高考函数导数： 复合函数的零点.pdf

1、 高 考函数导数：高 考函数导数： 复合函数的零点复合函数的零点 复合函数的零点就是我们常说的复合方程的解，把它分为外方程和内方程， 借助数形结合思想，划归为图像的交点，进而研究复合方程的解；今天我们来 研究复合函数的零点问题： 一 理论基础解题原理 复合函数的零点就是我们常说的复合方程的解，把它分为外方程和内方程， 借助数形结合思想，划归为图像的交点，进而研究复合方程的解；今天我们来 研究复合函数的零点问题： 一 理论基础解题原理 1复合函数定义：设函数 y=f(u)的定义域是 Df，函数 u=g(x)的值域是 Zg，若 ZgDf ，则将 y=f(g(x)称为由函数 y=f(u)和 u=g(

2、x)构成的复合函 数.y=f(u)称为外层函数，u=g(x)称为内层函数，也称为中间变量. 2 复合函数函数值计算的步骤： 求 yg f x 函数值遵循 “由内到外” 的顺序， 一层层求出函数值 3已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内” 的顺序，一层层拆解直到求出x的值例如：已知 2xf x ， 2 2g xxx， 若 0g f x ，求x 由上例可得，要想求出 0g f x 的根，则需要先将 f x视为整体，先求 出 f x的值，再求对应x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先 回顾零点的定义 4 函数的零点： 设 f x的定义域为D， 若存在 0 xD，

3、使得 0 0f x， 则称 0 xx 为 f x的一个零点 5复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程 0g f x 根的个数，在解此 类问题时， 要分为两层来分析， 第一层是解关于 f x的方程， 观察有几个 f x 的值使得等式成立； 第二层是结合着第一层 f x的值求出每一个 f x被几个 x对应，将x的个数汇总后即为 0g f x 的根的个数 二二 题型攻略深度挖掘题型攻略深度挖掘 1.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出 现，一般综合性强，难度大 高考数学解题研究群：651329389. 数学交流微信：13551894228 2.【技能方法】求解复合函数

4、 yg f x 零点问题的技巧： （1）借助数形结合思想，处理问题作出 u,f xyg u的图像 （2） 若已知零点个数求参数的范围， 则先估计关于 f x的方程 0g f x 中 f x解的个数，再根据个数与 f x的图像特点，分配每个函数值 i fx被 几个x所对应，从而确定 i fx的取值范围，进而决定参数的范围 三三 试题研究试题研究 例例 1.1. 已知 ，若关于 的方程 恰好 有 个不相等的实数根，则实数 的取值范围是_ 【解析】， 当或时，当时， 在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增 可作出大致函数图象如图所示：令， 当时，方程有一解；当时，方程有两解； 当时，方程有三解

5、； 关于 的方程，恰好有 4 个不相等实数根 关于 的方程在和上各有一解 高考数学解题研究群：651329389. 数学交流微信：13551894228 ，解得， 综上：答案为； 例例 2.2. （1313 安徽）安徽） 若函数若函数 32 f xxaxbxc有极值点有极值点 12 ,x x， 且 ， 且 11 f xx， 则关于则关于x的方程的方程 2 320f xaf xb的不同实根的个数是（的不同实根的个数是（ ） A3 B4 C5 D6 解：解： 2 32fxxaxb由极值点可得：由极值点可得： 12 ,x x为为 2 320xaxb 的两根，观的两根，观 察 到 方 程察 到 方 程

6、 与与 2 320f xaf xb结 构 完 全 相 同 ， 所 以 可 得结 构 完 全 相 同 ， 所 以 可 得 2 320f xaf xb的两根为的两根为 1122 ,fxxfxx，其中，其中 111 fxx， （1） 若若 12 xx， 可 判 断 出， 可 判 断 出 1 x是 极 大 值 点 ，是 极 大 值 点 ， 2 x是 极 小 值 点是 极 小 值 点 ， 且且 2211 fxxxf x ，所以，所以 1 yfx 与与 f x 有两个交点，而有两个交点，而 2 fx 与与 f x 有一个交点，共计有一个交点，共计 3 个；个； （2） 若若 12 xx， 可 判 断 出，

7、 可 判 断 出 1 x是 极 小 值 点 ，是 极 小 值 点 ， 2 x是 极 大 值 点 。 且是 极 大 值 点 。 且 2211 fxxxf x ，所以，所以 1 yfx 与与 f x 有两个交点，而有两个交点，而 2 fx 与与 f x 有一个交点，共计有一个交点，共计 3 个。个。 综上所述，共有综上所述，共有 3 个交点个交点，答案选答案选 A 例例 3.3.已知函数已知函数 x x f x e ，若关于，若关于x的方程的方程 2 10fxmf xm 恰有恰有 4 4 个不个不 相等的实数根相等的实数根，则实数，则实数m的取值范围是（的取值范围是（ ） A. A. 1 ,22,

8、e e U B. B. 1 ,1 e C. C. 1 1,1 e D. D. 1 ,e e 解：解： ,0 ,0 x x x x e f x x x e ， 分析分析 f x的图像以便于作图，的图像以便于作图， 高考数学解题研究群：651329389. 数学交流微信：13551894228 当当0x 时，时， 1 x fxx e，从而，从而 f x在在0,1单调递增，在单调递增，在1,单调递单调递 减，减， 1 1f e ，且当，且当,0xy ，即即x正半轴为水平渐近线；当正半轴为水平渐近线；当0x 时，时， 1 x fxxe，即即 f x在在,0递减递减，由此作图，从图像可得，若恰有由此作图

9、，从图像可得，若恰有 4 4 个 不 等 实 根 ， 则 关 于个 不 等 实 根 ， 则 关 于 f x的 方 程的 方 程 2 10fxmf xm 中 ，中 ， 12 11 0,fxfx ee ，从而将问题转化为根分布问题，设，从而将问题转化为根分布问题，设 tf x，则，则 2 10tmtm 的两根的两根 12 11 0,tt ee ， 设设 2 1g ttmtm， 则有， 则有 2 00 10 111 100 g m mmg eee ， 得， 得 1 1,1m e 答案：答案：C C 例例 4 4. . 已知函数 2 2 2 ,0 2 ,0 xx x f x xx x ， 关于x的不等

10、式 2 2 0f xaf xb 恰有 1 个整数解，则实数a的取值范围是_ 解：作出 f x的图象如图所示 当 0f x 时，得x0或x2此时 2 2 0f xaf xb 化为 2 0b 若b0，则有两解x0或x2，违背题意，故b0，则 a0f xf x （1）若a0，则关于的不等式 a0f x 恰有一个整数解 结合图象可知 33 48 af af ，可得3a8 高考数学解题研究群：651329389. 数学交流微信：13551894228 （2）若a0，则关于的不等式 0af x 恰有一个整数解 结合图象可知 11 13 af af ，可得3a1 综上， 3a13a8 或 例例 5 5. .

11、已知函数 2 ( )(3) x f xxe， 当m变化时， 关于x方程 2 2 12 ( )( )0fxmf x e 的不同实数解的个数为n，则n的所有可能值为（ ） A3 B1 或 3 C3 或 5 D1 或 3 或 5 解：解： 由 2 2 48 0m e ,所以 2 2 12 ( )( )0fxmf x e 得 1 ( )f xt或 2 ( )f xt， 且 1 2 2 12 0t t e ,不妨设 1 0t 则 2 2 1 12 0t e t ，又因为： 22 ( )2(3)(23)(1)(3) xxxx fxxexexxexxe，由( )0fx得 3x 或1x ，当3x 时，( )0

12、fx，函数( )f x在区间(, 3) 上递增， 且( )0f x ， 当31x 时，( )0fx， 所以函数( )f x在区间( 3,1)上递减， 当1x 时，( )0fx，函数( )f x在(1,)上单调递增，且 32 612 ( )( 3),( )(1)2 ,( )( ),f xff xfe f xf x ee 极大值极小值极大值极小值 （1 1）当 1 2te 时， 2 3 6 0t e ，此时，由图象可知 1 ( )f xt无解， 2 ( )f xt 有三个解; （2 2）当 1 2te 时， 2 3 6 t e ，此时，由图象可知 1 ( )f xt 有一个解， 2 ( )f xt

13、 有两个解，即方程共有三个解； （3 3） 当 1 20et 时， 2 3 6 t e ，此时，由图象可知 1 ( )f xt 有两个解， 2 ( )f xt 有一个解，方程有三个不同的解， 综上所述，关于x的方程 2 2 12 ( )( )0fxmf x e 共有三个不同的解.故选 A. 高考数学解题研究群：651329389. 数学交流微信：13551894228 综上，六个例子可以看出，综上，六个例子可以看出，分解出内外两个函数，借助数形结合思想，可以快分解出内外两个函数，借助数形结合思想，可以快 速解决，但有些复合函数也可直接求出解析式解决；下面我们来分析：速解决，但有些复合函数也可直

14、接求出解析式解决；下面我们来分析： 例例 6 6 【1515 天津】天津】已知函数 2 2,2, 2,2, xx f x xx 函数 2g xbfx ，其中 bR，若函数 yf xg x 恰有 4 个零点，则b的取值范围是 （ ） A 7 , 4 B 7 , 4 C 7 0, 4 D 7 ,2 4 【解析】由 2 2,2, 2,2, xx f x xx 得 2 22,0 (2) ,0 x x fx xx ， 2 2 2,0 ( )(2)42,02 22(2) ,2 xxx yf xfxxxx xxx ，即 2 2 2,0 ( )(2)2,02 58,2 xxx yf xfxx xxx ( )(

15、 )( )(2)yf xg xf xfxb，所以 yf xg x恰有 4 个零点等价于方程 ( )(2)0f xfxb有 4 个不同的解， 即函数yb与函数( )(2)yf xfx的图象 的 4 个公共点，由图象可知 7 2 4 b 例例7 7. . （1313江西改编）江西改编） 设函数 1 , 0, ( ) 1 1,1 1 xxa a f x xax a （a为常数且0,1a） 若 0 x是 ff xx的零点但不是 fxx的零点， 则称 0 x为( )f x的二阶周期点， 8 6 4 2 2 4 6 8 1510551015 高考数学解题研究群：651329389. 数学交流微信：1355

16、1894228 求函数( )f x的二阶周期点 解解： 2 2 2 2 2 2 1 ,0, 1 (), (1) ( ( ) 1 (),1, (1) 1 (1),11. (1) xxa a ax axa aa ff x xa axaa a x aax aa 下面讨论： （1）当 2 0xa时，由 2 1 xx a 解得0x ，由于 00f，故0x 不是 fx的 二阶周期点； （2）当 2 axa时，由 1 () (1) axx aa ；解得 2 1 a x aa 2 (, ),aa因 2222 11 () 1111 aaa f aaaaaaaaa ，故 2 1 a x aa 是 ( )f x的二

17、阶周期点； （3）当 2 1axaa时，由 2 1 () (1) xax a 解得 1 2 x a 2 ( ,1)a aa， 因 1111 1 2122 f aaaa 故 1 2 x a 不是( )f x的二阶周期点； （4） 当 2 11aax 时， 1 (1) (1) xx aa 解得 2 1 1 x aa 2 (1,1)aa， 因 2222 1111 ()(1) 11111 a f aaaaaaaaa ， 故 2 1 1 x aa 是( )f x的二阶周期点 综上： 函数( )f x有且仅有两个二阶周期点， 1 2 1 a x aa ， 2 2 1 1 x aa 例例 8 8. . 已知

18、函数有六个不同零点，且所有零点之和 为 3，则实数 的取值范围为_ 高考数学解题研究群：651329389. 数学交流微信：13551894228 单调递增，且取值范围是，当时，函数的导函数 ，考虑到是上的单调递增函数，且 ，于是在上有唯一零点，记为 ，进而函数 在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值 ，如图： 接下来问题的关键是判断 与 的大小关系， 注意到， 函数，在上与直线有 个公共点， 的取值范 围是，故答案为 高考数学解题研究群：651329389. 数学交流微信：13551894228 专题小练：专题小练： 1.1. 已知函数已知函数 2 43f xxx，若方程，若方程 2 0

19、f xbf xc 恰有七个不相同恰有七个不相同 的实根，则实数的实根，则实数b的取值范围是（的取值范围是（ ） A. A. 2,0 B. B. 2, 1 C. C. 0,1 D. D. 0,2 答案：答案：B B 2.2. 已知函数已知函数 2 1,0 log,0 axx f x x x ，则下列关于函数，则下列关于函数 1yff x的零点个数的零点个数 判断正确的是（判断正确的是（ ） A. A. 当当0a 时，有时，有 4 4 个零点；当个零点；当0a 时，有时，有 1 1 个零点个零点 B. B. 当当0a 时，有时，有 3 3 个零点；当个零点；当0a 时，有时，有 2 2 个零点个零

20、点 C. C. 无论无论a为何值，均有为何值，均有 2 2 个零点个零点 D. D. 无论无论a为何值，均有为何值，均有 4 4 个零点个零点 答案：答案：A A 3.3. 已知函数已知函数 yf x和和 yg x在在2,2的图像如下，给出下列四个命题：的图像如下，给出下列四个命题： （1 1）方程）方程 0fg x 有且只有有且只有 6 6 个根个根 （2 2）方程）方程 0g f x 有且只有有且只有 3 3 个根个根 （3 3）方程）方程 0ff x 有且只有有且只有 5 5 个根个根 （4 4）方程）方程 0g g x 有且只有有且只有 4 4 个根个根 则正确命题的个数是（则正确命题

21、的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 高考数学解题研究群：651329389. 数学交流微信：13551894228 答案：答案：B B 4.4.已知已知 2 32 2 1 1,0 231, 31,0 xx f xxxg x xx ，则方程，则方程 0g f xa （a为正实数）的实数根最多有为正实数）的实数根最多有_个个； 答案：答案：6 6 个个 5 5. . 已知 f x是定义域为0,的单调函数，若对任意的0,x，都有 1 3 log4ff xx ， 且方程 32 3694f xxxxa在区间0,3上有两解， 则实数a的取值范围是（

22、 ） A05a B5a C05a D5a 答案：A 6.6. 函数 322 , , 4 2ttxxx xt f x x xt 其中0t ，若函数 1g xff x 有6 个 不同的零点，则实数t的取值范围是_ 答案3,4 7. 已知定义在已知定义在R上的奇函数， 当上的奇函数， 当0x 时，时， 1 21,02 1 2 ,2 2 x x f x f xx ， 则关于， 则关于x 的方程的方程 2 610f xf x 的实数根个数为（的实数根个数为（ ） A. A. 6 B. B. 7 C. C. 8 D.D. 9 答案：答案：B B 8.8.已知函数已知函数 11 ( ) |f xxx xx

23、，关于，关于x的方程的方程 2( ) ( )0fxa f xb （, a bR）恰有）恰有 6 6 个不同实数解，则个不同实数解，则a的取值范围是的取值范围是 答案：答案：42a 9. 设 定 义 域 为设 定 义 域 为R的 函 数的 函 数 1 ,1 1 1,1 x xf x x ， 若 关 于， 若 关 于x的 方 程的 方 程 高考数学解题研究群：651329389. 数学交流微信：13551894228 2 0fxbf xc由由 3 3 个不同的解个不同的解 123 ,x x x，则，则 222 123 xxx_ 答案：答案：5 5 1010： 关于关于x的方程的方程 2 22 13

24、120xx的不相同实根的个数是 （的不相同实根的个数是 （ ） A. 3 B. 4 A. 3 B. 4 C. 5 C. 5 D. 8D. 8 答案：答案：C C 11 A. B. C. 2 D. 4 42 答案答案：A A 5 2 |log (1x)|,x1 1 , (x2)2,x1 fxf x x 12.已知函数 (x)=则关于 的方程 (-2)=a的实根个数 不可能为( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 答案答案：A A 13. 已知函数 0, 46 0, )lg( )( 3 xxx xx xf，关于x的函数3)()( 2 xbfxfy有 8 个不同的零点，则实数b的取值范围为（

25、 ） )8 , 0.(A 32 , 0.(B ) 4 19 , 0.(C 4 19 , 32.(D 答案答案：D D 14.14. 已知)(xf是定义在), 0( 上的单调函数，且对于任意的), 0( x都有 1ln)(exxff，则方程exfxf)()(的解所在的区间是（ ） ) 2 1 , 0.(A ) 1 , 2 1 .(B )2 , 1.(C )3 , 2.(D 答案答案：C C 15.15. 已知偶函数)(xfy 定义为R， 当0x时， 1, 1) 4 1 ( 10), 2 sin( 4 5 )( x xx xf x ， x 2 22 2 ,0 x =,(2,),xR log,0 x

26、=2a y +aya x fy x x f f 11.设函数（ ）都存在唯一，满足 （ ），则正数的最小值为（ ） 高考数学解题研究群：651329389. 数学交流微信：13551894228 若关于x的方程)(06)()65()( 5 2 Raaxfaxf有且仅有 6 个不同实 数根，则实数a的取值范围是 答案答案： 4 5 10aa或 16.16.若关于x的方程0 m ex e e x x x x 有三个不相等的实数解 321 ,xxx，且 21 0xx 3 x ，其中 Rm ，e为自然对数的底数，则 ) 1)(1() 1( 321 32 2 1 xxx e x e x e x 的值为（

27、 ） eA. mB1 . mC1 . 1 .D 答案答案：D D 17. 已 知 函 数 a x e a x e xF xx 1) 1()()( 2 有 三 个 不 同 的 零 点 )(, 321321 xxxxxx ，则 )1 ()1 ()1 ( 32 2 1 321 x e x e x e xxx 的值为( ) aA 1 . 1. aB 1.C 1 .D 答案答案：D D 18 、 已 知 函 数 a x x a x x xF1 ln ) 1() ln ()( 2 有 三 个 不 同 的 零 点 )(, 321321 xxxxxx ，则 ) ln 1 () ln 1 () ln 1 ( 3

28、 3 2 2 2 1 1 x x x x x x 的值为( ) aA 1 . 1. aB 1.C 1 .D 答案答案：D D 19 已知方程 01) 1()( 2 a x e a x e xx 有三个不同实数解 )0(, 321321 xxxxxx ， 则 )1 ()1 ()1 ( 32 2 1 321 x e x e x e xxx 的值为( ) aA 1 . 1. aB 1.C 1 .D 答案答案：D D 2020 、 已 知 函 数 axeaxexF xx 1)(1()()( 2 有 三 个 不 同 的 零 点 )(, 321321 xxxxxx ，则 )1 ()1 ()1 ( 123

29、12 2 3 xxx exexex 的值为( ) 高考数学解题研究群：651329389. 数学交流微信：13551894228 aA 1 . 1. aB 1.C 1 .D 答案答案：D D 2 21 1 、 已 知 函 数 01)ln)(1()ln( 2 axxaxx 有 三 个 不 同 实 数 解 )(, 321321 xxxxxx ， 则 )ln1 ()ln1 ()ln1 ( 1122 2 33 xxxxxx 的值为( ) aA 1 . 1. aB 1.C 1 .D 答案答案：D D 22.22. 已知实数0a，函数 0, 2 ) 1( 2 0, 2 )( 21 1 x a xax a

30、e x a e xf x x ，若关于x的方程 2 )( a exff a 有三个不等的实根，则实数a的取值范围是( ) ) 2 2 , 1.( e A ) 2 2 , 2.( e B ) 1 1 , 1.( e C ) 1 2 , 2.( e D 答案答案：B B 23.23.已知函数 1),1ln( 1, 2 22 )( xx x xf x ，则函数 2 3 )()()(xafxffxF的零点个数 为 4 时，下列选项中是a的取值范围的子集的是（ ） 2 2ln ), 2 1 .(A ), 2 2ln .B 2 2ln ) 2 1 , 0.(C ) 2 1 , 2 2ln .D 答案答案：A A 2 1 2 - 3 ,0,1 24.( ), ( )2, ( )3 3log,(1,32 x x f xg xxxyg f xt x x t 已知函数若恰有 个零点， 则 的取值范围 答案答案：1,101,10 ( (成都实外成都实外：王琳鑫：王琳鑫 20202020- -0505- -1414) )