1、第第六六章章圆与图形投影圆与图形投影1.了解圆的定义及有关概念(弦、弧、弦心距,圆心角、圆周角).2.掌握垂径定理.3.掌握圆心角定理、圆周角定理及推论.4.会判断点与圆的位置关系.第第2121讲讲 圆的基本性质圆的基本性质如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,E是AB的中点,点F是BC边上的动点,将EBF沿EF所在的直线折叠到EGF的位置,连结GD.思考:(1)点G的运动轨迹是什么?(2)线段GD的最小值是多少?【答案】(1)是以E为圆心,EG长为半径的弧.(2)连结ED交E于点G,此时线段GD最小,最小值为.【解后感悟】1.圆的定义可理解成到定点的距离等于定长的所有点的集合.2.注意
2、理解圆中最值.类型一类型一圆的有关概念圆的有关概念【解后感悟】等弧:能互相重合的弧.要求:(1)长度相等,(2)度数相等.半径也必定相等.1.(2020长春)如图,AB是O的直径,点C、D在O上,BDC=20,则AOC的大小为()A.40B.140C.160D.170B类型二点与圆的位置关系类型二点与圆的位置关系例2 如图,在ABC中,AB=AC,BC=4,tanB=2.点D是AB的中点.以点D为圆心,R为半径作D.如果点B在D内,点C在D外,试求R的取值范围.【解后感悟】点与圆的位置关系要理清d与r.2.判断下列命题是否成立:(1)A的半径为6,圆心A(3,5),则坐标原点O在A内.(2)一
3、个点到圆的最小距离为6cm,最大距离为9cm,则该圆的半径是7.5cm.【答案】(1)成立.(2)不成立,要考虑点在圆内或圆外两种情况.类型三垂径定理类型三垂径定理例3 (2020衢州)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,AB=10,AC=6,连结OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中点E是AD的中点.(1)求证:CAD=CBA.(2)求OE的长.【答案】(1)证明:AE=DE,OC是半径,CAD=CBA.(2)AB是直径,ACB=90,AE=DE,OCAD,AEC=90,AEC=ACB,AECBCA,CE=3.6,OC=AB=5,OE=OC-EC=5-3.6=1.4.【解后感悟】(1
4、)垂径定理四要素:垂直弦,过圆心,平分弦,平分弧,只要满足2个即可推得另2个.(2)有关垂径定理的计算常用勾股定理,如本题第(2)问也可设OE=x,有25-x2=36-(5-x)2得解.3.(2020荆门)如图,O中,OCAB,APC=28,则BOC的度数为()A.14B.28C.42D.56D类型四类型四 圆心角定理与圆周角定理圆心角定理与圆周角定理例4 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是ABP的外接圆 O的直径 (1)求证：APE是等腰直角三角形；(2)若 O的直径为2，求PC2PB2的值【解后感悟】1.圆心角定理有四个要素:在同圆或等圆中,等弧
5、、等弦、等弦心距、等圆心角,只要一对量相等,那么其余各对量都相等.2.圆周角定理:同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半.圆周角定理推论:(1)直径所对的圆周角是直角.(2)在同圆或等圆中,等圆周角等弧.本题也可以证明ACPABE,PBE是直角三角形来解决.给出的问题通过45构造等腰直角三角形来解决.4.如图,O的弦AB、CD的延长线相交于点P,且PA=PC.求证:【答案】证明:连结AC,PA=PC,PAC=PCA,【探索研究题】如图，已知ABC内接于 O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D为弦BC的中点，DEBC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与 O交于点G，设GAB，ACB，EAGEBA，(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：猜想：关于的函数表达式，关于的函数表达式，并给出证明；(2)若135，CD3，ABE的面积为ABC的面积的4倍，求 O半径的长3040506012013014015015014013012030或150或5C2.(2020黄石)如图,点A、B、C在O上,CDOA,CEOB,垂足分别为D、E,若DCE=40,则ACB的度数为()A.140B.70C.110D.80第2题图C3r5140
