2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（5）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3+2 = 1 ，则 =（ ） A1+5i B15i C15i D1+5i 3 （5 分）若椭圆 E 的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则 E 的离 心率等于（ ） A 2 2

2、 B51 2 C1 2或 2 2 D 2 2 或51 2 4（5 分） 某部门有 8 位员工， 其中 6 位员工的月工资分别为 8200， 8300， 8500， 9100， 9500， 9600（单位：元） ，另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为 17000 元，则 这 8 位员工月工资的中位数可能的最大值为（ ） A9100 B8800 C8700 D8500 5 （5 分）已知函数() = 2，0 + 1， 0，若 f（ 2）+f（1）0，则实数 a 的值等于（ ） A6 B3 C3 D6 6（5分） 函数f （x） Asin （x+）（A0， 0， | 2） 对于任意x都有

3、( 3 + ) = ( 3 )， 它的最小正周期为 ，则函数 f（x）图象的一个对称中心是（ ） A( 12 ，0) B( 3 ，1) C(5 12 ，0) D( 12 ，0) 7 （5 分）在ABC 中，E 是 AC 的中点， =3 ，若 = ， = ，则 =（ ） A2 3 1 6 B1 3 + 1 3 C1 2 + 1 4 D1 3 1 3 8 （5 分）已知an是各项都为正数的等比数列，Sn是它的前 n 项和，若 S46，S818， 则 S12（ ） A24 B30 C42 D48 第 2 页（共 19 页） 9 （5 分） 已知点 （1， 2） 在双曲线 2 2 2 2 =1 的渐近

4、线上， 则该双曲线的离心率为 （ ） A3 2 B5 C 5 2 D 6 2 10 （5 分）已知 f（x）是在 R 上的奇函数，满足 f（x）f（2x） ，且 x0，1时，函数 f （x）2x1，函数 g（x）f（x）logax（a1）恰有 3 个零点，则 a 的取值范围是 （ ） A(0， 1 9) B(1 9， 1 5) C （1，5） D （5，9） 11 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有如下问题： “今有鳖臑下广三尺，无袤，上 袤三尺，无广，高四尺问积几何？” ，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一 个鳖臑的三视图如图粗线所示， 其中小正方形网格的边长为 1， 则该鳖臑的

5、体积为 （ ） A6 B9 C18 D27 12 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，且当 x（，0）时，f（x）+xf（x） 0 成立， 若 a （30.2） f （30.2） ， b （ln2） f （ln2） ， = (3 1 9) (3 1 9)，则，的大 小关系是（ ） Aabc Bcba Ccab Dacb 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 如果 x+x2+x3+x9+x10a0+a1（1+x） +a2（1+x） 2+a9 （1+x） 9+a10 （1+x） 10，则 a9 ，a10 1

6、4 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 2 + 1 2( 2) ，若 zx+ty（t0）的最大值为 11， 则实数 t 15 （5 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，CACBCC1，ACBC， 第 3 页（共 19 页） CE= 1 3CB，CD= 1 3 1，则直线 AC1与 DE 所成角的大小为 16 （5 分） 已知等差数列an满足： a25， 且数列an前 4 项和 S428 若 bn （1） nan， 则数列bn的前 2n 项和 T2n 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 bc

7、osA，ccosAacosB 成等差数 列 （1）求角 A； （2）若ABC 的面积为3，a2，试判断ABC 的形状，并说明理由 18某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全 公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验 669 人的血样进行化验，由于人数较多，检 疫部门制定了下列两种可供选择的方案 方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验 669 次 方案二：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验， 如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血就只需检验一次（这时认 为每个人的血化验1 次） ； 否则， 若呈阳性

8、， 则需对这 k 个人的血样再分别进行一次化验， 这时该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的 概率为 p，且这些人之间的试验反应相互独立 （1）设方案二中，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列 （2）设 p0.1，试比较方案二中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指 出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果 四舍五入保留整数） 19如图所示，在四棱锥 ABCDE 中，ABE 是正三角形，四边形 BCDE 为直角梯形，点 M 为 CD 中点，且 BCDE，BCBE，ABBC2，D

9、E4， = 23 第 4 页（共 19 页） （1）求证：平面 ABE平面 BCDE； （2）求二面角 BAME 的余弦值 20在平面直角坐标系 xOy 中，动点 M 在抛物线 y236x 上运动，点 M 在 x 轴上的射影为 N，动点 P 满足 = 1 3 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F（1，0）作互相垂直的直线 AB，DE，分别交曲线 C 于点 A，B 和 D，E，记 OAB，ODE 的面积分别为 S1，S2，问： 1222 12+22是否为定值？若为定值，求出该定 值；若不为定值，请说明理由 21已知函数 f（x）（logax）2+xlnx（a1） （1）求证：f

10、（x）在（1，+）上单调递增； （2）若关于 x 的方程|f（x）t|1 在区间（0，+）上有三个零点，求实数 t 的值； （3）若对任意的 x1，x2a 1，a，|f（x 1）f（x2）|e1 恒成立（e 为自然对数的底 数） ，求实数 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 E 经过点 P(1， 3 2)，其参数方程 = = 3（ 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 E 的极坐标方程； （2）若直线 l 交 E 于点 A，B，且 OAOB，求证： 1 |2 + 1 |2为定值，并求出

11、这个 定值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）x|xa|，aR （）当 f（2）+f（2）4 时，求 a 的取值范围； 第 5 页（共 19 页） （）若 a0，x，y（，a，不等式 f（x）|y+3|+|ya|恒成立，求 a 的取值范 围 第 6 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ）

12、Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 【解答】解：集合 AxN|x1，Bx|x5， ABxN|1x52，3，4 故选：C 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3+2 = 1 ，则 =（ ） A1+5i B15i C15i D1+5i 【解答】 解： 因为 3+2 = 1 ， 所以 zi （1i） （3+2i） 5i， 所以 = 1 5， 1 + 5， 故选：D 3 （5 分）若椭圆 E 的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则 E 的离 心率等于（ ） A 2 2 B51 2 C1 2或 2 2 D 2 2 或51 2 【解答】解：由菱形

13、的对称性垂直可知，在椭圆的顶点与焦点中， 可以找出不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，有 3 种情况，如图： 图 1 中，顶点 D 焦点 B，为菱形的顶点，C 为中心，则 DCBC， 由勾股定理可得（a2+b2）+a2（a+c）2，又 a2b2+c2， 化简可 c2+aca20， 解 e2+e10，得 e= 51 2 在图 2 中，以焦点 AB 菱形的顶点，C 为中心，则 ACBC， 第 7 页（共 19 页） 所以OCB45，可得 e= = 2 2 ； 如图 3，以 B 为菱形的中心，C，E 为菱形的顶点，则 CDEB， 可得 e= = 2 2 故选：D 4（5 分） 某部门有 8 位员工，

14、其中 6 位员工的月工资分别为 8200， 8300， 8500， 9100， 9500， 9600（单位：元） ，另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为 17000 元，则 这 8 位员工月工资的中位数可能的最大值为（ ） A9100 B8800 C8700 D8500 【解答】解：另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为 17000 元， 若不考虑这 2 人，中位数为 8500+910017600，1760028800， 若这两人的月工资一个大于 9100，另一个小于 8500，则中位数不变， 若这两个人的工作位于 8500 与 9100 之间，且这两个数关于 8800

15、对称， 8500 与 9100 也是关于 8800 对称，所以中位数也是 8800， 此时这 8 位员工月工资的中位数取最大值为：8800， 故选：B 5 （5 分）已知函数() = 2，0 + 1， 0，若 f（ 2）+f（1）0，则实数 a 的值等于（ ） A6 B3 C3 D6 【解答】解：因为 f（1）2 且 f（1）+f（1 2 ）0， 所以 f（1 2 ）20， 所以 f（1 2 ）1+ 1 2 = 2， 解可得 a6 故选：A 6（5分） 函数f （x） Asin （x+）（A0， 0， | 2） 对于任意x都有( 3 + ) = ( 3 )， 它的最小正周期为 ，则函数 f（x

16、）图象的一个对称中心是（ ） A( 12 ，0) B( 3 ，1) C(5 12 ，0) D( 12 ，0) 【解答】解：函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，| 2）对于任意 x 都有 第 8 页（共 19 页） ( 3 + ) = ( 3 )， 所以函数的图象关于 3对称， 由于它的最小正周期为 ，所以 2， 所以2 3 += + 2（kZ） ， 由于| 2，所以 = 6， 故 f（x）Asin（2x 6） ， 当 x= 12时，f（ 12）0 故选：D 7 （5 分）在ABC 中，E 是 AC 的中点， =3 ，若 = ， = ，则 =（ ） A2 3 1 6 B1 3 + 1 3

17、 C1 2 + 1 4 D1 3 1 3 【解答】解：ABC 中，E 是 AC 的中点， =3 ，若 = ， = ， 则： = + = 1 2 + 2 3 = 1 2 + 2 3 ( ) = 2 3 1 6 = 2 3 1 6 故选：A 8 （5 分）已知an是各项都为正数的等比数列，Sn是它的前 n 项和，若 S46，S818， 则 S12（ ） A24 B30 C42 D48 【解答】解：根据题意，等比数列an中，S4、 （S8S4） 、 （S12S8）成等比数列， 若 S46，S818，即 6、12、 （S1218）为等比数列， 则有 6（S1218）122144， 解可得：S1242；

18、 故选：C 9 （5 分） 已知点 （1， 2） 在双曲线 2 2 2 2 =1 的渐近线上， 则该双曲线的离心率为 （ ） 第 9 页（共 19 页） A3 2 B5 C 5 2 D 6 2 【解答】解：点（1，2）在双曲线 2 2 2 2 =1 的渐近线上， 可得 =2，所以 a24b24c24a2，4c25a2，所以双曲线的离心率为：e= 5 2 故选：C 10 （5 分）已知 f（x）是在 R 上的奇函数，满足 f（x）f（2x） ，且 x0，1时，函数 f （x）2x1，函数 g（x）f（x）logax（a1）恰有 3 个零点，则 a 的取值范围是 （ ） A(0， 1 9) B(1

19、 9， 1 5) C （1，5） D （5，9） 【解答】解：f（x）是在 R 上的奇函数，满足 f（x）f（2x） ，函数关于 x1 对称，f （x）f（x2） ，可得 f（x+4）f（x） ，函数的周期为 4，且 x0，1时，函数 f（x） 2x1，函数的图象如图： 当 a1 时， 函数 g（x）f（x）logax 恰有 3 个零点，就是方程 f（x）logax 的解个数为 3，可得 yf（x）与 ylogax 由 3 个交点，两个函数的图象夹在蓝色与红色，之间满足条件， 所以 loga51，并且 loga91，解得 a（5，9） 故选：D 11 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有如下

20、问题： “今有鳖臑下广三尺，无袤，上 袤三尺，无广，高四尺问积几何？” ，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一 个鳖臑的三视图如图粗线所示， 其中小正方形网格的边长为 1， 则该鳖臑的体积为 （ ） 第 10 页（共 19 页） A6 B9 C18 D27 【解答】解：由题意，可知原图为一个底边为直角等腰三角形的直三棱锥， 具体图形如下： 则有：V= 1 3S 底h= 1 3 1 2 3346 故选：A 12 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，且当 x（，0）时，f（x）+xf（x） 0 成立， 若 a （30.2） f （30.2） ， b （ln2） f （ln2

21、） ， = (3 1 9) (3 1 9)，则，的大 小关系是（ ） Aabc Bcba Ccab Dacb 【解答】解：令 g（x）xf（x） ，xR， f（x）f（x） ， g（x）xf（x）xf（x）g（x） ，即 g（x）为奇函数， g（x）f（x）+xf（x）0， g（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上也为单调递增， a（30.2） f（30.2）g（30.2） ， b（ln2） f（ln2）g（ln2） ， 第 11 页（共 19 页） c（log31 9） f（log3 1 9）g（2） ， 20ln230.2即 log31 9 0ln230.2 abc 故选：A 二填空题

22、（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 如果 x+x2+x3+x9+x10a0+a1（1+x） +a2（1+x） 2+a9 （1+x） 9+a10 （1+x） 10，则 a9 9 ，a10 1 【解答】解：由 x+x2+x3+x9+x10a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a9（1+x）9+a10 （1+x）10， 左右两边相等可得：a10等式左边 x10的系数 1； a9+a1010 9 =等式左边 x9的系数 1； a101；a9+a1010 9 =a9+10a101a99； 故答案为：9，1 14 （5 分）已知实数 x

23、，y 满足约束条件 2 + 1 2( 2) ，若 zx+ty（t0）的最大值为 11， 则实数 t 4 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 zx+ty 得 y= 1 x+ ， 平移直线 y= 1 x+ ， 由图象知当直线 y= 1 x+ 经过点 A 时，直线的截距最大此时 z 最大为 11， 由 = 2 = 2( 2)得 A（3，2） ， 则 3+2t11，得 2t8，t4， 故答案为：4 第 12 页（共 19 页） 15 （5 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，CACBCC1，ACBC， CE= 1 3CB，CD= 1 3 1，则直线 AC1与 D

24、E 所成角的大小为 60 【解答】解：连接 BC1 因为 CD= 1 3 1，CE= 1 3，所以 1 = 由题意知 DEBC1，所以AC1B 就是直线 AC1与 DE 所成角 设 CACBCC1a，则1= 1= = 2， 则ABC1是正三角形，则AC1B60 故直线 AC1与 DE 所成角的大小为 60 故答案为：60 16 （5 分） 已知等差数列an满足： a25， 且数列an前 4 项和 S428 若 bn （1） nan， 第 13 页（共 19 页） 则数列bn的前 2n 项和 T2n 4n 【解答】解：根据题意，设等差数列an的公差为 d，首项为 a1， 又由an满足：a25，且

25、数列an前 4 项和 S428， 则有2 = 1+ = 5 4= 2(5 + 5 + ) = 28， 解可得 a11，d4， 则 ana1+（n1）d4n3； bn（1）nan（1）n（4n3） ， T2n1+59+1317+（8n3）4n4n； 故答案为：4n 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 bcosA，ccosAacosB 成等差数 列 （1）求角 A； （2）若ABC 的面积为3，a2，试判断ABC 的形状，并说明理由 【解答】解： （1）bcosA，ccosA、acosB 成等差数列， 2ccosAbcosA

26、+acosB， 在ABC 中，由正弦定理得，2sinCcosAsinBcosA+sinAcosB， 2sinCcosAsin（A+B） ， 由 sinCsin（A+B）0 得，cosA= 1 2， 0A，A= 3； （2）ABC 的面积为3，且 A= 3， 1 2 =3，化简得 bc4， 又 a2，由余弦定理得 a2b2+c22bccosA 化简得，b2+c28， 联立得，bc2， 又 A= 3，ABC 是等边三角形 18某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全 公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验 669 人的血样进行化验，由于人数较多，检 第 14 页

27、（共 19 页） 疫部门制定了下列两种可供选择的方案 方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验 669 次 方案二：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验， 如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血就只需检验一次（这时认 为每个人的血化验1 次） ； 否则， 若呈阳性， 则需对这 k 个人的血样再分别进行一次化验， 这时该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的 概率为 p，且这些人之间的试验反应相互独立 （1）设方案二中，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列 （2）设 p0.1，

28、试比较方案二中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指 出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果 四舍五入保留整数） 【解答】解： （1）根据题意，每个人的血样化验呈阳性的概率为 p，则呈阴性的概率 q 1p， 所以 k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为（1p） k，呈阳性反应的概率为 1（1p） k， 故 X= 1 ，1 + 1 ， P（X= 1 ）（1p） k，P（X= 1 +1 ）1（1p） k， 故 X 的分布列为： X 1 1 + 1 P （1p）k 1 （1p）k （2） 根据 （1） 可得方案二的数学期望 E （X） = 1 (

29、1 )+ (1 + 1 ),1 (1 ) - = 1 + 1 (1 )，p0.1， 当 k2 时，E（X）= 1 + 1 2 092= 0.69，此时 669 人需要化验总次数为 462 次； 当 k3 时，E（X）= 1 + 1 3 093 0.6043，此时 669 人需要化验总次数为 404 次； 第 15 页（共 19 页） 当 k4 时，E（X）= 1 + 1 4 094= 0.5939，此时 669 人需要化验总次数为 397 次； 故 k4 时，化验次数最少， 根据方案一，化验次数为 669 次， 故当 k4 时，化验次数最多可以平均减少 669397272 次 19如图所示，在

30、四棱锥 ABCDE 中，ABE 是正三角形，四边形 BCDE 为直角梯形，点 M 为 CD 中点，且 BCDE，BCBE，ABBC2，DE4， = 23 （1）求证：平面 ABE平面 BCDE； （2）求二面角 BAME 的余弦值 【解答】 （1）证明：取 BE 的中点 O，并连接 OM 则据题意可得： 中位线 OM 的长为| = + 2 = 3， 且 OMBE， 又因为ABE 是正三角形，所以 AOBE， 故：AOM 为二面角 ABEM 的平面角， 第 16 页（共 19 页） 而| = 3 2 = 3，| = 23， 有 AO2+OM2AM2，即AOM90， 由定义可知：平面 ABE平面

31、BCDE （2）解：由（1）可得：OM平面 ABE，AOBE， 以点 O 为坐标原点，分别以 OA、OB、OM 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系， 则(3，0，0)，B（0，1，0） ，E（0，1，0） ，M（0，0，3） = (3，0，3)， = (0， 1，3)， = (0，1，3)， 设 = (，)为平面 ABM 的法向量， 则有3 + 3 = 0 + 3 = 0 ， 令 = 3可得 = (3，3，1)；同理可得平面 AEM 的法向量： = (3， 3，1)， ， = 39+1 3+9+13+9+1 = 5 13 二面角 BAME 的平面角是锐角， 故二面角 BAME 的余弦值为 5

32、 13 20在平面直角坐标系 xOy 中，动点 M 在抛物线 y236x 上运动，点 M 在 x 轴上的射影为 N，动点 P 满足 = 1 3 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F（1，0）作互相垂直的直线 AB，DE，分别交曲线 C 于点 A，B 和 D，E，记 OAB，ODE 的面积分别为 S1，S2，问： 1222 12+22是否为定值？若为定值，求出该定 值；若不为定值，请说明理由 【解答】解： （1）设点 P（x，y） ，M（x0，y0） ， 则0 2 = 360，且 N（x0，0） ， 由 = 1 3 ，得 = 0 = 1 3 0 即0 = 0= 3，代入0 2

33、= 360， 得 9y236x，即 y24x 所以曲线 C 的方程为 y24x （2）由（1）知曲线 C 为抛物线，点 F（1，0）为抛物线 C 的焦点， 第 17 页（共 19 页） 当直线 AB 的斜率为 0 或不存在时，均不适合题意 当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时， 设直线 AB：xmy+1（m0） ，与 y24x 联立消 x 得，y24my40 由0 得 mR，且 m0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 y1+y24m，y1y24 所以| = 1+ 2+ 2 = 1+ 2+ 2 + 2 = 42+ 4 原点到直线 AB 的距离 = 1 1+2， 所以1= 1

34、2 1 1+2 4(2+ 1) = 21 + 2 同理可求得2= 21 + ( 1 ) 2 = 21+ 2 2 所以 1 1 2 + 1 2 2 = 1 4(1+2) + 2 4(1+2) = 1 4 所以 1 222 1 2+22 = 1 1 1 2+ 1 1 2 = 4 因此 1 222 1 2+22为定值 4 21已知函数 f（x）（logax）2+xlnx（a1） （1）求证：f（x）在（1，+）上单调递增； （2）若关于 x 的方程|f（x）t|1 在区间（0，+）上有三个零点，求实数 t 的值； （3）若对任意的 x1，x2a 1，a，|f（x 1）f（x2）|e1 恒成立（e 为

35、自然对数的底 数） ，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）证明：() = 1 1 + 2 1 ， a1，x1， () = 1 1 + 2 1 0， f（x）在（1，+）上单调递增； （2）0x1，分别有1 1 0，2 1 0， f（x）0， 结合（1）知，f（x）minf（1） ， t1f（1）1， 第 18 页（共 19 页） t2； （3）由（2）可知，f（x）在a 1，1单调递减，在1，a上单调递增， ()= *(1)，()+，且 f（a）f（a 1）aa12lna， 令 g（x）xx 12lnx，则() = 1 + 2 2 = (1 1)2 0， g（a）g（1）0， g（x）

36、maxf（a） ， 任意的 x1，x2a 1，a，|f（x 1）f（x2）|f（a）f（1）alna， 以下只需 alnae1，由 h（x）xlnx 的单调性解得 1ae 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 E 经过点 P(1， 3 2)，其参数方程 = = 3（ 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 E 的极坐标方程； （2）若直线 l 交 E 于点 A，B，且 OAOB，求证： 1 |2 + 1 |2为定值，并求出这个 定值 【解答】解： （ I）将点(1， 3 2)代入曲线 E 的方程， 得 1

37、 = ， 3 2 = 3，解得 a 24， 所以曲线 E 的普通方程为 2 4 + 2 3 = 1， 极坐标方程为2(1 4 2 +1 3 2) = 1 （）不妨设点 A，B 的极坐标分别为(1，)，(2， + 2)，10，20， 则 (1 41 22 +1 31 22) = 1， (1 42 22( + 2) + 1 3 2 22( + 2) = 1， 即 1 1 2 = 1 4 2 + 1 3 2， 1 2 2 = 1 4 2 + 1 3 2， 1 1 2 + 1 2 2 = 1 4 + 1 3 = 7 12，即 1 |2 + 1 |2 = 7 12 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小

38、题） 第 19 页（共 19 页） 23已知函数 f（x）x|xa|，aR （）当 f（2）+f（2）4 时，求 a 的取值范围； （）若 a0，x，y（，a，不等式 f（x）|y+3|+|ya|恒成立，求 a 的取值范 围 【解答】解： （1）f（2）+f（2）4，可得 2|2a|2|2+a|4，即|a2|a+2|2， 则 2 2 + + 22或 22 2 22或 2 2 22， 解得 a2 或2a1 或 a，则 a 的范围是（，1） ； （2）f（x）|y+3|+|ya|恒成立，等价为 f（x）max（|y+3|+|ya|）min， 其中当 x，y（，a，|y+3|+|ya|y+3+ay|a+3|a+3，当且仅当3ya 取 得等号， 而 f（x）x（xa）（x 2） 2+2 4 2 4 ，当且仅当 x= 1 2a 时取得等号 所以 2 4 a+3，解得 0a6