2020年高考数学（理科）全国1卷高考模拟试卷（15）.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（15） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Mx|x2n1，nZ，Nx|x4n1，nZ，则（ ） AMN BNM CMN DNM 2 （5 分）复数 z 满足（2i）z|3+4i|（i 为虚数单位） ，则 =（ ） A2+i B2i C2i D2+i 3（5 分） 设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面， 则下列命题正确的是 （ ） A “m，m”是“”的充分不必要条件 Bmn

2、 时， “m”是“n”的必要不充分条件 Cn 时， “m”是“mn”的既不充分也不必要条件 Dm，n 时， “mn”是“”的充要条件 4 （5 分）在区间1，1上随机取一个数 k，则直线 yk（x2）与圆 x2+y21 有两个不 同公共点的概率为（ ） A2 9 B 3 6 C1 3 D 3 3 5 （5 分）已知数列an满足 an+12an0，且 a1+a3+a521，那么 a3+a5+a7（ ） A21 2 B33 C42 D84 6 （5 分）函数 yxln|x|的大致图象是（ ） A B C D 7 （5 分）已知圆 C：x2+y2+2x8y+m0 与抛物线上 E：y28x 的准线 l

3、 相切，抛物线 E 上的点 P 到准线 l 的距离为 d，Q 为圆 C 上任意一点，则|PQ|+d 的最小值等于（ ） A3 B2 C4 D5 第 2 页（共 17 页） 8 （5 分）已知函数：f（x）x24x：f（x）（1 5） x：f（x）log 1 2 x；f（x） x3，其中在区间（0，+）上是增函数的为（ ） A B C D 9 （5 分）设 f（x）是定义在（，0）（0，+）上的偶函数：当 x0 时f（x）+xf （x）0，Bf（3）0则不等式 f（x）0 的解集是（ ） A （3，0）（3，+） B （3，0）（0，3） C （，3）（3，+） D （，3）（0，3） 10（5

4、 分） 已知圆 C： x2+y210y+210 与双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的渐近线相切， 则该双曲线的离心率是（ ） A2 B5 3 C5 2 D5 11 （5 分）将函数 ysin（x 12）图象上的点 P（ 4，t）向左平移 s（s0）个单位，得到 点 P，若 P位于函数 ysin2x 的图象上，则（ ） At= 1 2，s 的最小值为 12 Bt= 3 2 ，s 的最小值为 6 Ct= 1 2，s 的最小值为 6 Dt= 3 2 ，s 的最小值为 12 12 （5 分）在正四面体 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，则下列结论错误的是 （ ） A异面直线

5、 AB 与 CD 所成的角为 90 B直线 AB 与平面 BCD 垂直 C直线 EF平面 ACD D平面 AFD 垂直平面 BCD 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若（ 1 ） n 的二项展开式中各项的二项式系数之和是 64，则展开式中的常数 项为 （用数字作答） 14 （5 分）在ABC 中，已知 AB 边上的中线 CM1，且 1 ， 1 ， 1 成等差数 列，则 AB 的长为 15 （5 分）已知圆 C：x2+（y1）26，AB 为圆 C 上的两个动点，且 = 22，G 为弦 AB 的中点直线 l：xy20 上有

6、两个动点 PQ，且 PQ2当 AB 在圆 C 上运动时， 第 3 页（共 17 页） PGQ 恒为锐角，则线段 PQ 中点 M 的横坐标取值范围为 16 （5 分）底面边长为 a 的正四面体的体积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 = 2， = 5， = 2 （1）求 cosA； （2）求 c 的值 18 （12 分） 已知四棱锥 PABCD 的三视图如图所示， 其中主视图、 侧视图是直角三角形， 俯视图是有一条对角线的正方形E 是侧棱

7、PC 上的动点 （）求证：BDAE （）若 E 为 PC 的中点，求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； （）若五点 A，B，C，D，P 在同一球面上，求该球的体积 19 （12 分）已知点 P 到直线 x= 5 2的距离比点 P 到点 A（ 1 2，0）的距离多 2 （1）求点 P 的轨迹方程； （2）已知过点 Q（2，1）的直线与抛物线交于 M，N 两点，且点 Q 是线段 MN 的中点， 求OMN 的面积 20 （12 分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高 二年级准备成立一个环境保护兴趣小组该年级理科班有男生 400 人，女生 200 人；文 科

8、班有男生 100 人，女生 300 人现按男、女用分层抽样从理科生中抽取 6 人，按男、 女分层抽样从文科生中抽取 4 人，组成环境保护兴趣小组，再从这 10 人的兴趣小组中抽 出 4 人参加学校的环保知识竞赛 （1） 设事件 A 为 “选出的这 4 个人中要求有两个男生两个女生， 而且这两个男生必须文、 理科生都有” ，求事件 A 发生的概率； 第 4 页（共 17 页） （2）用 X 表示抽取的 4 人中文科女生的人数，求 X 的分布列和数学期望 21 （12 分）已知函数 f（x）axlnx；g（x）= （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）求证：若 ae（e 是自然常数） ，当 x

9、1，e时，f（x）eg（x）恒成立； （3）若 h（x）x21+g（x），当 a1 时，对于x11，e，x01，e，使 f（x1） h（x0） ，求 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 P（1，0） ，倾斜角为 6以坐标原点 O 为 极点， 以 x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 4cos （+ 3） （1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|PA|+|P

10、B|的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 f（x）|x+a|（aR） （1）若 f（x）|2x+3|的解集为3，1，求 a 的值； （2）若xR，不等式 f（x）+|xa|a22a 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（15） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Mx|x2n1，nZ，Nx|x4n1，nZ，则（ ） AMN BNM CMN D

11、NM 【解答】解：集合 Mx|x2n1，nZ， Nx|x4n1，nZ， NM 故选：D 2 （5 分）复数 z 满足（2i）z|3+4i|（i 为虚数单位） ，则 =（ ） A2+i B2i C2i D2+i 【解答】解：由（2i）z|3+4i|5，得 z= 5 2 = 5(2+) (2)(2+) = 2 + ， = 2 故选：C 3（5 分） 设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面， 则下列命题正确的是 （ ） A “m，m”是“”的充分不必要条件 Bmn 时， “m”是“n”的必要不充分条件 Cn 时， “m”是“mn”的既不充分也不必要条件 Dm，n 时， “mn”是“”

12、的充要条件 【解答】解：A “m，m”是“”的既不充分也不必要条件，因此不正确； Bmn 时， “m”是“n”的既不充分也不必要条件，因此不正确； Cn 时， “m”是“mn”的充分但不必要条件，因此不正确； Dm，n 时， “mn”是“”的充要条件，正确 故选：D 4 （5 分）在区间1，1上随机取一个数 k，则直线 yk（x2）与圆 x2+y21 有两个不 同公共点的概率为（ ） A2 9 B 3 6 C1 3 D 3 3 【解答】解：圆 x2+y21 的圆心为（0，0） ， 第 6 页（共 17 页） 圆心到直线 yk（x2）的距离为 |2| 2+1； 要使直线 yk（x2）与圆 x2+

13、y21 有两个不同公共点， 则 |2| 2+1 1， 解得 3 3 k 3 3 ； 在区间1，1上随机取一个数 k， 使直线 yk（x2）与圆 x2+y21 有公共点的概率为 P= 3 3 (3 3 ) 1(1) = 3 3 故选：D 5 （5 分）已知数列an满足 an+12an0，且 a1+a3+a521，那么 a3+a5+a7（ ） A21 2 B33 C42 D84 【解答】解：数列an满足 an+12an0，所以数列是等比数列，公比为 2， a1+a3+a521，那么 a3+a5+a7（a1+a3+a5）2221484 故选：D 6 （5 分）函数 yxln|x|的大致图象是（ ）

14、A B C D 【解答】解：令 f（x）xln|x|，易知 f（x）xln|x|xln|x|f（x） ，所以该函 数是奇函数，排除选项 B； 又 x0 时，f（x）xlnx，容易判断，当 x+时，xlnx+，排除 D 选项； 令 f（x）0，得 xlnx0，所以 x1，即 x0 时，函数图象与 x 轴只有一个交点，所以 C 选项满足题意 故选：C 第 7 页（共 17 页） 7 （5 分）已知圆 C：x2+y2+2x8y+m0 与抛物线上 E：y28x 的准线 l 相切，抛物线 E 上的点 P 到准线 l 的距离为 d，Q 为圆 C 上任意一点，则|PQ|+d 的最小值等于（ ） A3 B2

15、C4 D5 【解答】解：圆 C：x2+y2+2x8y+m0 配方，得（x+1）2+（y4）217m，圆心为 C（1，4） ，半径 r= 17 圆 C 与抛物线上 E：y28x 的准线 l 相切，17 =1，m16 如图所示，由题意，知抛物线 y28x 的焦点为 F（2，0） ，连接 PF，则 d|PF| d+|PQ|PF|+|PQ|，显然，|PF|+|PQ|FQ|（当且仅当 F，P，Q 三点共线时取等号） 而|FQ|为圆 C 上的动点 Q 到定点 F 的距离， 显然当 F，Q，C 三点共线时取得最小值， 最小值为|CF|r= (1 2)2+ (4 0)21514 故选：C 8 （5 分）已知函

16、数：f（x）x24x：f（x）（1 5） x：f（x）log 1 2 x；f（x） x3，其中在区间（0，+）上是增函数的为（ ） A B C D 【解答】解：根据题意，依次分析 4 个函数； 对于f（x）x24x，则（0，2）上为减函数， （2，+）上为增函数； 对于f（x）（1 5） x，为指数函数，在（0，+）上为减函数， 对于f（x）log 1 2 x，为对数函数，在（0，+）上为减函数， 第 8 页（共 17 页） 对于f（x）x3，为幂函数，在（0，+）上是增函数； 在区间（0，+）上是增函数的为； 故选：D 9 （5 分）设 f（x）是定义在（，0）（0，+）上的偶函数：当 x0

17、 时f（x）+xf （x）0，Bf（3）0则不等式 f（x）0 的解集是（ ） A （3，0）（3，+） B （3，0）（0，3） C （，3）（3，+） D （，3）（0，3） 【解答】解：设 g（x）xf（x） ， 又 f（x）是定义在（，0）（0，+）上的偶函数， 所以 g（x）g（x） ， 故 g（x）为（，0）（0，+）上的奇函数， 又 g（x）f（x）+xf（x） ， 由题意知，当 x0 时，g（x）0，g（x）xf（x）在区间（，0）上单调递增 所以函数 g（x）在区间（0，）上也单调递增 因为 f（3）0，所以 g（3）g（3）0， 当 x0 时，f（x）0xf（x）0g（x）

18、0，故 0x3； 当 x0 时，f（x）0xf（x）0g（x）0，故3x0； 综上 f（x）0 的解集为（3，0）（0，3） 故选：B 10（5 分） 已知圆 C： x2+y210y+210 与双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的渐近线相切， 则该双曲线的离心率是（ ） A2 B5 3 C5 2 D5 【解答】解：双曲线 2 2 2 2 =1 的渐近线方程为 bxay0， 圆 C：x2+y210y+210 化为标准方程是：x2+（y5）24， 则圆心 C（0，5）到直线 bxay0 的距离为 dr； 即 |05| 2+2 = 5 =2， 解得 = 5 2， 即双曲线的离心率是 e= 5

19、2 第 9 页（共 17 页） 故选：C 11 （5 分）将函数 ysin（x 12）图象上的点 P（ 4，t）向左平移 s（s0）个单位，得到 点 P，若 P位于函数 ysin2x 的图象上，则（ ） At= 1 2，s 的最小值为 12 Bt= 3 2 ，s 的最小值为 6 Ct= 1 2，s 的最小值为 6 Dt= 3 2 ，s 的最小值为 12 【解答】解：将 x= 4代入得：tsin 6 = 1 2 将函数 ysin（x 12）图象上的点 P（ 4，t）向左平移 s（s0）个单位， 得到点 P（ 4 s，1 2） ，若 P位于函数 ysin2x 的图象上， 则 sin（ 2 2s）c

20、os2s= 1 2， 则 2s 3 +2k，kZ， 则 s 6 +k，kZ， 由 s0 得：当 k0 时，s 的最小值为 6， 故选：C 12 （5 分）在正四面体 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，则下列结论错误的是 （ ） A异面直线 AB 与 CD 所成的角为 90 B直线 AB 与平面 BCD 垂直 C直线 EF平面 ACD D平面 AFD 垂直平面 BCD 【解答】解：如图，过 A 作 AGCD，则 G 为 CD 中点，连接 AG，AF，BG，DF，则 BGCD，DFBC， CD平面 ABG，则 CDAB，故 A 正确； 正四面体 ABCD 中，A 在平面 BCD

21、 的射影为 O，则 O 在 BG 上， 并且 O 为BCD 的中心，则直线 AB 与平面 BCD 成的角为ABO， 又 BO= 2 3BG= 2 3 3 2 AB= 3 3 AB，即 = 3 3 =sinABO， ABO60，故 B 错误； 第 10 页（共 17 页） 正四面体 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，EFAC， EF平面 ACD，AC平面 ACD，EF平面 ACD，故 C 正确； 几何体为正四面体，A 在底面 BCD 的射影为底面的中心， 则 AO平面 BCD， 而 AO平面 AFD，平面 AFD平面 BCD，故 D 正确 结论错误的是 B 故选：B 二填空题

22、（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若（ 1 ） n 的二项展开式中各项的二项式系数之和是 64，则展开式中的常数 项为 15 （用数字作答） 【解答】解：由题意，得 2n64，即 n6 ( 1 ) = ( 1 ) 6， 其通项公式为+1 = 6 ()6 ( 1 ) = (1) 6 63 2 令63 2 = 0，得 r2 展开式中的常数项为(1)2 6 2 = 15 故答案为：15 14 （5 分）在ABC 中，已知 AB 边上的中线 CM1，且 1 ， 1 ， 1 成等差数 列，则 AB 的长为 23 3 【解答】解：在ABC

23、 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， 根据中线长公式 = 2(2+2)2 2 ， 得2+ 2= 2 2 + 2 第 11 页（共 17 页） 由 1 ， 1 ， 1 成等差数列， 得 2 = 1 + 1 ， 从而 2= ( + ) = (+) = 2 = 2 2+ 22 2 ， 即为 a2+b22c22+ 1 2c 2， 解得 = 23 3 故答案为：23 3 15 （5 分）已知圆 C：x2+（y1）26，AB 为圆 C 上的两个动点，且 = 22，G 为弦 AB 的中点直线 l：xy20 上有两个动点 PQ，且 PQ2当 AB 在圆 C 上运动时， PGQ 恒为锐角， 则线段

24、 PQ 中点 M 的横坐标取值范围为 （， 0） （3， +） 【解答】解：圆 C：x2+（y1）26 的半径为6， = 22，G 为弦 AB 的中点， CG2，设 PQ 中点为 M（a，a2） ， PQ2，且当 AB 在圆 C 上运动时，PGQ 恒为锐角， 则以 C 为圆心，以 2 为半径的圆与以 M 为圆心，以 1 为半径的圆外离， 则2+ ( 3)23，即 a23a0，解得 a0 或 a3 线段 PQ 中点 M 的横坐标取值范围为（，0）（3，+） 故答案为： （，0）（3，+） 16 （5 分）底面边长为 a 的正四面体的体积为 2 12a 3 【解答】解：作正四面体的高 SO，垂足为

25、 O，则 O 为等边三角形 ABC 的中心， ABa，AD= 3 2 a，AO= 2 3AD= 3 3 a， SO= 2 2= 6 3 a， 正四面体的体积 V= 1 3SABCSO= 1 3 3 4 2 6 3 = 2 12a 3 故答案为： 2 12 3 第 12 页（共 17 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 = 2， = 5， = 2 （1）求 cosA； （2）求 c 的值 【解答】解：(1) 中，由正弦定理得 = ， 又

26、= 2， = 5， = 2， 所以 2 = 5 2 = 5 2， 所以 = 5 4 （2）方法 1：ABC 中，由余弦定理得 a2b2+c22bccosA， 而 = 2， = 5， = 5 4 ， 所以 2c25c+20，解得： = 2或 1 2， 当 = 2 = 时， = ，又 = 2，故 = 2 ， = = 4 ，所以 = 2，与已知矛盾； 当 = 1 2 时，检验符合要求， 所以 = 1 2 方法 2：在ABC 中，因为： = 5 4 ， 所以： = 11 4 ， 所以： = 2 = 2 = 55 8 ， = 22 1 = 3 8， 所以： = ( + ) = + = 11 16 ， 在

27、ABC 中，由正弦定理得 = ，即 2 11 4 = 11 16 ，解得： = 1 2 第 13 页（共 17 页） 18 （12 分） 已知四棱锥 PABCD 的三视图如图所示， 其中主视图、 侧视图是直角三角形， 俯视图是有一条对角线的正方形E 是侧棱 PC 上的动点 （）求证：BDAE （）若 E 为 PC 的中点，求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； （）若五点 A，B，C，D，P 在同一球面上，求该球的体积 【解答】 （）证明：由已知 PCBC，PCDCPC面 ABCD BD面 ABCDBDPC， 又因为 BDAC，BD面 PAC， 又AE面 PAC，BDAE （）解；连

28、AC 交 BD 于点 O，连 PO， 由（1）知 BD面 PAC，面 BED面 PAC，过点 E 作 EHPO 于 H，则 EH面 PBD， EBH 为 BE 与平面 PBD 所成的角 = 1 3， = 2， 则 = 1 3 2 = 2 6 （）解：以正方形 ABCD 为底面，PC 为高补成长方体，此时对角线 PA 的长为球的直 径， 2 = = 1 + 1 + 4 = 6，所以 = 6 2 球= 4 3 3= 6 19 （12 分）已知点 P 到直线 x= 5 2的距离比点 P 到点 A（ 1 2，0）的距离多 2 （1）求点 P 的轨迹方程； （2）已知过点 Q（2，1）的直线与抛物线交于

29、 M，N 两点，且点 Q 是线段 MN 的中点， 第 14 页（共 17 页） 求OMN 的面积 【解答】解： （1）点 P 到直线 x= 5 2的距离比点 P 到点 A（ 1 2，0）的距离多 2， 点 P 到 A（1 2，0）的距离与它到直线 x= 1 2的距离相等， 点 P 的轨迹 C 是以 A 为焦点，以 x= 1 2为准线的抛物线， 曲线 C 的方程为 y22x； （2）由中点弦的结论可知，直线 l 的斜率为 1， 设直线 l 方程为 xy+1，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 联立 = + 1 2= 2 ，得 y22y20， y1+y22，y1y22， |MN|= 1 +

30、12|1 2| = 2(1+ 2)2 412= 26 原点 O 到直线 xy+1 的距离 d= 1 2 = 2 2 ， = 1 2 2 2 26 = 3 20 （12 分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高 二年级准备成立一个环境保护兴趣小组该年级理科班有男生 400 人，女生 200 人；文 科班有男生 100 人，女生 300 人现按男、女用分层抽样从理科生中抽取 6 人，按男、 女分层抽样从文科生中抽取 4 人，组成环境保护兴趣小组，再从这 10 人的兴趣小组中抽 出 4 人参加学校的环保知识竞赛 （1） 设事件 A 为 “选出的这 4 个人中要求有两个

31、男生两个女生， 而且这两个男生必须文、 理科生都有” ，求事件 A 发生的概率； （2）用 X 表示抽取的 4 人中文科女生的人数，求 X 的分布列和数学期望 【解答】解： （1）因为学生总数为 1000 人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取 10 人，则抽取了理科男生 4 人，女生 2 人，文科男生 1 人，女生 3 人 所以() = 4 1 1 1 5 2 10 4 = 40 210 = 4 21 （2）X 的可能取值为 0，1，2，3，( = 0) = 7 4 3 0 10 4 = 1 6，( = 1) = 7 3 3 1 10 4 = 1 2， ( = 2) = 7 2 3 2 1

32、0 4 = 3 10，( = 3) = 7 1 3 3 10 4 = 1 30，X 的分布列为 X 0 1 2 3 第 15 页（共 17 页） P 1 6 1 2 3 10 1 30 = 0 1 6 + 1 1 2 + 2 3 10 + 3 1 30 = 6 5 21 （12 分）已知函数 f（x）axlnx；g（x）= （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）求证：若 ae（e 是自然常数） ，当 x1，e时，f（x）eg（x）恒成立； （3）若 h（x）x21+g（x），当 a1 时，对于x11，e，x01，e，使 f（x1） h（x0） ，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（

33、x）axlnx，x0，() = 1 = 1 ，0， x0， 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上是减函数， 当 a0 时，若 x 1 ，则 f（x）0，f（x）在（ 1 ，+）上是增函数， 若 0x 1 ，则 f（x）0，f（x）在（0， 1 ）上是减函数 综上所述，当 a0 时，f（x）在（0，+）上是减函数， 当 a0 时，f（x）在（1 ，+）上是增函数，在（0， 1 ）上是减函数 证明： （2）当 ae 时，f（x）exlnx， () = 1 = 1 ，x1，e时，f（x）0 恒成立 f（x）exlnx 在1，e上是单调递增函数，f（x）minf（1）e， 令 H（x）eg

34、（x）e ，则 H（x）= 1 2 ，x1，e时，H（x）0， H（x）在1，e上单调递减，H（x）maxH（1）e， f（x）H（x） ，即 f（x）eg（x） 故 ae（e 是自然常数） ，当 x1，e时，f（x）eg（x）恒成立 解： （3）() = 1 ，a1 时，由 x1，e，得 f（x）0， f（x）axlnx 在1，e上单调递增， f（x）minf（1）a，f（x）maxf（e）ae1，即 f（x）的值域是a，ae1， 由 h（x）x2+1lnx，得() = 2 1 ，x1，e时，h（x）0， h（x）在1，e上单调递增， 第 16 页（共 17 页） h（x）minh（1）2，

35、h（x）maxh（e）e2，即 h（x）的值域是2，e2， x11，e，x01，e，有 f（x1）h（x0） ， f（x）的值域是 h（x）的值域的子集， 2 2 1，2 + 1 a 的取值范围是2，e+ 1 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 P（1，0） ，倾斜角为 6以坐标原点 O 为 极点， 以 x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 4cos （+ 3） （1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线

36、 C 相交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的值 【解答】解： （1）直线 l 经过点 P（1，0） ，倾斜角为 6 直线 l 的参数方程为 = 1 + 6 = 6 （t 为参数） ，即 = 1 + 3 2 = 1 2 ， （t 为参数） 由 = 4( + 3)，得 = 2 23， 2 = 2 23， 从而2+ 2 2 + 23 =0， C 的直角坐标方程为（x1）2+（y+3）24 （2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，得（ 3 2 ）2+（1 2 +3）24， 整理，得2+ 3 1 = 0 此时= (3)2 4 1 (1)2=70 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t

37、2，则 t1+t2= 3，t1t21， |PA|+|PB|t1|+|t2|t1+t2|= (1+ 2)2 412=(3)2 4 (1) = 7 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 f（x）|x+a|（aR） （1）若 f（x）|2x+3|的解集为3，1，求 a 的值； （2）若xR，不等式 f（x）+|xa|a22a 恒成立，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）|2x+3|即|x+a|2x+3|， 平方整理得：3x2+（122a）x+9a20， 第 17 页（共 17 页） 所以3，1 是方程 3x2+（122a）x+9a20 的两根，2 分 由根与系数的关系得到 122 3 = 4 92 3 = 3 4 分 解得 a05 分 （2）因为 f（x）+|xa|（x+a）（xa）|2|a|7 分 所以要不等式 f（x）+|xa|a22a 恒成立只需 2|a|a22a8 分 当 a0 时，2aa22a 解得 0a4， 当 a0 时，2aa22a 此时满足条件的 a 不存在， 综上可得实数 a 的范围是 0a410 分