1、 第 1 页(共 20 页) 2020 年高考数学(文科)全国年高考数学(文科)全国 2 卷高考模拟试卷(卷高考模拟试卷(9) 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)设全集 U 是实数集 R,Mx|x24,Nx|1x3,则图中阴影部分所表示 的集合是( ) Ax|2x1 Bx|2x2 Cx|2x3 Dx|1x2 2 (5 分)设 i 为虚数单位,复数 = 2+3 ,则 z 的共轭复数是( ) A32i B3+2i C32i D3+2i 3 (5 分)已知向量 = (1,2), = (1,1), = (,2),且( 2 )
2、,则实数 m ( ) A1 B0 C1 D任意实数 4 (5 分)在等差数列an中,若 a34,S824,则 a6( ) A2 B3 C4 D5 5 (5 分)sin3,cos(sin2) ,tan(cos3)的大小关系是( ) Acos(sin2)sin3tan(cos3) Bcos(sin2)tan(cos3)sin3 Csin3cos(sin2)tan(cos3) Dtan(cos3)sin3cos(sin2) 6 (5 分) 若 Ax|xb, bR) , Bx|1x2, 则 BA 的一个充分不必要条件是 ( ) Ab2 B1b2 Cb1 Db2 7 (5 分)已知 a,b 是两条直线,
3、 是三个平面,则下列命题正确的是( ) A若 a,b,ab,则 B若 ,a,则 a C若 ,a,则 a D若 ,a,则 a 8 (5 分)直线 l:ykx1 与曲线 C: (x2+y24x+3)y0 有且仅有 2 个不同的交点,则 第 2 页(共 20 页) 实数 k 的取值范围是( ) A(0, 4 3) B(0, 4 3 C*1 3 ,1, 4 3+ D*1 3 ,1+ 9 (5 分)甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏(石头赢剪刀,剪刀赢布,布赢石头) , 需要淘汰两人,一人胜出现三人同时随机出拳,则游戏只进行一回合就结束的概率是 ( ) A 1 27 B1 9 C1 3 D2 3 1
4、0 (5 分)过双曲线 2 2 2 2 =1(a0,b0)的右焦点 F 作直线 y= x 的垂线,垂足 为 A,交双曲线左支于 B 点,若 =2 ,则该双曲线的离心率为( ) A3 B2 C5 D7 11 (5 分)已知三棱锥 DABC 的四个顶点在球 O 的球面上,若 ABACBCDBDC 1,当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时,球 O 的表面积为( ) A5 3 B2 C5 D20 3 12 (5 分)已知函数 f(x)= 4( + 1) + 1(0) (1 4) +1 + 3( 0) ,若 f(x)的两个零点分别为 x1, x2,则|x1x2|( ) A2 B1+ 2 2 C2 D3
5、 2 +ln2 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)已知 O 是坐标原点,点 A(1,1) 若点 M(x,y)为平面区域 + 2 1 2 上 的一个动点,则 的取值范围是 14(5分) 设数列an是公差不为0的等差数列, Sn为数列an前n项和, 若a12+a22a32+a42, S55,则 an的值为 15 (5 分)在 log30.6,log25,30.4这 3 个数中,最大的是 16 (5 分)已知定义在(0,)的函数 f(x)满足 f(x)sinxf(x)cosx0 恒成立(其 中 f(x)是函数 f(x)的导函
6、数) ,则不等式 f(x)2f( 6)sinx0 的解集为 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 12 分)分) 17(12 分) 在ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知3 = 3 + 第 3 页(共 20 页) (1)求角 B 的值; (2)若 b2,且ABC 的面积为3,求ABC 的周长 18 (12 分) 如图所示的几何体中, ABCA1B1C1为三棱柱, 且 AA1平面 ABC, AA1AC, 四边形 ABCD 为平行四边形,AD2CD,ADC60 (1)求证:AB平面 ACC1A1; (2)若 CD2,求四
7、棱锥 C1A1B1CD 的体积 19 (12 分)为了进一步推动全市学习型党组织、学习型社会建设,某市组织开展“学习强 国”知识测试,每人测试文化、经济两个项目,每个项目满分均为 60 分从全体测试人 员中随机抽取了 100 人,分别统计他们文化、经济两个项目的测试成绩,得到文化项目 测试成绩的频数分布表和经济项目测试成绩的频率分布直方图如下: 经济项目测试成绩频率分布直方图 分数区间 频数 0,10) 2 10,20) 3 20,30) 5 30,40) 15 40,50) 40 50,60 35 文化项目测试成绩频数分布表 将测试人员的成绩划分为三个等级如下: 分数在区间0, 30) 内为
8、一般, 分数在区间30, 50)内为良好,分数在区间50,60内为优秀 (1)在抽取的 100 人中,经济项目等级为优秀的测试人员中女生有 14 人,经济项目等 级为一般或良好的测试人员中女生有 34 人填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 第 4 页(共 20 页) 95%以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关? 优秀 一般或良好 合计 男生数 女生数 合计 (2)用这 100 人的样本估计总体 (i)求该市文化项目测试成绩中位数的估计值 (ii)对该市文化项目、经济项目的学习成绩进行评价 附: P(K2k) 0.150 0.050 0.010 k 2.072 3.841 6.63
9、5 2= ()2 (+)(+)(+)(+) 20 (12 分)已知椭圆 C: 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率 = 2 2 ,且过点( 2 2 , 3 2 ) (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,过椭圆 C 的右焦点 F 作两条相互垂直的直线 AB,DE 交椭圆分别于 A,B, D,E,且满足 = 1 2 , = 1 2 ,求MNF 面积的最大值 第 5 页(共 20 页) 21 (12 分)已知椭圆: 2 2 + 2 3 = 1(10)的右焦点 F 在圆 D: (x2)2+y21 上,直 线 l:xmy+3(m0)交椭圆于 M、N 两点 ()求椭圆 C 的方程; ()若 (O 为
10、坐标原点) ,求 m 的值; ()若点 P 的坐标是(4,0) ,试问PMN 的面积是否存在最大值?若存在,求出这 个最大值;若不存在,请说明理由 四解答题(共四解答题(共 2 小题,满分小题,满分 10 分)分) 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 = 1 + = ( 为参数) 以坐 标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 1,直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) (1)求:曲线 C1的普通方程; 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标; (2)设点 M 的极坐标为(6, 3),点 N 是曲线 C1 上的点,求MON 面
11、积的最大值 23已知 f(x)|2x1|+|x+2| (1)求不等式 f(x)5 的解集; (2)若 x1,+)时,f(x)kx+k,求 k 的取值范围 第 6 页(共 20 页) 2020 年高考数学(文科)全国年高考数学(文科)全国 2 卷高考模拟试卷(卷高考模拟试卷(9) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)设全集 U 是实数集 R,Mx|x24,Nx|1x3,则图中阴影部分所表示 的集合是( ) Ax|2x1 Bx|2x2 Cx|2x3 Dx|1x2 【解答】解:由韦恩图可知
12、,图中阴影部分所表示的集合是 NUM, 全集 U 是实数集 R,Mx|x24x|2x2,UMx|x2 或 x2, NUMx|2x3, 故选:C 2 (5 分)设 i 为虚数单位,复数 = 2+3 ,则 z 的共轭复数是( ) A32i B3+2i C32i D3+2i 【解答】解: = 2+3 = (2+3)() 2 = 3 2, = 3 + 2 故选:B 3 (5 分)已知向量 = (1,2), = (1,1), = (,2),且( 2 ) ,则实数 m ( ) A1 B0 C1 D任意实数 【解答】解:向量 = (1,2), = (1,1), = (,2),且( 2 ) , ( 2 ) =
13、(3,0) (m,2)3m+00, 则实数 m0, 故选:B 4 (5 分)在等差数列an中,若 a34,S824,则 a6( ) A2 B3 C4 D5 第 7 页(共 20 页) 【解答】解:设等差数列an的首项为 a1,公差为 d, 由 a34,S824,得 1+ 2 = 4 81+ 87 2 = 24,解得 1= 16 3 = 2 3 6= 1+ 5 = 16 3 10 3 = 2 故选:A 5 (5 分)sin3,cos(sin2) ,tan(cos3)的大小关系是( ) Acos(sin2)sin3tan(cos3) Bcos(sin2)tan(cos3)sin3 Csin3cos
14、(sin2)tan(cos3) Dtan(cos3)sin3cos(sin2) 【解答】解:因为 2 3; 1cos30tan(cos3)0; 2 20sin21cos(sin2)cos1cos 3 = 1 2; 5 6 30sin3 1 2; 即:cos(sin2)sin3tan(cos3) ; 故选:A 6 (5 分) 若 Ax|xb, bR) , Bx|1x2, 则 BA 的一个充分不必要条件是 ( ) Ab2 B1b2 Cb1 Db2 【解答】解:Ax|xb,bR) ,Bx|1x2,BA, b1; 设 Pb|b1,BA 的一个充分不必要条件是 Q,则 QP; 只有 D 符合条件,b|b
15、2b|b1, 故选:D 7 (5 分)已知 a,b 是两条直线, 是三个平面,则下列命题正确的是( ) A若 a,b,ab,则 B若 ,a,则 a C若 ,a,则 a D若 ,a,则 a 第 8 页(共 20 页) 【解答】解:A若 a,b,ab,则 ,不正确,可能相交; B若 ,a,则 a 或 a,因此不正确; C若 ,a,则 a,正确; 证明:设 b,c,取 P,过点 P 分别作 mb,nc, 则 m,n,ma,na,又 mnP,a D若 ,a,则 a 或 a 故选:C 8 (5 分)直线 l:ykx1 与曲线 C: (x2+y24x+3)y0 有且仅有 2 个不同的交点,则 实数 k 的
16、取值范围是( ) A(0, 4 3) B(0, 4 3 C*1 3 ,1, 4 3+ D*1 3 ,1+ 【解答】解:如图所示,直线 ykx1 过定点 A(0,1) , 直线 y0 和圆(x2)2+y21 相交于 B,C 两点, 圆(x2)2+y21 的圆心 O(2,0) ,半径 r1, kAB= 0(1) 30 = 1 3,kAC= 0(1) 10 =1, 过 A(0,1)作圆 O 的切线 AE、AD,切点分别为 E,D,连结 AO, 由题意 E(2,1) ,设OAE,则DAE2, kAOtan= 0+1 20 = 1 2, kADtan2= 2 12 = 21 2 11 4 = 4 3,
17、直线 l:ykx1 与曲线 C:x2+y24x+30 有且仅有 2 个公共点, 结合图形得 k= 1 3,或 k1,或 k= 4 3, 实数 k 的取值范围是1 3 ,1, 4 3 故选:C 第 9 页(共 20 页) 9 (5 分)甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏(石头赢剪刀,剪刀赢布,布赢石头) , 需要淘汰两人,一人胜出现三人同时随机出拳,则游戏只进行一回合就结束的概率是 ( ) A 1 27 B1 9 C1 3 D2 3 【解答】解:三人同时随机出拳的所有出法有 33327 种, 游戏只进行一回合就结束的的可能的甲乙丙的可能情况是3 人中一人出石头,其他两 人出剪刀,有 3 种结
18、果; 3 人中一人出剪刀,其他两人出布,有 3 种结果;3 人中一人出布,其他两人剪刀, 有 3 种结果, 故满足条件的可能结果一共 9 种情况, 由古典概率的计算公式可得 P= 9 27 = 1 3 故选:C 10 (5 分)过双曲线 2 2 2 2 =1(a0,b0)的右焦点 F 作直线 y= x 的垂线,垂足 为 A,交双曲线左支于 B 点,若 =2 ,则该双曲线的离心率为( ) A3 B2 C5 D7 【解答】 解: 设F (c, 0) , 则直线AB的方程为 y= (xc) 代入双曲线渐近线方程 y= x 得 A( 2 , ) , 由 =2 ,可得 B( 2+22 3 , 2 3 )
19、 , 把 B 点坐标代入双曲线方程 2 2 2 2 =1, 即( 2+22)2 922 42 92 =1,整理可得 c= 5a, 即离心率 e= = 5 故选:C 第 10 页(共 20 页) 11 (5 分)已知三棱锥 DABC 的四个顶点在球 O 的球面上,若 ABACBCDBDC 1,当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时,球 O 的表面积为( ) A5 3 B2 C5 D20 3 【解答】解:如图,当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时,则平面 ABC平面 DBC, 取 BC 的中点 G,连接 AG,DG,则 AGBC,DGBC 分别取ABC 与DBC 的外心 E,F,分别过 E,F
20、作平面 ABC 与平面 DBC 的 垂线,相交于 O,则 O 为四面体 ABCD 的球心, 由 ABACBCDBDC1,得正方形 OEGF 的边长为 3 6 ,则 OG= 6 6 四面体 ABCD 的外接球的半径 R= 2+ 2=( 6 6 )2+ (1 2) 2 = 5 12 球 O 的表面积为= 4 ( 5 12) 2 = 5 3 , 故选:A 12 (5 分)已知函数 f(x)= 4( + 1) + 1(0) (1 4) +1 + 3( 0) ,若 f(x)的两个零点分别为 x1, x2,则|x1x2|( ) A2 B1+ 2 2 C2 D3 2 +ln2 【解答】解:当 x0 时,f(
21、x)log4(x+1)+x1, 由 f(x)0,可得 x1= 4( + 1) = 1 4 ( + 1); 当 x0 时,f(x)x(1 4) +1 +3, 由 f(x)0,可得(1 4) +1 = + 3 第 11 页(共 20 页) 作出函数图象如图: 函数 y= 1 4 与 y= (1 4) 互为反函数,则其图象关于直线 yx 对称, 而 = 1 4 ( + 1)与 = (1 4) +1分别是把 y= 1 4 与 y= (1 4) 向左平移 1 个单位得到的, 两函数图象关于直线 yx+1 对称, 又直线 yx1 与 yx+3 也关于直线 yx+1 对称, 不妨设 yx+3 (x0) 与
22、y= (1 4) +1的交点的横坐标为 x1, yx1 (x0) 与 y= 1 4 ( + 1) 的交点的横坐标为 x2, 则|x1x2|= | 2 = 4 2 = 2 故选:C 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)已知 O 是坐标原点,点 A(1,1) 若点 M(x,y)为平面区域 + 2 1 2 上 的一个动点,则 的取值范围是 0,2 【解答】解:满足约束条件 + 2 1 2 的平面区域如下图所示: 将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当 x1,y1 时, = 11+110 当 x1,y2 时, =
23、 11+121 第 12 页(共 20 页) 当 x0,y2 时, = 10+122 故 和取值范围为0,2 故答案为:0,2 14(5分) 设数列an是公差不为0的等差数列, Sn为数列an前n项和, 若a12+a22a32+a42, S55,则 an的值为 2n5 【解答】解:数列an是公差不为 0 的等差数列,Sn为数列an前 n 项和, a12+a22a32+a42,S55, 12+ (1+ )2= (1+ 2)2+ (1+ 3)2 51+ 54 2 = 5 , 解得 a13,d2, an3+(n1)22n5 故答案为:2n5 15 (5 分)在 log30.6,log25,30.4这
24、 3 个数中,最大的是 log25 【解答】解:log30.6log310,log30.60, log25log242,log252, 3030.430.5= 3,130.43, 在 log30.6,log25,30.4这 3 个数中,最大的是 log25, 故答案为:log25 16 (5 分)已知定义在(0,)的函数 f(x)满足 f(x)sinxf(x)cosx0 恒成立(其 中 f(x)是函数 f(x)的导函数) ,则不等式 f(x)2f( 6)sinx0 的解集为 ( 6, ) 第 13 页(共 20 页) 【解答】解:令 g(x)= () , 则 g(x)= ()() 2 , 当
25、x(0,)时,f(x)sinxf(x)cosx0, g(x)0, 即 g(x)在(0,)上递增, 不等式 f(x)2f( 6)sinx0 等价于 () ( 6) 1 2 = ( 6) 6 , g(x)g( 6) , 6 x, 故不等式的解集为( 6,) , 故答案为: ( 6,) 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 12 分)分) 17(12 分) 在ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知3 = 3 + (1)求角 B 的值; (2)若 b2,且ABC 的面积为3,求ABC 的周长 【解答】解: (1)由正弦定理及已
26、知,化边为角得3 = 3 + A+B+C,sinAsin(B+C) ,代入得3 + 3 = 3 + , 3 = 0C, 0, = 3, 又0B, = 3 (2)= 1 2 = 3 4 = 3,ac4 由余弦定理,得 b2a2+c22accosB(a+c)23ac, (a+c)2b2+3ac16,a+c4, ABC 的周长为 6 18 (12 分) 如图所示的几何体中, ABCA1B1C1为三棱柱, 且 AA1平面 ABC, AA1AC, 四边形 ABCD 为平行四边形,AD2CD,ADC60 第 14 页(共 20 页) (1)求证:AB平面 ACC1A1; (2)若 CD2,求四棱锥 C1A
27、1B1CD 的体积 【解答】解: (1)证明:四边形 ABCD 为平行四边形,AD2CD,ADC60 ACDBAC90,ABAC, 几何体中,ABCA1B1C1为三棱柱,且 AA1平面 ABC, ABAA1, ACAA1A,AB平面 ACC1A1 (2)解:连结 A1C,AB平面 ACC1A1,CDAB, CD平面 CC1A1, 四棱锥 C1A1B1CD 的体积: V= 11+ 111 = 1 3 11+ 1 3 1 111 = 1 3 2 1 2 23 23 + 1 3 23 1 2 2 23 8 19 (12 分)为了进一步推动全市学习型党组织、学习型社会建设,某市组织开展“学习强 国”知
28、识测试,每人测试文化、经济两个项目,每个项目满分均为 60 分从全体测试人 员中随机抽取了 100 人,分别统计他们文化、经济两个项目的测试成绩,得到文化项目 测试成绩的频数分布表和经济项目测试成绩的频率分布直方图如下: 第 15 页(共 20 页) 经济项目测试成绩频率分布直方图 分数区间 频数 0,10) 2 10,20) 3 20,30) 5 30,40) 15 40,50) 40 50,60 35 文化项目测试成绩频数分布表 将测试人员的成绩划分为三个等级如下: 分数在区间0, 30) 内为一般, 分数在区间30, 50)内为良好,分数在区间50,60内为优秀 (1)在抽取的 100
29、人中,经济项目等级为优秀的测试人员中女生有 14 人,经济项目等 级为一般或良好的测试人员中女生有 34 人填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 95%以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关? 优秀 一般或良好 合计 男生数 女生数 合计 (2)用这 100 人的样本估计总体 (i)求该市文化项目测试成绩中位数的估计值 (ii)对该市文化项目、经济项目的学习成绩进行评价 附: P(K2k) 0.150 0.050 0.010 k 2.072 3.841 6.635 2= ()2 (+)(+)(+)(+) 第 16 页(共 20 页) 【解答】解: (1)由频率分布直方图,得经济项目等
30、级为优秀人数为 0.410040 其中女生数为 14 人,男生数为 26 人; 经济项目等级为一般或良好的 60 名测试人员中,女生数为 34 人,男生数为 26 人作出 22 列联表如下; 优秀 一般或良好 合计 男生数 26 26 52 女生数 14 34 48 合计 40 60 100 计算2= 100(26342614)2 40604852 4.514, 由于 4.5143.841, 所以有 95%以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关; (2) (i)由频数分布表知,文化项目测试成绩低于 4(0 分)的频率为 0.250.5, 测试成绩低于 5(0 分)的频率为 0.650.
31、5; 所以该市文化项目测试成绩中位数的估计值为 40 + 0.50.25 0.4 10 = 46.25; (ii)由频率分布直方图知,经济项目测试成绩低于 40 分的频率为 0.40.5, 测试成绩低于 50 分的频率为 0.60.5, 所以该市文化项目测试成绩中位数的估计值为 40 + 0.50.4 0.2 10 = 45; 因为 46.2545,所以该市文化项目学习成绩的更好 文化项目测试成绩良好率估计值为 0.9,经济项目测试成绩良好率估计值为 0.8,0.9 0.8, 第 17 页(共 20 页) 所以该市文化项目学习成绩的更好 文化项目测试成绩平均数的估计值为 1 100 (2 5
32、+ 3 15 + 5 25 + 15 35 + 40 45 + 35 55) =44.3; 经济项目测试成绩平均数的估计值为 50.03+150.05+250.12+350.2+450.2+550.441.9; 因为 44.341.9,所以该市文化项目学习成绩的更好 文化项目测试成绩优秀率估计值为 0.35, 经济项目测试成绩优秀率估计值为 0.4,0.350.4, 所以该市对经济项目学习研究的更深入 该市文化项目测试成绩众数的估计值为 45 分, 经济项目测试成绩众数的估计值为 55 分 因为 4555,所以该市对经济项目学习研究的更深入 20 (12 分)已知椭圆 C: 2 2 + 2 2
33、 = 1(0)的离心率 = 2 2 ,且过点( 2 2 , 3 2 ) (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,过椭圆 C 的右焦点 F 作两条相互垂直的直线 AB,DE 交椭圆分别于 A,B, D,E,且满足 = 1 2 , = 1 2 ,求MNF 面积的最大值 【解答】 解:(1) 根据条件有 2= 22 1 22 + 3 42 = 1, 解得 a 22, b21, 所以椭圆:2 2 + 2= 1 (2)根据 = 1 2 , = 1 2 可知,M,N 分别为 AB,DE 的中点,且直线 AB,DE 斜率均存在且不为 0, 现设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为
34、 xmy+1, 不妨设 m0,联立椭圆 C 有(m2+2)y2+2my10, 根 据 韦 达 定 理 得 : 1+ 2= 2 2+2 , 1+ 2= (1+ 2) + 2 = 4 2+2 , 第 18 页(共 20 页) ( 2 2+2 , 2+2),| = 2+1 2+2 , 同理可得| = |1 |( 1 ) 2+1 (1 ) 2+2 , 所以MNF 面积= 1 2| = +1 4(+1 ) 2+2, 现令 = + 1 2, 那么= 42+2 = 1 4+2 1 9, 所以当 t2,m1 时,MNF 的面积取得最大值1 9 21 (12 分)已知椭圆: 2 2 + 2 3 = 1(10)的
35、右焦点 F 在圆 D: (x2)2+y21 上,直 线 l:xmy+3(m0)交椭圆于 M、N 两点 ()求椭圆 C 的方程; ()若 (O 为坐标原点) ,求 m 的值; ()若点 P 的坐标是(4,0) ,试问PMN 的面积是否存在最大值?若存在,求出这 个最大值;若不存在,请说明理由 【解答】解: (I)由圆 D: (x2)2+y21 上可得:圆心(2,0) ,半径 r1 令 y0 得(x2)21,解得 x3 或 1 椭圆的半焦距 c3 或 1,但是当 c1 时, = 3 + 110,故舍去 c3,a2b2+c23+3212 故椭圆的方程为 2 12 + 2 3 = 1 (II)设 M(
36、x1,y1) ,N(x2,y2) 联立 = + 3 2+ 42= 12化为(m 2+4)y2+6my30, 第 19 页(共 20 页) 1+ 2= 6 2+4,12 = 3 2+4 12= 212+ 3(1+ 2) + 9 = 32 2+4 + 182 2+4 + 9 = 36122 2+4 , =0 x1x2+y1y20,3612 23 2+4 = 0, 2= 11 4 ,解得 = 11 2 为定值 (III)直线 l 过椭圆的右焦点 F(3,0) , SPMN= 1 2 | |1 2| |FP|431 利用(II)可得 SPMN= 1 2(1 + 2)2 412= 1 2 362 (2+
37、4)2 + 12(2+4) (2+4)2 = 23 2+1 (2+4)2 = 23 1 (2+1)+ 9 2+1+6 23 1 12 =1 当且仅当 m2+13,即 = 2时等号成立故PMN 的面积存在最大值 1 四解答题(共四解答题(共 2 小题,满分小题,满分 10 分)分) 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 = 1 + = ( 为参数) 以坐 标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 1,直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) (1)求:曲线 C1的普通方程; 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标; (2)设点 M
38、的极坐标为(6, 3),点 N 是曲线 C1 上的点,求MON 面积的最大值 【解答】解: (1)因为 = 1 + = ,又 sin2+cos21,所以(x1)2+y21, 即曲线 C1的的普通方程为(x1)2+y21; 由 2x2+y2得曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y21,又直线 l 的直角坐标方程为 xy 0, 所以 2 + 2= 1 = 0 1= 2 2 1= 2 2 或 2= 2 2 2= 2 2 , 第 20 页(共 20 页) 所以曲线 C2与直线 l 的交点的直角坐标为( 2 2 , 2 2 )和( 2 2 , 2 2 ) (2) 设 N (, ) , 又由曲线 C1的普通
39、方程为 (x1) 2+y21 得其极坐标方程 2cos MON的 面 积 = 1 2| | = 1 2 |6( 3 )| = |6( 3 )| = |3( 3 2) + 33 2 | = |3(2 + 6) + 33 2 | 所以当 = 23 12 或 = 11 12 时,()= 3 + 33 2 23已知 f(x)|2x1|+|x+2| (1)求不等式 f(x)5 的解集; (2)若 x1,+)时,f(x)kx+k,求 k 的取值范围 【解答】解: (1)由 f(x)|2x1|+|x+2|, 不等式 f(x)5 等价于|2x1|+|x+2|5, 可化为 2 2 + 1 2 5, 或2 1 2 2 + 1 + + 2 5 , 或 1 2 2 1 + + 2 5 ; 解得2x 4 3, 所以不等式 f(x)5 的解集是x|2x 4 3; (2)当 x1 时,f(1)40 成立,kR; 当1x 1 2时,f(x)x+3,所以x+3k(x+1) , 即 k 3
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