1、向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系(欧拉线的介绍)一、四心的概念介绍、（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四线与向量的结合 (记忆:交叉分配系数) (记忆:分母对应分配系数)应用1:（1）中线: （2）高线: （3）角平分线: （4）中垂线:应用2.四线上的动点表示:(1)中线上的动点: 或(2)高线上的动点:,(3)角平分线上的动点:(4)中垂线上的动点: ,三、四心与向量的结合1
2、.（记忆：拉力平衡原则）应用:（1）是的重心. =1:1:1 （2）为的垂心. （3）O为的内心. （4）为的外心 2.四心的向量表示：（1）是的重心. （2）为的垂心. （3）O为的内心. （4）为的外心 四典型例题：一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过ABC的A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题3：已知O是平面上的一定点，A
3、、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, 则动点P的轨迹一定通过ABC的A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心题4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心题5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心题6：三个不共线的向量满足=+) = 0，则O点是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心题7：已知O是ABC所在平面上的一点，若=
4、0, 则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题8：已知O是ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点), 则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题9：已知O是ABC所在平面上的一点，若，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题10：已知O为ABC所在平面内一点，满足=，则O点是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心题11：已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题12：已知O是ABC所在平面上的一点，若=
5、0，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题13：已知O是ABC所在平面上的一点，若(其中P是ABC所在平面内任意一点)，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题14：ABC的外接圆的圆心为O，两边上的高的交点为H，=，则实数m =_.二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知非零向量与满足= 0且，则ABC为( )A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形题16：已知O为ABC所在平面内一点，满足，则ABC一定是( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等边三角形题
6、17：已知ABC，若对任意，则ABC( )A. 必为锐角三角形 B. 必为钝角三角形C. 必为直角三角形 D. 答案不确定题18：已知a, b, c分别为ABC中A, B, C的对边，G为ABC的重心，且= 0, 则ABC为( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等边三角形三、与三角形面积相关的向量问题题19：已知点O是ABC内一点，= 0, 则：(1) AOB与AOC的面积之比为_；(2) ABC与AOC的面积之比为_；GABCMPQ(3) ABC与四边形ABOC的面积之比为_.四、向量的基本关系(共线)题20：如图，已知点G是ABC的重心，若过ABC的重心，记= a,= b, = ma , = nb , 则=_.练习为平面上一定点，该平面上一动点满足，则的（ ） 一定属于集合. （A）重心 （B）垂心 （C）外心 （D）内心
