2021年新高考数学模拟试卷（38）.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（38） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 2 （5 分）已知复数 z 满足 z+2iR，z 的共轭复数为，则 z =（ ） A0 B4i C4i D4 3 （5 分）已知命题 P：x1，2xlog2x1，则p 为（ ） Ax1，2xlog2x1 Bx1，2xlog2x1 Cx1，2xlog2x1 Dx1，2xlog2x1

2、4（5 分） 甲、 乙两家企业 1至 10 月份的收入情况统计如图所示， 下列说法中错误的是 （ ） A甲企业的月收入比乙企业的月收入高 B甲、乙两企业月收入差距的最大值在 7 月份 C甲企业 4 月到 7 月份收入的平均变化量比乙企业 7 月到 10 月份收入的平均变化量低 D 甲企业 1 月到 10 月份收入的平均变化量比乙企业 1 月到 10 月份收入的平均变化量高 5 （5 分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 323 的长方体框架，一个建 筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至 B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为 （ ） 第 2 页（共 22 页） A 5 28

3、B 5 14 C2 9 D1 2 6 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 7 （5 分）长方体的长宽高分别为 3，2，1，则长方体的体积与表面积分别为（ ） A6，22 B3，22 C6，11 D3，11 8 （5 分）若关于 x 的不等式 lnxax20 的解集中有唯一的整数解，则实数 a 的取值范围 是（ ） A （3 9 ，2 4 B3 9 ，2 4 ） C （，3 9 （2 4 ，+） D （，3 9 ）2 4 ，+） 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）下列说法正确的是（

4、 ） A “a3b3“是“ac2bc2“的充要条件 B若角 的终边经过点（1，2） ，则 tan（+ 4）3 C若直线 ax+2y10 与直线 2xy+30 垂直，则 a1 D已知随机变量 X 服从正态分布 N（4，2） ，若 P（X5）0.8，则 P（X3）0.2 10 （5 分）如图，已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左，右焦点分别为 F1，F2， 第 3 页（共 22 页） 左，右顶点分别为 A，B，M 在双曲线 C 上，且 MF1x 轴，直线 MA，MB 与 y 轴分别 交于 P， Q 两点， 若|OP|e|OQ| （e 为双曲线 C 的离心率） ， 则下列说法正确

5、的是 （ ） Ae= 2 +1 B| 1| | =3 C直线 OM 的斜率 k2 D直线 AM 的斜率 k3 11 （5 分）将函数 f（x）sin2x23cos2x+3图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵 坐标不变） ，再向右平移 6个单位 得到函数 g（x）的图象，则下列说法中正确的是（ ） Af（x）的最大值为 13 Bg（x）2cosx C函数 f（x）的图象关于直线 x= 5 12对称 D函数 g（x）的图象关于点（ 2，0）对称 12 （5 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，PAAB，截 面 BDE 与直线 PC 平行，与 PA 交于

6、点 E，则下列判断正确的是（ ） AE 为 PA 的中点 第 4 页（共 22 页） BPB 与 CD 所成的角为 3 CBD平面 PAC D三棱锥 CBDE 与四棱锥 PABCD 的体积之比等于 1：4 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 = (3，2)， = (2，1)， = (4，3)，若( + ) ，则实数 14 （5 分）曲线 f（x）2x3x1 在点（0，f（0） ）处的切线在 x 轴上的截距为 15 （5 分）四边形 ABCD 的各个顶点依次位于抛物线 yx2上，BAD60，对角线 AC 平行 x

7、 轴，且 AC 平分BAD，若 = 2，则 ABCD 的面积为 16 （5 分）已知函数 f（x）xax（a0，a1）的图象经过点（3，3 8） ，点 O 为坐标原点， 点 Pn（n，f（n） ） （nN*） ，向量 =（1，0） ，n是向量 与 m 的夹角，则使得 tan1+tan2+tann 127 128的 n 的最小值为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知在ABC 中， 角 A，B， C 所对的边分别为 a， b，c，且; ; = :， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 18 （12 分）已知数列a

8、n中，对任意的 nN*，都有 an0，an+1an3，a2与 a7的等比 中项为 10，数列bn为等比数列，b1a1，b4a61 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列 1 +1 +a 的前 n 项和 Tn 19 （12 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1为矩形，且与侧面 ABB1A1垂直，AB= 1 2AB11，BB1= 5 （1）求证：AB1A1C1； （2） 若直线 AC1与平面 ABB1A1所成角的正切值等于3 2， 求二面角 CABC1 的余弦值 第 5 页（共 22 页） 20 （12 分）已知函数() = 1 2 2 2 （）求函数 f（x）的极小值

9、点； （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （0x1x2）为函数 yf（x）图象上的任意两点，f （x）为函数 f（x）的导函数，求证：(2);(1) 2;1 (2:1 2 ) 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值 22 （12 分） 绿水青山就是金山银山 近年来， 祖国各地依托本地自然资源， 打造旅游产业， 旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理 念， 合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道

10、某景区有一个自愿消费的项目： 在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会 将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付 20 元， 没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成 的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作 了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价 格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参 观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立 第

11、6 页（共 22 页） （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 第 7 页（共 22 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（38） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 【解答】解：Ax|2x3，Bx|x2， AB（2，3） 故选：A 2 （5 分）已知复数

12、z 满足 z+2iR，z 的共轭复数为，则 z =（ ） A0 B4i C4i D4 【解答】解：z+2iR，设 z+2iaR， 则 za2i， 则 z =a2i（a+2i）4i 故选：C 3 （5 分）已知命题 P：x1，2xlog2x1，则p 为（ ） Ax1，2xlog2x1 Bx1，2xlog2x1 Cx1，2xlog2x1 Dx1，2xlog2x1 【解答】解：全称命题的否定为特称命题，改变量词，否定结论即可 即x1，2xlog2x1， 故选：D 4（5 分） 甲、 乙两家企业 1至 10 月份的收入情况统计如图所示， 下列说法中错误的是 （ ） 第 8 页（共 22 页） A甲企业

13、的月收入比乙企业的月收入高 B甲、乙两企业月收入差距的最大值在 7 月份 C甲企业 4 月到 7 月份收入的平均变化量比乙企业 7 月到 10 月份收入的平均变化量低 D 甲企业 1 月到 10 月份收入的平均变化量比乙企业 1 月到 10 月份收入的平均变化量高 【解答】解：在 A 中，由题图可知，甲企业月收入数据比乙企业月收入数据高，故 A 正 确； 在 B 中，由题图知，甲、乙两企业月收入差距为： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 差距 200 300 200 100 300 300 600 400 300 300 差距的最大值在 7 月份，为 600，故 B 正确； 在

14、C 中，甲企业 4 月到 7 月份收入的平均变化量为800;300 3 167， 乙企业 7 月到 10 月收入的平均变化量为500;200 3 = 100， 167100，故 C 错误； 在 D 中，甲企业 1 月到 10 月收入的平均变化量为800;400 9 44， 乙企业 1 月到 10 月收放的平均变化量为500;200 9 33， 4433，故 D 正确 故选：C 5 （5 分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 323 的长方体框架，一个建 筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至 B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为 （ ） A 5 28 B 5 14 C2 9

15、D1 2 第 9 页（共 22 页） 【解答】解：最近的行走路线就是不走回头路，不重复，共有8 8种， 向上攀登共需要 3 步，向左向前共需要 5 步， 不连续向上攀登，向上攀登的 3 步，要进行插空，共有5 563种， 其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为： P= 5 5 6 3 8 8 = 5 14 故选：B 6 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：当 x时， 0:， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）0+，排除 C， D； 因为 x+时， +， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）+，因此排除 B， 故选

16、：A 7 （5 分）长方体的长宽高分别为 3，2，1，则长方体的体积与表面积分别为（ ） A6，22 B3，22 C6，11 D3，11 【解答】解：长方体的长宽高分别为 3，2，1， 长方体的体积为：V3216， 长方体的表面积为： S2（32+31+21）22 故选：A 8 （5 分）若关于 x 的不等式 lnxax20 的解集中有唯一的整数解，则实数 a 的取值范围 是（ ） A （3 9 ，2 4 B3 9 ，2 4 ） 第 10 页（共 22 页） C （，3 9 （2 4 ，+） D （，3 9 ）2 4 ，+） 【解答】解：由题意可得， 2 a， 令 f（x）= 2 ，x0，则(

17、) = 12 3 ， 当 0时，f（x）0，函数单调递增，当 x时，f（x）0，函数单调递 减， 故当 x= 时，函数取得最大值 f（）= 1 2， 因为 lnxax20 的解集中有唯一的整数解， 结合图象可知，只能是 x2， 故3 9 2 4 ， 故选：B 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）下列说法正确的是（ ） A “a3b3“是“ac2bc2“的充要条件 B若角 的终边经过点（1，2） ，则 tan（+ 4）3 C若直线 ax+2y10 与直线 2xy+30 垂直，则 a1 D已知随机变量 X 服从正态分布 N（4

18、，2） ，若 P（X5）0.8，则 P（X3）0.2 【解答】解：Aa3b3ab，且 c0 时得不出 ac2bc2，a3b3不是 ac2bc2的 充要条件，该说法错误； 第 11 页（共 22 页） B 若角 的终边经过点 （1， 2） ， 则 tan2， ( + 4) = + 4 1 4 = 2+1 121 = 3， 该说法正确； C由两直线互相垂直得， 2 2 = 1，解得 a1，该说法错误； D由随机变量 X 服从正态分布 N（4，2） ，可得 4， P（X5）0.8，P（4X5）P（X5）P（X4）0.80.50.3， 由对称性可得，P（3X4）0.3，P（X3）P（X4）P（3X4）

19、0.5 0.30.2，该说法正确 故选：BD 10 （5 分）如图，已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左，右焦点分别为 F1，F2， 左，右顶点分别为 A，B，M 在双曲线 C 上，且 MF1x 轴，直线 MA，MB 与 y 轴分别 交于 P， Q 两点， 若|OP|e|OQ| （e 为双曲线 C 的离心率） ， 则下列说法正确的是 （ ） Ae= 2 +1 B| 1| | =3 C直线 OM 的斜率 k2 D直线 AM 的斜率 k3 【解答】解：根据题意得 A（a，0） ，B（a，0） ，F1（c，0） ，M（c， 2 ） ， 根据BOQBF1M，则 1 = 1，所以 O

20、Q= 2 +， 由AOPAF1M，可得 1 = 1，所以 OP= 2 ， 根据 OPeOQ，即 2 ; =e 2 :， 整理可得 a+ce（ca） ，即 1+ee（e1） ， 第 12 页（共 22 页） 即 e22e1，因为 e1，解得 e= 2 +1，故 A 正确 又 1 = ; =e1= 2，故 B 错误， 因为 MF1= 2 ， 所以直线 OM 的斜率 k= 2 = 2 = 22 = 1 e2， 故 C 正确， 直线 AM 的斜率 k= 1 1 = 2 = + = （e+1）= 2 2，故 D 不正确 故选：AC 11 （5 分）将函数 f（x）sin2x23cos2x+3图象上各点的

21、横坐标伸长到原来的 2 倍（纵 坐标不变） ，再向右平移 6个单位 得到函数 g（x）的图象，则下列说法中正确的是（ ） Af（x）的最大值为 13 Bg（x）2cosx C函数 f（x）的图象关于直线 x= 5 12对称 D函数 g（x）的图象关于点（ 2，0）对称 【解答】解；f（x）sin2x23cos2x+3 =sin2x3cos2x2sin（2x 3） ， 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，可得函数 h（x）f（1 2x） 2sin（x 3）的图象， 再将函数图象向右平移 6个单位，可得函数 g（x）h（x 6）2sin（x 6） 3 2cosx 的图象 第

22、13 页（共 22 页） A 选项，函数 f（x）的最大值为 2，故该项不正确；B 选项 g（x）2cosx，故该项不 正确； C 选项， 令 2x 3 =k+ 2， 解得 x= 2 + 5 12， 故该项正确； D 选项， 显然 g （x） 2cosx， 其图象的对称中心为（k+ 2，0） ，当 k1 时，图象的对称中心为（ 2，0） ，故该项 正确 故选：CD 12 （5 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，PAAB，截 面 BDE 与直线 PC 平行，与 PA 交于点 E，则下列判断正确的是（ ） AE 为 PA 的中点 BPB 与 CD 所成的角

23、为 3 CBD平面 PAC D三棱锥 CBDE 与四棱锥 PABCD 的体积之比等于 1：4 【解答】解：在 A 中，连结 AC，交 BD 于点 F，连结 EF，则平面 PAC平面 BDEEF， PC平面 BDE，EF平面 BDE，PC平面 PAC， EFPC， 四边形 ABCD 是正方形，AFFC，AEEP，故 A 正确； 在 B 中，CDAB，PBA（或其补角）为 PB 与 CD 所成角， PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB， 在 RtPAB 中，PAAB，PAB= 4， PB 与 CD 所成角为 4，故 C 错误； 在 C 中，四边形 ABCD 为正方形，ACBD， PA平

24、面 ABCD，BD平面 ABCD，PABD， 第 14 页（共 22 页） PAACA，BD平面 PAC，故 C 正确； 在 D 中，设 ABPAx，则;= 1 3 2 = 1 3 2 = 1 3 3， VCBDEVEBCD= 1 3 = 1 3 1 2 2 1 2 = 1 12 3 VCBDC：VPABCD= 1 12 3： 1 3 3=1：4故 D 正确 故选：ACD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 = (3，2)， = (2，1)， = (4，3)，若( + ) ，则实数 10 【解答】解：根据题意，

25、 =（3，2） ， =（2，1） ，则 + =（32，2+1） ， 若( + ) ，则有 3（32）4（2+1）0，解可得：10； 故答案为：10， 14 （5 分）曲线 f（x）2x3x1 在点（0，f（0） ）处的切线在 x 轴上的截距为 1 【解答】解：f（x）6x21， kf（0）1，而 f（0）1， 切线方程为 y+1x， 令 y0 得 x1， 故答案为：1 15 （5 分）四边形 ABCD 的各个顶点依次位于抛物线 yx2上，BAD60，对角线 AC 平行 x 轴，且 AC 平分BAD，若 = 2，则 ABCD 的面积为 3 6 【解答】解：设(，2)，(1，12)，(2，22)，

26、则= 212 1 = + 1= 3 3 ， 第 15 页（共 22 页） = 222 2 = + 2= 3 3 ， 2= (1 2)2+ (12 22)2= (1 2)21 + (1+ 2)2 = 2， 由+，可得，1+ 2= 2，12= 23 3 ， 将代入，可得4 3 (42+ 1) = 2， 解得 = 2 4 ，则| = 2 = 2 2 ， = 1 2 | | = 2 4 |12 22| = 2 4 23 3 2 2 = 3 6 故答案为： 3 6 16 （5 分）已知函数 f（x）xax（a0，a1）的图象经过点（3，3 8） ，点 O 为坐标原点， 点 Pn（n，f（n） ） （nN

27、*） ，向量 =（1，0） ，n是向量 与 m 的夹角，则使得 tan1+tan2+tann 127 128的 n 的最小值为 8 【解答】解：函数 f（x）xax（a0，a1）的图象经过点（3，3 8） ，解得 a= 1 2， 所以 f（x）= 2，点 Pn（n，f（n） ） ， 所以向量 = (， 2)，所以 cosn= | | | = 2+( 2) 2， sinn= 1 2= 2 2+( 2) 2 ， 所以= 1 2， 第 16 页（共 22 页） 所以 tan1+tan2+tann= 1 2 + 1 22 + + 1 2 = 1 21( 1 2) 11 2 =1 1 2， 因为 tan

28、1+tan2+tann 127 128，所以1 1 2 127 128， 解得 n7，因为 nN*，所以 n 的最小值为 8 故答案为：8 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知在ABC 中， 角 A，B， C 所对的边分别为 a， b，c，且; ; = :， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 【解答】解： （1）由; ; = :， 则; ; = :，可得：a 2+b2c2ab， 所以： = 2+22 2 = 2 = 1 2， 而 C（0，） ， 故 = 3 （2）由 a2+b2c2ab，且 c3， 可得： （

29、a+b）22ab9ab， 可得：( + )2 9 = 3 3(+ 2 )2， 可得： （a+b）236， 所以 a+b6， 又 a+bc3， 所以 a+b 的取值范围是（3，6 18 （12 分）已知数列an中，对任意的 nN*，都有 an0，an+1an3，a2与 a7的等比 中项为 10，数列bn为等比数列，b1a1，b4a61 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列 1 +1 +a 的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）依题意，由 an+1an3，可知数列an是公差为 3 的等差数列， a2与 a7的等比中项为 10， a2a7102100，即 a2 （a2+53）100，

30、 第 17 页（共 22 页） 整理，得 a22+15a21000， 解得 a25，或 a220， an0，nN*， a25， ana2+（n2）35+（n2）33n1，nN* 设等比数列bn的公比为 q，则 q3= 4 1 = 61 1 = 3611 311 =8，解得 q2， b1a13112， bn22n 12n，nN* （2）由（1）知， 1 +1 = 1 (3;1)(3:2) = 1 3（ 1 3;1 1 3:2） ， =3bn132n1， 记数列 1 +1的前 n 项和为 Pn，数列的前 n 项和为 Qn，则 Pn= 1 12 + 1 23 + + 1 +1 = 1 3（ 1 2

31、1 5）+ 1 3（ 1 5 1 8）+ 1 3（ 1 3;1 1 3:2） = 1 3（ 1 2 1 5 + 1 5 1 8 + + 1 3;1 1 3:2） = 1 3（ 1 2 1 3:2） = 2(3+2)， Qn= 1+ 2+ + （3211）+（3221）+（32n1） 3 （21+22+2n）n 32;2 +1 1;2 n 6 （2n1）n， TnPn+Qn= 2(3+2) +6 （2n1）n 19 （12 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1为矩形，且与侧面 ABB1A1垂直，AB= 1 2AB11，BB1= 5 （1）求证：AB1A1C1； 第 18 页（共

32、 22 页） （2） 若直线 AC1与平面 ABB1A1所成角的正切值等于3 2， 求二面角 CABC1 的余弦值 【解答】解： （1）证明：由已知得平面 BCC1B1平面 ABB1A1C1B1BB1 又因为平面 BCC1B1平面 ABB1A1BB1，C1B1平面 BCC1B1， 所以 C1B1平面 ABB1A1 又因为 AB1平面 ABB1A1，所以 C1B1AB1 在AA1B1中，11= = 1 2 1= 1，1= 1= 5 112+ 12= 12，A1B1AB1 C1B1A1B1B1，所以 AB1平面 A1B1C1结合 A1C1平面 A1B1C1 AB1A1C1 （2） 由（1）知 C1

33、B1平面 ABB1A1C1AB1为 AC1与平面 ABB1A1所成的角 11= 11 1 = 3 2，C1B13 因为 A1B1AB1，所以以 B1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 第 19 页（共 22 页） 则 A1（1，0，0） ，A（0，2，0） ，B（1，2，0） ，C1（1，2，3） = (1，0，0)，1 = (0， 2，3)， = (1，0，3) 设 平 面 ABC1的 法 向 量 = (，)，则 = 0 1 = 0 ， 即 = 0 2 + 3 = 0 ， 令 = 3，得 = (0，3，2) 再设平面 ABC 的法向量 = (，)， = 0 = 0 ，即 = 0 + 3 =

34、 0，令 y1，得 = (0，1，0) 所以| ，| =| | | |= 313 13 ，由图可知二面角 CABC1的平面角为锐角 所以二面角 CABC1的余弦值为313 13 20 （12 分）已知函数() = 1 2 2 2 （）求函数 f（x）的极小值点； （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （0x1x2）为函数 yf（x）图象上的任意两点，f （x）为函数 f（x）的导函数，求证：(2);(1) 2;1 (2:1 2 ) 【解答】解： （）函数的定义域为（0，+） ，() = 2 = 22 ，令 f （x）0，解得3= 2+8 2 0，4= +2+8 2 0， 易知当 x（0

35、，x4）时，f（x）0，当 x（x4，+）时，f（x）0， 故函数 f（x）在（0，x4）单调递减，在（x4，+）上单调递增， f（x）的极小值点为4= +2+8 2 ； （）证明：(2);(1) 2;1 = 1:2 2 2(2;1) 2;1 ，(1+2 2 ) = 1+2 2 2 1+2 2 ， (2);(1) 2;2 (1:2 2 )等价于(2 1) 2(21) 2+1 0，即证(2 1) 2(2 11) 2 1+1 0， 令 = 2 1 1，即证 2(1) +1 0， 令() = 2(1) +1 (1)，则() = 1 4 (+1)2 = (1)2 (+1)2 0， 第 20 页（共 2

36、2 页） h（t）在（1，+）上单调递增，故 h（t）h（1）0， 2(1) +1 0，原命题得证 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值 【解答】解： （1）由题意， 1 2 + 1 2 = 1 = 2 2 2= 2+ 2 ，解得2= 3，2= 3 2 椭圆的方程为 2 3 + 22 3 = 1； （2）菱形 ABCD 内接于椭圆， 由对称性可设直线 AC：yk1x，直线 BD：yk2x 联立 2 + 22= 3 = 1 ，得方程（212+ 1

37、）x230， 2= 2= 3 212+1， |OA|OC|=1 + 12 3 212+1 同理，|OB|OD|=1 + 22 3 222+1 又ACBD，|OB|OD|=1 + 1 12 3 2 12+1 ，其中 k10 从而菱形 ABCD 的面积 S 为： S2|OA|OB|21 + 12 3 212+11 + 1 12 3 2 12+1 ， 第 21 页（共 22 页） 整理得 S6 1 2+ 1 (1+ 1 1) 2 4，其中 k10 当且仅当 1 1 = 1时取“” ， 当 k11 或 k11 时，菱形 ABCD 的面积最小，该最小值为 4 22 （12 分） 绿水青山就是金山银山 近

38、年来， 祖国各地依托本地自然资源， 打造旅游产业， 旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理 念， 合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道 某景区有一个自愿消费的项目： 在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会 将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付 20 元， 没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成 的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作 了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价

39、 格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参 观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立 （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 【解答】 解： （1） 当收费为 20 元时， 照片被带走的可能性为 0.3， 不被带走的概率为 0.7， 设每个游客的利润为 Y1元，则 Y1是随机变量，其分布列为： Y1 15 5 P 0.3 0.7 E（Y1）150.350.71（元） ， 则 5000 个游客的平均利润为 5000 元， 当收费为 10 元时，照片被带走的可能性为 0.3+0.05100.8，不被带走的概率为 0.2， 设每个游客的利润为 Y2，则 Y2是随机变量，其分布列为： Y2 5 5 P 0.8 0.2 E（Y2）50.850.23（元） ， 则 5000 个游客的平均利润为 5000315000（元） ， 第 22 页（共 22 页） 该项目每天的平均利润比调整前多 10000 元 （2）设降