1、教材同步复习第一部分 第四章三角形解题方法突破篇角平分线四大模型模型模型1过角平分线上的点向两边作垂线过角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是MON平分线上的一点，过点P作PAOM于点A，PBON于点B.结论：PBPA.【模型分析模型分析】利用角平分线的性质，向角的一边或两边作垂线，构造边的垂线，得到两个全等三角形 如图，在ABC中，C90，AD平分CAB若，BC12 cm，BD8 cm，则点D到直线AB的距离是_cm.4【解题思路解题思路】第一步：过点D作DEAB于点E；第二步：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DECD，从而得解例1题图第1题图1如图，已知12，34，求证：A
2、P平分BAC.证明：证明：如答图，过点如答图，过点P作作PDAB的延长线的延长线于点于点D，PEBC于点于点E，PFAC的延长线的延长线于点于点F.12，PDAB，PEBC，PDPE，同理同理PFPE，PDPF.又又PDAB，PFAC，AP平分平分BAC.第1题答图模型模型2截取构造对称全等截取构造对称全等 如图，P是MON平分线上的一点，A是射线OM上任意一点，在ON上截取OBOA，连接PB，PA.结论：OPBOPA.【模型分析模型分析】利用角平分线的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边相等，对应角相等利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧13例2题图
3、如图，在ABC中，A2B，CD是ACB的平分线若AC5，BDBC18，则AB_【解题思路】第一步：在BC上截取CEAC，连接DE；第二步：根据SAS可证ACDECD；第三步：根据全等三角形的性质和已知条件，由边与边之间的关系即可求出AB的长第2题图第2题答图2如图，ABAC，A108，BD平分ABC交AC于点D，求证：BCABCD.证明：证明：在线段在线段BC上截取上截取BEBA，连接，连接DE，如答，如答图图BD平分平分ABC，ABDEBD ABC.在在ABD和和EBD中，中，12ABDEBD(SAS)，BEDA108，ADBEDB.又又ABAC，A108，ACBABC (180108)36
4、，ABDEBD18，ADBEDB1801810854，CDE180ADBEDB180545472，DEC180DEB18010872，CDEDEC，CDCE，BCBEECABCD.12,BDBD,BABEABDEBD 模型模型3角平分线角平分线+垂线构造等腰三角形垂线构造等腰三角形 如图，P是MON平分线上的一点，APOP于点P，延长AP交ON于点B.结论：AOB是等腰三角形【模型分析模型分析】利用角平分线的性质，作垂直于角平分线的线段，构造等腰三角形，用“三线合一”解题例3题图 如图，在ABC中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为D，求证：21C.【解题思路】第一步：延长AD交BC于点F
5、；第二步：由BE是ABC的平分线，ADBE可知ABF是等腰三角形，且2AFB；第三步：根据AFB1C即可得证【解答】【解答】如答图，延长如答图，延长AD交交BC于点于点F.BE是是ABC的平分的平分线，线，ADBE，ABF是等腰三角形，且是等腰三角形，且2AFB.AFB1C，21C.例3题答图第3题图第3题答图3如图，在ABC中，ABC3C，AD平分BAC，BEAD于点E，求证：BE (ACAB)12证明：证明：如答图，延长如答图，延长BE交交AC于点于点F.BEAD,AD平分平分BAC，ABF为等腰三角形，为等腰三角形，ABAF，ABFAFB，BEEF.CCBFAFBABF，ABFCBFAB
6、C3C，C2CBF3C，CBFC，BFCF，BE BF CF.CFACAFACAB，BE (ACAB)121212模型模型4角平分线角平分线+平行线平行线【模型分析】有角平分线无平行时构造平行，可简记为“角平分线平行线，等腰必呈现”如图，P是MON平分线上的一点，过点P作PQON，交OM于点Q.结论：POQ是等腰三角形例4题图 如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点P，过点P作DEBC交AB于点D，交AC于点E.若BDCE10，则线段DE的长是_10【解题思路】第一步：根据角平分线的性质得DBPCBP；第二步：根据平行线的性质得DPBCBP，得到DBPDPB；第三步：根据等腰三角形的判定得DBDP，同理可得ECEP，则DBECDPPEDE，即可得到答案第4题图4如图，MON30，P为MON平分线上一点，PDON于点D，PEON，交OM于点E.若OE12 cm，求PD的长解：解：过点过点P作作PCOM于点于点C，如答图，如答图PEON，EPOPOD.OP是是MON的平分线，的平分线，PDON，PCOM，COPDOP，PCPD，EOPEPO，PEOE12 cm.MON30，PEC30，PC6 cm，PD的的长为长为6 cm.第4题答图
