2019-2020学年唐山市高三理科数学一模试题及答案.pdf

1、 高三理科数学 第 1 页（共 4 页） 唐山市 20192020 学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试 卷上无效。 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1已知集合 A1，0，1，2，By| |y2x，MAB，则集合 M 的子

2、集个数是 A2 B3 C4 D8 2设 i 是虚数单位，复数 z2i 3i，则z - -在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平 的基本指标2010 年第六次全国人口普查资 料表明， 随着我国社会经济的快速发展， 人民 生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系 的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延 长， 国民整体健康水平有较大幅度的提高 右 图体现了我国平均预期寿命变化情况， 依据此 图，下列结论错误的是 A男性的平均预期寿命逐渐延长 B女性的平均预期寿命逐渐延长 C男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性 D女性的平均预期寿

3、命延长幅度略高于男性 4 孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有圆窖周五丈四尺， 深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为： “有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺， 求此容器能放多少斛米” （古制 1 丈10 尺，1 斛1.62 立方尺，圆周率 3） ，则该圆柱形容 器能放米 A900 斛 B2700 斛 C3600 斛 D10800 斛 5已知向量 a，b 满足| |ab| | |b| |，且| |a| |2，则 b 在 a 方向上的投影是 A2 B2 C1 D1 6已知数列an是等差数列，bn是等比数列，a2b2m，a3b3n，若 m，n 为正数，且 m n

4、，则 Aa1b1 Ba1b1 Ca1b1 Da1，b1的大小关系不确定 7已知随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，随机变量 Y 服从正态分布 N(1，1)，且 P(X1) 0.1587，则 P(1Y2) A0.1587 B0.3413 C0.8413 D0.6587 8函数 f(x)tanxx2在( 2， 2)上的图象大致为 9设函数 f(x)sin(2x2 3 )，则下列结论中正确的是 Ayf(x)的图象关于点( 3，0)对称 Byf(x)的图象关于直线 x 3对称 Cf(x)在0， 3上单调递减 Df(x)在 6，0上的最小值为 0 10已知四棱锥 P-ABCD 的顶点都在球 O 的

5、球面上，PA底面 ABCD，ABAD1， BCCD2，若球 O 的表面积为 36，则直线 PC 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 A 3 6 B 5 6 C 3 3 D 5 3 11已知 F 是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21（a0，b0）的右焦点，M 是 C 的渐近线上一点，且 MFx 轴，过 F 作直线 OM 的平行线交 C 的渐近线于点 N（O 为坐标原点） ，若 MNON，则双曲线 C 的离心率是 A2 3 3 B 3 C 6 2 D2 12已知 a2，f(x)ex(xa)xa，有如下结论： f(x)有两个极值点； f(x)有 3 个零点； f(x)的所有零点之和等于零 则正确

6、结论的个数是 A0 B1 C2 D3 O x y A O x y C O x y D B 高三理科数学 第 2 页（共 4 页） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若 x，y 满足约束条件 xy10， xy30， x3y10， 则 z2xy 的最小值为_ 14中国古代的四书是指： 大学 、 中庸 、 论语 、 孟子 ，甲、乙、丙、丁 4 名同学从中各选 一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选中庸 ，乙和丙都没有选论 语 ，则 4 名同学所有可能的选择有_种 15在数列an中，已知 a11，an1antn(nN*，t 为非零常数)，且 a1，a2，a

7、3成等比数列， 则 an_ 16已知 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，K 为 C 的准线与 x 轴的交点，点 P 在抛物线 C 上设KPF，PKF，PFK，有以下 3 个结论： 的最大值是 4； tansin； 存在点 P，满足 2 其中正确结论的序号是_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a4，ABC 的面积为 2 3 （1）若 A 3，求ABC 的周

8、长； （2）求 sinBsinC 的最大值 18 （12 分） 如图， 直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面为等边三角形， D， E 分别为 AC， A1C1的中点，点 F 在棱 CC1上，且 EFBF （1）证明：平面 BEF平面 BDF； （2）若 AB4，C1F2FC，求二面角 D-BE-F 的余弦值 19 （12 分） 甲、 乙二人进行一场比赛， 该比赛采用三局两胜制， 即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利 在 每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为 p（0p1） （1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率； （2）若 p 1 2，比赛结束时，设甲获胜局数为 X，求其分布列和

9、期望 E(X)； （3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求 p 的取值范围 20 （12 分） 已知 P 是 x 轴上的动点（异于原点 O） ，点 Q 在圆 O：x 2y24 上，且| |PQ| |2，设线段 PQ 的中点为 M，当点 P 移动时，记点 M 的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）当直线 PQ 与圆 O 相切于点 Q，且点 Q 在第一象限 （）求直线 OM 的斜率； （）直线 l 平行 OM，交曲线 E 于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 N，直线 ON 与曲线 E 交于两点 C，D， 证明：| |NA| | |NB| | |NC| | |N

10、D| | 21 （12 分） 已知函数 f(x)lnx1 x1 ，f(x)为 f(x)的导函数，f(x1)f(x2)且 x1x2 证明： （1）f(x)0； （2）x2x11 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系中，圆 C：4sin，直线 l：cos2以极点 O 为坐标原点，以极轴为 x 轴的正 半轴建立直角坐标系 （1）求圆 C 的参数方程，直线 l 的直角坐标方程； （2）点 A 在圆 C 上，ABl 于 B，记OAB 的面积为 S，求 S 的最大值 23选修 4-5

11、：不等式选讲（10 分） 已知函数 f(x)| |xa| |2| |x1| |1 （1）当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集； （2）是否存在实数 a，使得 f(x)的图象与 x 轴有唯一的交点？若存在，求 a 的值；若不存在， 说明理由 C1 B1 A1 F E D C B A y x M Q O P 高三理科数学 第 3 页（共 4 页） 唐山市 20192020 学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学参考答案 一选择题： CDCBD ABACB AD 二填空题： 132 1410 15n 2n2 2 16 三解答题： 17解： （1）因为 SABC 1 2bcsinA 3 4 bc

12、2 3，所以 bc8 由余弦定理得 b2c2bca2，所以(bc)2a23bc， 又 a4，bc8， 所以(bc)240，即 bc2 10， 故ABC 的周长为 42 10 5 分 （2）由正弦定理得 a sinA b sinB c sinC， 所以 sinBsinCbcsin 2A a2 ，又 SABC 1 2bcsinA2 3，a4， 所以 sinBsinC 3sinA 4 3 4 当 sinA1 时，A 2，此时 b 2c2a216，bc4 3， 即 b2 3，c2；或 b2，c2 3 故 A 2时，sinBsinC 取得最大值 3 4 12 分 18解： （1）因为三棱柱 ABC-A1

13、B1C1为直三棱柱，所以 A1A平面 ABC，从而有 A1ABD， 因为ABC 为等边三角形，D 为 AC 的中点，所以 BDAC 又 A1AACA，所以 BD平面 ACC1A1，所以 BDEF 又因为 EFBF，BDBFB，所以 EF平面 BDF 又因为 EF平面 BEF，所以平面 BEF平面 BDF 5 分 （2）由（1）可知 EF平面 BDF，所以 EFDF 设 CFm，则有 m244m249m2，即 4m28，得 m 2 以 D 为坐标原点，DB，DC，DE 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系 Dxyz， 则 D(0，0，0)，B(2 3，0，0)，C(0，2

14、，0)，E(0，0，3 2)，F(0， 2， 2)， 设平面 BEF 的法向量为 m(x，y，z)， BE (2 3，0，3 2)， EF(0，2，2 2)， 由 BE m2 3x3 2z0， EF m2y2 2z0， 解得 m( 3，2， 2)， 因为 DC平面 BDE， 所以平面 BDE 的法向量为DC (0，2，0)， cosm，DC mDC |m|DC | 4 2 9 2 3， 所以二面角 DBEF 的余弦值为 2 3 12 分 19解： （1）设 A：甲在第一局失利，B：甲获得了比赛的胜利 则 P(B|A)P(AB) P(A) (1p)p 2 1p p2 3 分 （2）X 的可能取值

15、为 0，1，2， 则 P(X0)(1p)2 1 4，P(X1)C 1 2p(1p)2 1 4，P(X2)p 2C1 2(1p)p2 1 2 X 的分布列如下： X 0 1 2 P 1 4 1 4 1 2 则 E(X)0 1 41 1 42 1 2 5 4 9 分 （3）甲获得该场比赛胜利的概率为 p2C12(1p)p2，则 p2C12(1p)p2p， 即 2p23p10，解得 1 2p1 所以 p 的取值范围是( 1 2，1) 12 分 20解： （1）连接 OQ，设 M(x，y)(x0)， 由| |OQ| | |PQ| |2，由 M 为 PQ 的中点， 得 P(4x 3 ，0)，则 Q(2x

16、 3 ，2y)， 把 Q(2x 3 ，2y)代入 x2y24，整理得x 2 9y 21， 所以曲线 E 的方程为x 2 9y 21(x0) 4 分 （2） （）当直线 PQ 与圆 O 相切于点 Q， 则 OQPQ，| |OQ| | |PQ| |2，则| |OP| |2 2，又点 Q 在第一象限， 得 P(2 2，0)，Q( 2， 2) 由 M 为 PQ 的中点，得 M (3 2 2 ， 2 2 )， 所以直线 OM 的斜率为 1 3 7 分 z y x C1 B1 A1 F E D C B A y x C NA B D M Q O P 高三理科数学 第 4 页（共 4 页） （）设 A(x1，

17、y1)，B(x2，y2)，直线 l：y 1 3xt， 由 y 1 3xt， x2 9y 21 整理得 2x26tx9t290，x1x23t，x1x29t 29 2 所以 N 点坐标为(3t 2， t 2)，直线 ON 方程为 y 1 3x， 9 分 由方程组 y 1 3x， x2 9y 21 得 C(3 2 2 ， 2 2 )，D(3 2 2 ， 2 2 ) 10 分 所以| |NC| | |ND| | 10 3 (3 2 2 3t 2) 10 3 (3 2 2 3t 2) 5 2(2t 2) 又| |NA| | |NB| | 1 4| |AB| | 2 1 4 10 9 (x1x2)24x1

18、x2 5 189t 22(9t29) 5 2(2t 2)， 所以| |NA| | |NB| | |NC| | |ND| | 12 分 21证明： （1）f(x) 1 xlnx (x1)2 ， 令 g(x) 1 xlnx，则 g(x) 1 x2 1 x 1x x2 所以当 0x1 时，g(x)0；当 x1 时，g(x)0； 所以 g(x)g(1)10 在 f(x)中 x1，因此 f(x)0 4 分 （2）由（1）得，f(x)在(0，1)，(1，)上单调递减，所以 0x11x2 f(x1)f(x)ln(x1)1 x lnx1 x1 xln(x1)xlnx1ln(x1) x(x1) 1 xln (1

19、 1 x) 1x ln(x1) x(1x) ，0x1 8 分 由（1）得 g(x) 1 xlnx1，等号当且仅当 x1 时成立， 从而 ln 1 x 1 x1，即 lnxx1，等号当且仅当 x1 时成立， 又 x0 时，1 1 x1，因此 ln (1 1 x) 1 x， 所以当 0x1 时， 1 xln (1 1 x) 1x 0，又ln(x1) x(1x) 0， 所以当 0x1 时，f(x1)f(x)0，即 f(x1)f(x)， 所以 f(x11)f(x1)f(x2)， 由 f(x)在(1，)上单调递减，且 x111，x21，所以，可得 x2x11， 故 x2x11 12 分 22解： （1）

20、由题意得 xcos，所以 l：x2， 又 2x2y2，ysin，所以 C：x2(y2)24， 从而 C 的参数方程为 x2cos， y22sin，（ 为参数） 4 分 （2）设 A(2cos，22sin)，02，则 B(2，22sin) 所以 S2(1cos)(1sin) 2sin2cos2cossin2 (sincos)22(sincos)1 (sincos1)2 2sin( 4)1 2 当 4 2，即 3 4 时，S 取得最大值 32 2 10 分 23解： （1）当 a1 时，f(x)0 化为| |x1| |2| |x1| |10 当 x1 时，不等式化为 x40，无解； 当1x1 时，不等式化为 3x20，解得 2 3x1； 当 x1 时，不等式化为x20，解得 1x2 所以 f(x)1 的解集为x| | 2 3x2 4 分 （2）存在 若 a1，则 f(x) xa3， xa， 3xa3，ax1， xa1，x1 此时 f(x)的最大值 f(1)a，所以 a0 时满足题设 若 a1，则 f(x) xa3， x1， 3xa1，1xa， xa1，xa 此时 f(x)的最大值 f(1)a2，所以 a2 时满足题设 若 a1，则 f(x)| |x1| |10，所以 a1 时不满足题设 综上所述，存在实数 a0 或 a2 满足题设 10 分