2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（4）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 M0，x2，N1，2，若 MN2，则 MN（ ） A0，x2，1，2 B2，0，1，2 C0，1，2 D 0， 1， 2， 2， 2 2 （5 分）已知复数 = 5 2 + 5，则|z|（ ） A5 B52 C32 D25 3 （5 分）设 ， 是向量，则“| | |”是“| + | |”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条

2、件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）下列四个命题正确有（ ）个 （1）ab，bcac （2）ab，bcac （3）a，bab （4）ab，ba A1 B2 C3 D4 5 （5 分）已知三棱锥 DABC 的四个顶点在球 O 的球面上，若 ABACBCDBDC 1，当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时，球 O 的表面积为（ ） A5 3 B2 C5 D20 3 6 （5 分）已知抛物线 y24x 的弦 AB 中点的横坐标为 2，则|AB|的最大值为（ ） A1 B3 C6 D12 7 （5 分）已知函数 f（x）asinxcosxsin2x+ 1 2的一条对称轴方程为 x= 6，则函数

3、f（x） 的最大值为（ ） A1 B1 C2 D2 8 （5 分）函数 y（1 2 1+）|x|的图象可能是（ ） A. 第 2 页（共 19 页） B. C. D 9 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，| 2）的部分图象如图所示，为了 得到 ysin2x 的图象，只需将 f（x）的图象（ ） A向右平移 3个单位 B向右平移 6个单位 C向左平移 3个单位 D向左平移 6个单位 10 （5 分）如图所示，为了测量 A，B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处 的北偏西 15、北偏东 45方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在 C 处

4、的 正北方向，A 在 C 处的北偏西 60方向，则 A，B 两处岛屿间的距离为（ ） A206海里 B406海里 C20(1 + 3)海里 D40 海里 11 （5 分）甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上 的面的点数为奇数时甲得 1 分，否则乙得 1 分，先积得 3 分者获胜得所有 12 张游戏牌， 第 3 页（共 19 页） 并结束游戏比赛开始后，甲积 2 分，乙积 1 分，这时因意外事件中断游戏，以后他们 不想再继续这场游戏，下面对这 12 张游戏牌的分配合理的是（ ） A甲得 9 张，乙得 3 张 B甲得 6 张，乙得 6 张 C甲得 8 张，乙得 4

5、张 D甲得 10 张，乙得 2 张 12 （5 分）设双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左焦点 F（2，0） ，圆 x2+y2c2与双曲 线的一条渐近线交于点 A，直线 AF 交另一条渐近线于点 B，若 = 1 2 ，则双曲线的 方程为（ ） A 2 3 2= 1 B 2 2 2 6 = 1 C 2 6 2 2 = 1 D2 2 3 = 1 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，且满足 f（x）f（x+2） ，当 x0，2时，f（x） ex，则 f（7） 14 （5 分）我国古代数

6、学名著九章算术中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送 来米 1536 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒，则这批米内夹 谷约为 15 （5 分）2019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文 明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年 文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一 规律 已知样本中碳 14 的质量 N 随时间 t （单位： 年） 的衰变规律满足 = 0 2; 5730（N0 表示碳 14 原有的质量） ， 则经过 5730 年后， 碳 14 的质量变为原

7、来的 ； 经过测定， 良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的1 2至 3 5， 据此推测良渚古城存在的时期距今 约在 年到 5730 年之间 （参考数据：log231.6，log252.3） 16 （5 分）已知 f（x）x（e+lnx） ，g（x）= 1 3x 3+3 2x+m，对于x 1 2，+）时都有 f（x） g（x）恒成立，则 m 的取值范围为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）数列an的前 n 项和 Sn，满足 Sn= 3 2an 1 2a1，且 a13 （1）求数列an的通项公式； 第 4 页

8、（共 19 页） （2）设 bn= 231 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）随着移动支付的普及，中国人的生活方式正在悄然发生改变，带智能手机而不 带钱包出门，渐渐成为中国人的新习惯，在调查“现金支付，银联卡支付，手机支付” 三种支付方式中“最常用的支付方式”这个问题时，在中国某地，从 20 岁到 40 岁人群 中随机抽取 55 人，从 40 岁到 60 岁人群随机抽取 45 人，进行答题20 岁到 40 岁人群的 支付情况是：选择现金支付的占 1 11、银联卡支付的占 1 11、手机支付的占 9 11，40 岁到 60 岁人群的支付情况是：现金支付的占2 9、银联卡支付的占

9、 1 9、手机支付的占 2 3 （1）请根据以上调查结果将下面 22 列联表补充完整，并判断至多有多少把握认为支 付方式与年龄有关； 手机支付 其他支付方式 合计 20 岁到 40 岁 40 岁到 60 岁 合计 （2）商家为了鼓励使用手机支付，规定手机支付打 9 折，其他支付方式不打折现有一 物品售价 100 元，以样本中支付方式的频率估计一件产品支付方式的概率，假设购买每 件物品的支付方式相互独立求 4 件此种物品销售额的数学期望 附：k2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d P （K2k0） 0.40 0.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.01

10、 k0 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABCBAD90，PAB，PAD，都是边 长为 2 的等边三角形 （）证明：平面 PDB平面 ABCD； （）求点 C 到平面 PAD 的距离 第 5 页（共 19 页） 20 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A，AF1F2的面积为 1，且椭圆 C 的离心率为 2 2 （）求椭圆 C 的标准方程； （） 点 M 在椭圆上且位于第二象限， 过点 F1作直线 l1MF1， 过点 F2作直线

11、l2MF2， 若直线 l1，l2的交点 N 恰好也在椭圆 C 上，求点 M 的坐标 21 （12 分）已知函数 f（x）cosx+xsinx+exax （1）若函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线与 x 轴平行，求实数 a 的值及函数 f（x） 在区间 2， 2上的单调区间； （2）在（1）的条件下，若 x1x2，f（x1）f（x2） ，求证：(1+2 2 )0 （f（x）为 f（x）的导函数） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐

12、标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cosm，曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2 （1）求曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的参数方程； （2） 设曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A， 曲线 C1与 x 轴的交点为 H， 点 M （1， 0） ，求AMH 的周长 l 的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x2|+|2x+4| （）解不等式：f（x）3x+4； （）若函数 f（x）的最小值为 a，且 m+na（m0，n0） ，求 1 + 1 的最小值 第 6 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 2

13、 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 M0，x2，N1，2，若 MN2，则 MN（ ） A0，x2，1，2 B2，0，1，2 C0，1，2 D 0， 1， 2， 2， 2 【解答】解：集合 M0，x2，N1，2，MN2， x22， MN0，1，2 故选：C 2 （5 分）已知复数 = 5 2 + 5，则|z|（ ） A5 B52 C32 D25 【解答】解： = 5 2 + 5 = 5(2+) 5 + 5 = 1 + 7， | = (1

14、)2+ 72= 52 故选：B 3 （5 分）设 ， 是向量，则“| | |”是“| + | |”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若“| | |” ，则以 ， 为邻边的平行四边形是菱形； 若“| + | |” ，则以 ， 为邻边的平行四边形是矩形； 故“| | |”是“| + | |”的既不充分也不必要条件； 故选：D 4 （5 分）下列四个命题正确有（ ）个 （1）ab，bcac （2）ab，bcac （3）a，bab （4）ab，ba A1 B2 C3 D4 第 7 页（共 19 页） 【解答】解：根据平行公理，即平行线

15、的传递性，可知（1）正确； 根据垂直于同一条直线的两条直线 a，c 可以平行、相交、异面；即（2）不正确； 根据直线与平面平行的定义可知，直线 a 与平面 没有公共点，即直线 a 与平面 的直 线平行或异面，即（3）不正确； 根据 ab，b，直线 a 也可能在平面 内，可知（4）不正确 故正确的命题是（1） 故选：A 5 （5 分）已知三棱锥 DABC 的四个顶点在球 O 的球面上，若 ABACBCDBDC 1，当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时，球 O 的表面积为（ ） A5 3 B2 C5 D20 3 【解答】解：如图，当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时，则平面 ABC平面 DBC

16、， 取 BC 的中点 G，连接 AG，DG，则 AGBC，DGBC 分别取ABC 与DBC 的外心 E，F，分别过 E，F 作平面 ABC 与平面 DBC 的 垂线，相交于 O，则 O 为四面体 ABCD 的球心， 由 ABACBCDBDC1，得正方形 OEGF 的边长为 3 6 ，则 OG= 6 6 四面体 ABCD 的外接球的半径 R= 2+ 2=( 6 6 )2+ (1 2) 2 = 5 12 球 O 的表面积为= 4 ( 5 12) 2 = 5 3 ， 故选：A 6 （5 分）已知抛物线 y24x 的弦 AB 中点的横坐标为 2，则|AB|的最大值为（ ） A1 B3 C6 D12 第

17、 8 页（共 19 页） 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x24， 令直线 AB 的方程为 ykx+b，代入抛物线 y24x 得 k2x2+2（kb2）x+b20， 故有 x1+x2= 2(2) 2 ，x1x2= 2 2， 故有 4= 2(2) 2 ，解得 b= 222 ，即 x1x2= 482+44 4 ， 又|AB|= 1 + 2|x1x2|= 1 + 216 4 482+44 4 ， 41 + 22 21 4 =42 + ,( 1 2 1 2) 2+1 4- 4 9 4 =6 故|AB|的最大值为 6， 故选：C 7 （5 分）已知函数 f（x）asin

18、xcosxsin2x+ 1 2的一条对称轴方程为 x= 6，则函数 f（x） 的最大值为（ ） A1 B1 C2 D2 【解答】解：f（x）= 2 2 + 1 2 2， ()最值为 1 2 2+ 1， = 6是函数 f（x）图象的一条对称轴， f（ 6） 1 2 1 + 2，即 2 3 + 1 2 3 = 1 2 2+ 1， 即 3 4 + 1 4 = 1 2 2+ 1， 解得 a= 3，f（x）sin(2 + 6)，最大值为 1 故选：A 8 （5 分）函数 y（1 2 1+）|x|的图象可能是（ ） A. 第 9 页（共 19 页） B. C. D 【解答】解：因为 f（x）y（1 2 1

19、+）|x|= 1 1+ |， 所以 f（x）= (1 2 1+() | | = (1 2 1+) | = 1 1+ | = f（x） ， 所以函数为奇函数，排除 A、B 选项； ( 2) = (1 2 1+1) | 2 | = 1 +1 2 0，所以排除 C 故选：D 9 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，| 2）的部分图象如图所示，为了 得到 ysin2x 的图象，只需将 f（x）的图象（ ） A向右平移 3个单位 B向右平移 6个单位 C向左平移 3个单位 D向左平移 6个单位 【解答】解：由函数 f（x）Asin（x+） ，(0，0，| 2)的图象可得 A1，T= 2

20、 =2, 3 ( 6)- =，2 再由五点法作图可得 2 ( 6) +0，= 3 故函数的 f（x）的解析式为 f（x）sin（2x+ 3）sin2（x+ 6） 第 10 页（共 19 页） 故把 f（x）sin2（x+ 6）的图象向右平移 6个单位长度，可得 g（x）sin2x 的图象， 故选：B 10 （5 分）如图所示，为了测量 A，B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处 的北偏西 15、北偏东 45方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的 正北方向，A 在 C 处的北偏西 60方向，则 A，B 两处岛屿间的距离为（ ） A206海里 B

21、406海里 C20(1 + 3)海里 D40 海里 【解答】解：连接 AB， 由题意可知 CD40，ADC105，BDC45，BCD90，ACD30， CAD45，ADB60， 在ACD 中，由正弦定理得 30 = 40 45，AD202， 在 RtBCD 中， BDC45，BCD90， BD= 2CD402 在ABD 中，由余弦定理得 AB=800 + 3200 2 202 402 60 =206 故选：A 11 （5 分）甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上 的面的点数为奇数时甲得 1 分，否则乙得 1 分，先积得 3 分者获胜得所有 12 张游戏牌， 并结

22、束游戏比赛开始后，甲积 2 分，乙积 1 分，这时因意外事件中断游戏，以后他们 第 11 页（共 19 页） 不想再继续这场游戏，下面对这 12 张游戏牌的分配合理的是（ ） A甲得 9 张，乙得 3 张 B甲得 6 张，乙得 6 张 C甲得 8 张，乙得 4 张 D甲得 10 张，乙得 2 张 【解答】解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表 示乙胜，于是这两局有四种可能： （甲，甲） ， （甲，乙） ， （乙，甲） ， （乙，乙） 其中甲获胜有 3 种，而乙只有 1 种， 所以甲获胜的概率是3 4，乙获胜的概率是 1 4 所以甲得到的游戏牌为 12 3 4 =9

23、，乙得到圆心牌为 12 1 4 =3； 当甲得 3 分时获得 12 张游戏牌，当甲得 1 分时获得 3 张牌，当甲得 2 分时获得 9 张牌， 故选：A 12 （5 分）设双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左焦点 F（2，0） ，圆 x2+y2c2与双曲 线的一条渐近线交于点 A，直线 AF 交另一条渐近线于点 B，若 = 1 2 ，则双曲线的 方程为（ ） A 2 3 2= 1 B 2 2 2 6 = 1 C 2 6 2 2 = 1 D2 2 3 = 1 【解答】解：由题意，y= x 与 x 2+y2c2 联立，可得 A（a，b） ， AF 的斜率为 :， = 1 2 ， B 为线段

24、 FA 的中点， OBAF， : （ ）1，即 b 2a2+2a， 结合 b2c2a24a2， 解得 a1，b= 3， 则双曲线的方程为 x2 2 3 =1， 故选：D 第 12 页（共 19 页） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，且满足 f（x）f（x+2） ，当 x0，2时，f（x） ex，则 f（7） e 【解答】解：因为 f（x）f（x+2） ，周期 T2， 当 x0，2时，f（x）ex， f（7）f（1）e 故答案为：e 14 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有“米谷粒

25、分”题：粮仓开仓收粮，有人送 来米 1536 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒，则这批米内夹 谷约为 108 石 【解答】解：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，验得米内夹谷， 抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒， 设这批米内夹谷约为 x 石， 则 1536 = 18 256，解得 x108（石） 这批米内夹谷约为 108 石 故答案为：108 石 15 （5 分）2019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文 明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年 文明史考古科学家在测定遗址年

26、龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一 规律 已知样本中碳 14 的质量 N 随时间 t （单位： 年） 的衰变规律满足 = 0 2; 5730（N0 表示碳 14 原有的质量） ，则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的 1 2 ；经过测定， 良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的1 2至 3 5， 据此推测良渚古城存在的时期距今 第 13 页（共 19 页） 约在 4011 年到 5730 年之间 （参考数据：log231.6，log252.3） 【解答】 解： 生物体内碳14的量N与死亡年数t之间的函数关系式为： = 0 2; 5730； t5730 时，N=

27、0 2;1= 0 2 ； 所以每经过 5730 年衰减为原来的1 2； 由于良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的1 2至 3 5， 1 2 2 5730 3 5； 两边同时取以 2 为底的对数，得： 1 5730 （log23log25）0.7 4011t5730； 故推测良渚古城存在的时期距今约在 4011 年到 5730 年之间 故答案为：1 2，4011 16 （5 分）已知 f（x）x（e+lnx） ，g（x）= 1 3x 3+3 2x+m，对于x 1 2，+）时都有 f（x） g（x）恒成立，则 m 的取值范围为 m 2 3e 【解答】解：由题意，要使对于x1 2，+）时都

28、有 f（x）g（x）恒成立， 只需 1 3 3 + ( 3 2) + ， 1 2时恒成立， 令() = 1 3 3+ ( 3 2) + ， 1 2， 则() = 2+ + 1 2，易知() = 0， 而() = 2 + 1 = 122 ，当 ,1 2 ， 2 2 )时，h（x）0，h（x）递增；当 ( 2 2 ，+ -时，h（x）0，h（x）递减 结合(1 2) = 2 3 4 0，( 2 2 ) = 1 1 220， ,1 2，)时，h（x）0，h（x）递增； (， + -时，h（x）递减 故()= () = 2 3 所以要使原式恒成立，只需 m 2 3 第 14 页（共 19 页） 故答案

29、为：m 2 3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）数列an的前 n 项和 Sn，满足 Sn= 3 2an 1 2a1，且 a13 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn= 231 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）由 Sn= 3 2an 1 2a1，可得 Sn+1= 3 2 :1 1 2 1， 由可得 an+1= 3 2 :1 3 2an，即 an+13an 又 a13，所以数列an是首项、公比均为 3 的等比数列， an3n； （2）由（1）知 an3n，bn= 231 ，bn= 21

30、3 ， Tn= 1 3 +3（1 3） 2+5（1 3） 3+21 3 ， 1 3Tn（ 1 3） 2+3（1 3） 3+（2n3） （1 3） n+21 3+1 ， 由可得2 3Tn= 1 3 +2（1 3） 2+（1 3） 3+（1 3） n21 3+1 = 1 3 +2 (1 3) 2,1(1 3) 1- 11 3 21 3+1 = 2 3 2+2 3+1 ， Tn1 1+ 3 18 （12 分）随着移动支付的普及，中国人的生活方式正在悄然发生改变，带智能手机而不 带钱包出门，渐渐成为中国人的新习惯，在调查“现金支付，银联卡支付，手机支付” 三种支付方式中“最常用的支付方式”这个问题时，

31、在中国某地，从 20 岁到 40 岁人群 中随机抽取 55 人，从 40 岁到 60 岁人群随机抽取 45 人，进行答题20 岁到 40 岁人群的 支付情况是：选择现金支付的占 1 11、银联卡支付的占 1 11、手机支付的占 9 11，40 岁到 60 岁人群的支付情况是：现金支付的占2 9、银联卡支付的占 1 9、手机支付的占 2 3 （1）请根据以上调查结果将下面 22 列联表补充完整，并判断至多有多少把握认为支 付方式与年龄有关； 手机支付 其他支付方式 合计 第 15 页（共 19 页） 20 岁到 40 岁 40 岁到 60 岁 合计 （2）商家为了鼓励使用手机支付，规定手机支付打

32、 9 折，其他支付方式不打折现有一 物品售价 100 元，以样本中支付方式的频率估计一件产品支付方式的概率，假设购买每 件物品的支付方式相互独立求 4 件此种物品销售额的数学期望 附：k2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d P （K2k0） 0.40 0.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.01 k0 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【解答】解： （1）列出二联表如下： 手机支付 其他支付方式 合计 20 岁到 40 岁 45 10 55 40 岁到 60 岁 30 15 45 合计 75 25 1

33、00 k2= 100(45153010)2 55457525 = 100 33 3.0302.706， 至多有 90%的把握认为支付方式与年龄有关 （2）在所抽取的样本中，手机支付的频率为 75 100 = 3 4， 故一件产品使用手机支付的概率为3 4， 设 4 件产品中使用手机支付的件数为 X，销售额为 Y，则 Y90X+100（4X）400 10X， 显然 XB（4，3 4） ，故 E（X）4 3 4 =3， E（Y）40010E（X）370 元 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABCBAD90，PAB，PAD，都是边 长为 2 的等边三角形 （）证明：平面 PDB平面

34、ABCD； （）求点 C 到平面 PAD 的距离 第 16 页（共 19 页） 【解答】 （I）证明：过 P 作 PO平面 ABCD，垂足为 O， 由PAB 和PAD 都是等边三角形知 PAPBPD OAOBOD，即 O 为直角三角形 ABD 的外心 O 是 BD 的中点， PO平面 PDB， PO平面 ABCD， 平面 PDB平面 ABCD； （）解：由（I）可知 DO= 2，PO= 4 2 = 2， 设点 C 到平面 PAD 的距离为 h，则1 3 3 4 22 = 1 3 1 2 2 2 2， h= 26 3 ， 点 C 到平面 PAD 的距离为26 3 20 （12 分）已知椭圆： 2

35、 2 + 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A，AF1F2的面积为 1，且椭圆 C 的离心率为 2 2 （）求椭圆 C 的标准方程； （） 点 M 在椭圆上且位于第二象限， 过点 F1作直线 l1MF1， 过点 F2作直线 l2MF2， 若直线 l1，l2的交点 N 恰好也在椭圆 C 上，求点 M 的坐标 【解答】解： （）由题意知：1 22cb1， = 2 2 ，b2a2c2，解得：a22，b21， 所以椭圆的方程为： 2 2 + 2= 1； （） ，由（）知，F1（1，0） ，F2（1，0） ，设 M（x0，y0） ，则 x00，y00， 第 17 页（共

36、19 页） 当 x01 时，l1，l2相交于 F2，不符合题意， 当 x01，直线 MF1的斜率为 0 0:1，直线 MF2 的斜率为 0 0;1， 因为 l1MF1，l2MF2， 所以直线 l1的斜率为 0+1 0 ，直线 l2的斜率为 01 0 ， 所以直线 l1的方程为：y= 0+1 0 （x+1） ，直线 l2的方程为：y= 01 0 （x1） ， 联立 l1和 l2的方程，解得：xx0，y= 021 0 ， 所以 N（x0，0 2;1 0 ） ， 因为 M，N 在椭圆上，由题意的对称性可知，0 2;1 0 =y0， 所以 x02y021，或 x02+02=1， 由 02 02= 1

37、02 2 + 02= 1，解得：x 0= 23 3 ，y0= 3 3 ， 而 02+ 02= 1 02 2 + 02= 1无解， 综上所述，点 M 的坐标（ 23 3 ， 3 3 ） 21 （12 分）已知函数 f（x）cosx+xsinx+exax （1）若函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线与 x 轴平行，求实数 a 的值及函数 f（x） 在区间 2， 2上的单调区间； （2）在（1）的条件下，若 x1x2，f（x1）f（x2） ，求证：(1+2 2 )0 （f（x）为 f（x）的导函数） 【解答】解： （1）f（x）xcosx+exa，kf（0）e0a0，a1 f（x）xcosx

38、+ex1，当 , 2 ，0)，()0，()递减； 当 (0， 2-时，()0，()递增 所以函数 f（x）的递增区间为,0， 2-，递减区间为, 2 ，0- （2）由（1）可知，x1，x2异号，不妨设 2 102 2 则 4 1+2 2 4，因为 f（x）在 2 ，0上递减， 第 18 页（共 19 页） 故要证(1+2 2 )0，只需证1:2 2 , 2 ，0-，即证 x1x2 因为1， 2 , 2 ，0-，所以只需证 f（x1）f（x2） ，又 x1x2，f（x1）f（x2） ， 只需证 f（x2）f（x2） ，即 f（x2）f（x2）0 不妨令 h（x）f（x）f（x） ，x ,0， 2

39、- h（x）f（x）+f（x）xcosx+ex1xcos（x）+e x1 = + ; 22 ; 2 = 0 所以 h（x）在,0， 2-递增，h（x）h（0）0 所以(1+2 2 )0 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cosm，曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2 （1）求曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的参数方程； （2） 设曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A， 曲线 C1与 x

40、 轴的交点为 H， 点 M （1， 0） ，求AMH 的周长 l 的最大值 【解答】解： （1）曲线 C1的极坐标方程为 cosm，转换为直角坐标方程为：xm 曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2转换为直角坐标方程为 3x 2+4y212，整理得 2 4 + 2 3 = 1， 转换为参数方程为 = 2 = 3 （ 为参数） （2） 曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A（2cos， 3） ，M（1，0） ， H（2cos， 0） 所以 所 以 lABC |AM|+|MH|+|AH| = 3 + 1 2 +(2 1)2+ (3)2= 3 + 1 2 + 2 =23( 3) + 3，

41、 当( 3) = 1时，AMH 的周长 l 的最大值为 23 + 3 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x2|+|2x+4| 第 19 页（共 19 页） （）解不等式：f（x）3x+4； （）若函数 f（x）的最小值为 a，且 m+na（m0，n0） ，求 1 + 1 的最小值 【解答】解： （）f（x）|x2|+|2x+4|= 3 2， 2 + 6， 2 2 3 + 2，2 可得当 x2 时，3x23x+4，即24，所以无解； 当2x2 时，x+63x+4，得 1 2，可得 1 2 2； 当 x2 时，3x+23x+4，得 1 3，可得 x2 不等式的解集为*| 1