的一个焦点,若C 上存在点 P ,使线段 PF 的中点恰为其虚轴的a2b2一个端点,则C 的离心率为.5【解析】：法一：设F 是双曲线的左焦点，可得P (c,2b)，代入得e =。法二：设F 是双曲线的左焦点， F 是双曲线的右焦点，则PF F F， b2 = 2b ， b = 2a ， e =5 。221 2a秒杀题型二：寻找a, b, c 关系求离心率。秒杀思路：如果建立a, b 或b, c 或 a, b, c 的关系，一般情况要通过平方消去b 化简为 a, c 关系求离心率。

18、1.(2018 年新课标全国卷I)已知椭圆C : x2 + y2 = 1的一个焦点为(2 ，0) ,则C 的离心率为()a241122 2A. 3B. 2C. 2D.3【解析】： a2 = 8 ， e =22 ，选C。D. 22.(2015 年新课标全国卷II11)已知 A, B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上, DABM 为等腰三角形,且顶角为120 ,则 E 的离心率为()A. 5C. 3()B.22【解析】：可得M 2a, 3a ，代入双曲线得a = b, e =，选D。3.(2010 年新课标全国卷)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2 ),则

19、它的离心率为()6565A. B.C. 2D. 2【解析】：双曲线的渐近线为 y = b x ，代入点得a = 2b ，平方得e = a52 ，选D。4.(高考题)已知双曲线 x2 - y2 = 1的一条渐近线方程为 y = 4 x ,则双曲线的离心率为()a2b235453A. 3B. 3C. 4D. 2bb45【解析】：双曲线的渐近线为 y =x ，=， e =，选。aa33A. 2B. 35.(2011 年新课标全国卷 7)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直, l 与C 交于 A, B 两点, AB为C 的实轴长的 2 倍,则C 的离心率为()C.2D.3【

20、解析】： AB 为通径长， AB =2b2a= 4a ，即b2 = 2a2 ，得e =3 ，选B。3a26.(2012 年新课标全国卷 4)设 F , F 是椭圆 E : x2 + y2 = 1(a b 0) 的左,右焦点, P 为直线 x =上一12a2b2点, DF PF 是底角为30 o的等腰三角形,则 E 的离心率为()211234A.B.C.D.23453PF = F F = 2c = 2 F A = 2 3a - c e =【解析】： ，得，选C。21 22 247.(2016 年新课标全国卷 III11)已知O 为坐标原点, F 是椭圆C : x2 + y2 = 1(a b 0)

21、 的左焦点, A, B 分别a2b2为C 的左、右顶点. P 为C 上一点,且 PF x 轴.过点 A 的直线l 与线段 PF 交于点M ,与 y 轴交于点E .若直线 BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为()1123A. 3B. 2C. 31D. 4MF = a - c2 OE =a1【解析】：由线段成比例得： ， ，得e =，选A。OEaMFa + c38.(2017 年新课标全国卷 I15)已知双曲线C : x2 - y2 = 1(a 0, b 0) 的右顶点为 A ,以 A 为圆心, b 为半径a2b2作圆 A ,圆 A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、 N 两点.若MAN =

22、60 ,则C 的离心率为.【解析】：可得DMAN 为等边三角形， A 到渐近线的距离为b3b ，得a =3b ， e =。32 323a = 2=3秒杀方法：由cb2可得(利用焦点到渐近线的距离为b )。9.(2017 年新课标全国卷II9)若双曲线C :x2 - y2= 1（ a 0 ，b 0 ）的一条渐近线被圆(x - 2)2+ y2 = 4a2b22 3所截得的弦长为 2,则C 的离心率为()32A.2B.C.D. 3【解析】：由圆心到渐近线的距离为 3 ，即= 2b =3 ，平方得e = 2 ；2ba2 + b2cpb秒杀方法：画图可得渐近线的倾斜角为，即=3 ，平方得e = 2 。3

23、a10.(2017 年新课标全国卷III10)已知椭圆C : x2 + y2 = 1( a 0, b 0 )的左、右顶点分别为 A , A ,且a2b212以线段 A A 为直径的圆与直线bx - ay + 2ab = 0 相切,则C 的离心率为()1 26321A. 3B. 3C. 3D. 3【解析】：因为圆与直线相切，即圆心到直线距离等于a 得：2ab= 2aba2 + b2c= a ，即c = 2b ，a =3b ，6e =，选A。311.(2018 年新课标全国卷II12)已知 F , F 是椭圆C : x2 + y2 = 1(a b 0) 的左,右焦点， A 是C 的左顶12a2b2

24、3点,点 P 在过 A 且斜率为的直线上, PF F 为等腰三角形, F F P = 120 ,则C 的离心率为 ()61 21 22111A. 3B. 2()(C. 3)D. 43c3c1【解析】：可得 P 2c, 3c ， A - a,0， k=PA=，得e =，选D。2c + a6a412.(高考题)双曲线虚轴的一个端点为M ,两个焦点为 F , F , F MF = 120, 则双曲线的离心率()12123663A.B. 2C. 3D. 3【解析】：可得c =3b ， e =62 ，选B。13.(高考题)过双曲线 x2 - y2 = 1 (a 0, b 0)的左焦点且垂直于 x 轴的直

25、线与双曲线相交于 M , N 两点,a2b2以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于.【解析】： 设右顶点为 A ， 左焦点为 F ， 则 DMF A 为等腰直角三角形， 可得 b2 = a + c ， 即211 2ac2 - ac - 2a2 = 0 ，得e2 - e - 2 = 0 ， e = 2 ， e = -1 （舍去）。14.(高考题)如图, F , F 是椭圆C: x2+ y2 = 1与双曲线C的公共焦点, A, B 分别是C , C在第二、四象限的1214212公共点.若四边形 AF BF 为矩形,则C122的离心率为()yAF1OF2xB23A. B.3C

26、. 26D. 2q【解析】：在双曲线中，可得c =3 ，在椭圆中，利用焦点三角形面积公式得SDAF F1 2= b 2 tan12= 1，在双曲线中， S= b 2 tan q = b 2 = 1，b = 1， a =， e =62，选D。22DAF F22221 215.( 高考题) 椭圆x2 + y2 = 1(a b 0) 的左、 右顶点分别是 A, B , 左、 右焦点分别是 F , F . 若a2b212AF , F F, BF成等比数列,则此椭圆的离心率为 ()511 21151A. B.C.452D.- 2【解析】：由 F F2 = AF BF得： 4c2 = a2 - c2 ，

27、e =5，选B。1 211516.(高考题)从椭圆 x2 + y2 = 1(a b 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F , A 是椭圆与 x 轴正半a2b21轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB / OP ( O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 ()2231A.B.C.D.4222b2【解析】：Q AB / OP ，DPF O DBOA ， c = a ， b = c ， e =2，选 C。1ab2秒杀题型三：黄金椭圆。秒杀思路： a, b, c 成等比数列，即b2 = ac F B A = 90 ，椭圆: e = 0.618 ，叫优美椭圆；5 -11

28、2 225 +1类比：双曲线： e =。2秒杀题型四：求离心率的范围。秒杀思路：建立不等式，求出范围。1.(2017 年新课标全国卷II)若 a 1 ,则双曲线x - y2 = 1 的离心率的取值范围是()B（.2，2）2a2A（.2，+）C（.1，2）D（. 1，2）a2 +1a21+ 1a2【解析】： e = 0, b 0) 的左,右焦点分别为 F , F,点 P 在双曲线的右支上 ,且a2b212| PF |= 4 | PF| ,则此双曲线的离心率e 的最大值为()1245A. B.C. 2D. 733325【解析】：由 PF1= 4 PF2得2a + PF2= 4 PF2，即 PF2=a c - a ，1 e 。33