2021年中考数学全国版一轮专题复习指导 4.5　特殊的平行四边形ppt课件.pptx

1、 中考数学第四章图形的认识4.5特殊的平行四边形考点一矩形1.(2019重庆A卷,5,4分)下列命题正确的是()A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.四条边相等的四边形是矩形C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形D.对角线相等的四边形是矩形答案答案A有一个角是直角的平行四边形是矩形,A选项正确;四条边相等的四边形是菱形,B选项错误;有一组邻边相等的平行四边形是菱形,C选项错误;对角线相等的平行四边形是矩形,D选项错误.故选A.2.(2019陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6.若点E、F分别在AB、CD上,且BE=2AE,DF=2FC,G、H是AC的三等分点,则四边形EH

2、FG的面积为()A.1B.C.2D.432答案答案C在矩形ABCD中,AD=BC=6,AB=CD=3,BE=2AE,E是AB的三等分点(靠近点A),G是AC的三等分点(靠近点A),EGBC且EG=BC=2.同理可得HFAD且HF=AD=2.四边形EHFG为平行四边形.又EG与HF间的距离为AB,S四边形EHFG=2AB=2.131313133.(2020云南,6,3分)已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形ABCD的边上的点,且EA=EC.若AB=6,AC=2,则DE的长是.10答案答案或832 343解析解析四边形ABCD是矩形,DC=AB=6,ADC=90,在RtADC中,AD=2.当点E在

3、DC边上时,如图1,设EA=EC=x,图1则DE=6-x,在RtADE中,AD2+DE2=AE2,22+(6-x)2=x2,x=,DE=.当点E在AB边上时,如图2,易求得AE=,22-AC DC40-3610383103在RtADE中,DE=.DE的长为或.图222AEAD2 343832 343解后反思解后反思本题主要考查矩形的性质,勾股定理以及分类讨论的思想,因为点E的位置不确定,需根据EA=EC,讨论点E在边AB和边DC上的情况,分别求DE的长.4.(2020贵州贵阳,18,10分)如图,四边形ABCD是矩形,E是BC边上一点,点F在BC的延长线上,且CF=BE.(1)求证:四边形AE

4、FD是平行四边形;(2)连接ED,若AED=90,AB=4,BE=2,求四边形AEFD的面积.解析解析(1)证明:四边形ABCD是矩形,ADBC,AD=BC.CF=BE,CF+EC=BE+EC,即EF=BC.EF=AD,四边形AEFD是平行四边形.(2)如图.四边形ABCD是矩形,B=90,在RtABE中,AB=4,BE=2,由勾股定理得,EA2=16+4=20,即EA=2.ADBC,DAE=AEB.5B=AED=90,ABEDEA.=,即=,AD=10.由(1)得四边形AEFD是平行四边形,EF=AD=10,又AB=4,S AEFD=EFAB=104=40.BEEAEAAD22 52 5AD

5、考点二菱形1.(2020四川南充,7,4分)如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中点,过点E作EFBD于F,EGAC于G,则四边形EFOG的面积为()A.SB.SC.SD.S1418112116答案答案B四边形ABCD是菱形,ACBD,SOBC=S,EFBD,EGAC,四边形EFOG是矩形,EFOC,EGOB,点E是线段BC的中点,EF、EG都是OBC的中位线,S四边形EFOG=SOBC=S.故选B.1412182.(2020宁夏,5,3分)如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,点E、F分别是边CD、BC的中点,连接EF并延长与AB的延长线相交于点G

6、,则EG=()A.13B.10C.12D.5答案答案B连接BD交AC于点O.在菱形ABCD中,ACBD,且OC=OA=12,在RtDOC中,OD=5,BD=10.又E、F分别是CD、BC的中点,EF=BD=5.易得EFC GFB,EF=FG,EG=10.22-DC OC2213-12123.(2019贵州贵阳,4,3分)如图,菱形ABCD的周长是4cm,ABC=60,那么这个菱形的对角线AC的长是()A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm答案答案A由已知及菱形四条边都相等可知AB=BC=1cm,因为ABC=60,所以三角形ABC为等边三角形,所以AC=AB=1cm,故选A.4.(2019天津

7、,8,3分)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形ABCD的周长等于()A.B.4C.4D.20535答案答案C由点A,B的坐标可得OA=2,OB=1,根据勾股定理可得AB=,由菱形的性质可得AB=AD=CD=CB=,所以菱形ABCD的周长等于4,故选C.22OAOB5555.(2018新疆,9,5分)如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边上的中点,则MP+PN的最小值是()A.B.1C.D.2122答案答案B如图,取AD的中点M,连接MN,MP,则有MP=MP.MP+PN的最小值为线段

8、MN的长,即菱形边长1.故选B.6.(2020新疆,18,8分)如图,四边形ABCD是平行四边形,DEBF,且分别交对角线AC于点E,F,连接BE,DF.(1)求证:AE=CF;(2)若BE=DE,求证:四边形EBFD为菱形.证明证明(1)DEBF,DEF=BFE,AED=BFC(等角的补角相等),又四边形ABCD为平行四边形,AD=BC且ADBC,DAE=BCF,在ADE和CBF中,ADE CBF(AAS).AE=CF.(2)由(1)可知ADE CBF,DE=BF,又DEBF,四边形EBFD为平行四边形,又BE=DE,平行四边形EBFD为菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).,AEDCFB

9、DAEBCFADCB 思路分析思路分析(1)由DEBF证出DEF=BFE,可得AED=BFC;由四边形ABCD是平行四边形可证得AD=BC且ADBC,从而有DAE=BCF,利用AAS得出ADE CBF,即得AE=CF.(2)由(1)中的ADE CBF可得到DE=BF,从而证得四边形EBFD为平行四边形,结合BE=DE可证得结论.考点三正方形1.(2019甘肃兰州,12,4分)如图,边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,则OM=()A.B.C.-1D.-12122232答案答案D连接EM,由折叠性质可

10、知EM=CM,DE=DC=,在正方形ABCD中,AC=DC=2,OC=OD=AC=1,ACBD,EM=CM=1-OM,OE=-1.解法一:在RtEOM中,OM2+OE2=EM2,即OM2+=(1-OM)2,解得OM=-1.解法二:易知DMO=FMC,且DOC=DFC=90,ODM=FCM,又OD=OC,DOM=COE=90,DOM COE,OM=OE=-1,故选D.221222(2-1)222.(2019内蒙古包头,11,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E、F分别在边BC和CD上,AE=AF,EAF=60,则CF的长是()A.B.C.-1D.31432323答案答案C如图,连接EF

11、,在正方形ABCD中,AB=AD,B=D=90.又AE=AF,RtABE RtADF,BE=DF.BC=CD,CE=CF.EAF=60,AEF是等边三角形.设CE=x(0 x13,最小整数n应为14,所以甲的思路正确,他的n值错误;当x为矩形外接圆直径长(即矩形对角线长)时,x=13,最小整数n应为14,所以乙的思路正确,他的n值正确;根据丙的思路,x=(6+12)=913,所以丙的思路错误,他的n值错误.故选B.22612180180222思路分析思路分析分别按甲、乙、丙三人的思路求出各自x的值,根据题意确定各自所取n的值并与矩形对角线长进行比较即可得解.易错警示易错警示三者思路的正误及n值

12、的判断取决于x值不能小于矩形对角线长.2.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为.答案答案3或65解析解析在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD=10,AB0),在RtABD中,BD=4x,在RtCDF中,CF=CDsinFDC=CDsin60=2x=x,DF=CDcosFDC=CDcos60=2x=x,sinABBDAsin30AB212x32312在RtABE中,BE=ABcosABE=2x=x,EF=BD-BE-DF=4x-x-x=2x,在Rt

13、CEF中,tanDEC=.12FCEF32xx325.(2019贵州贵阳,15,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,DCA=30,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以DF为斜边作DFE=30的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程中,点E的运动路径长是.答案答案4 33解析解析连接BD,交AC于点O,矩形ABCD中,DCA=30,三角形AOD为等边三角形.AB=4,AD=OD=ABtan30=.当点F与点A重合时,点E在OD的中点E1处,DE1=OD=;当点F与点C重合时,点E(即E2)在DC的上方.连接E1E2,易知E1DE2=ADC=90,DE1E

14、2=60.DFE=DAE1=30,=,又FDE=ADE1=60,FDA=EDE1,ADFE1DE,DAF=DE1E=60,由此可知点E的运动轨迹为线段E1E2,E1DE2=90,DE1E=60,E1E2=2DE1=.4 33122 331DEADDEDF124 33思路分析思路分析首先确定点E的始点和终点,进而确定点E的运动轨迹,最后利用直角三角形的性质求得结果.易错警示易错警示本题的关键是确定点E的运动轨迹,错误得出点E的位置变化也就造成了误解.6.(2019福建,18,8分)如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,CD上,且DF=BE.求证:AF=CE.证明证明四边形ABCD是矩形,D=

15、B=90,AD=CB.在ADF和CBE中,ADF CBE,AF=CE.,ADCBDBDFBE 7.(2019江西,13(2),3分)如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC、BD相交于点O,且OA=OD.求证:四边形ABCD是矩形.证明证明AB=CD,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形.OA=AC,OD=BD,又OA=OD,AC=BD.ABCD是矩形.1212考点二菱形1.(2020贵州贵阳,7,3分)菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是()A.5B.20C.24D.32答案答案B如图所示,四边形ABCD为菱形,对角线AC、BD交于点O,且AC=8,BD=6,

16、在菱形ABCD中,ACBD,OA=AC=4,OB=BD=3,AB=5,又菱形的四条边相等,菱形的周长=45=20.故选B.121222OAOB2.(2018贵州贵阳,5,3分)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EFCB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为()A.24B.18C.12D.9答案答案AE是AC的中点,AC=2AE.EFCB,=2,BC=2EF=6,菱形ABCD的周长为64=24.故选A.BCEFACAE3.(2020陕西,14,3分)如图,在菱形ABCD中,AB=6,B=60,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边

17、交于点F,则线段EF的长为.答案答案27解析解析过A作AGBC于G,过E作EHBC于H,则四边形AGHE为矩形,AE=GH=2.在菱形ABCD中,AB=6,B=60,AG=ABsinB=6=3=EH,BG=ABcosB=6=3.HC=BC-BG-GH=6-3-2=1.EF平分菱形ABCD的面积,AE=FC=2.FH=FC-CH=2-1=1.32312在RtEFH中,由勾股定理可得EF=2.22EHFH22(3 3)174.(2019浙江温州,15,5分)三个形状、大小相同的菱形按如图所示的方式摆放,已知AOB=AOE=90,菱形的较短对角线长为2cm.若点C落在AH的延长线上,则ABE的周长为

18、cm.答案答案(12+8)2解析解析过C作OA的垂线交AO的延长线于M,设菱形的较长对角线长为xcm.点C落在AH的延长线上,在AMC中,OM=1,AM=x+1,CM=,OH=OC=,又COH=COB+BOH=AOH+BOH=AOB=90,SACM=SCOH+SCOM+SOAH,=+,即x2-4x-4=0,解得x1=2+2,x2=-2+2(舍),ABE的周长=AB+AE+OB+OE2x2212x214x(1)22xx 22142x122x12x22=x+x+x+x=(2+2)x=(2+2)(2+2)=(12+8)cm.2222225.(2018辽宁沈阳,18,8分)如图,在菱形ABCD中,对角

19、线AC与BD交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两直线相交于点E.(1)求证:四边形OCED是矩形;(2)若CE=1,DE=2,则菱形ABCD的面积是.解析解析(1)证明:四边形ABCD为菱形,ACBD,COD=90.CEOD,DEOC,四边形OCED是平行四边形.COD=90,平行四边形OCED是矩形.(2)4.由四边形OCED是矩形得OC=DE=2,OD=CE=1,S菱形ABCD=4SOCD=421=4.126.(2019甘肃兰州,22,7分)如图,AC=8,分别以A,C为圆心,以长度5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D,依次连接A,B,C,D,连接BD交AC于点O.(

20、1)判断四边形ABCD的形状并说明理由;(2)求BD的长.解析解析(1)由题可知,BD垂直平分AC,且AB=BC=CD=AD=5,四边形ABCD为菱形.(2)AC=8,BDAC且BD平分AC,OA=OC=4,在RtAOB中,OB=3,BD=2OB=23=6,BD的长为6.22-AB OA225-47.(2019北京,20,5分)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF.(1)求证:ACEF;(2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O.若BD=4,tanG=,求AO的长.12解析解析(1)证明:四边形ABCD为菱形,AB=AD,AC平分

21、BAD.BE=DF,AE=AF.ACEF.(2)四边形ABCD为菱形,AO=OC,OD=BD,ACBD.EFAC,BDEG.G=BDC.BD=4,OD=2.在RtCOD中,由tanCDO=tanG=,可得OC=1.1212AO=1.8.(2020云南,22,9分)如图,四边形ABCD是菱形,点H为对角线AC的中点,点E在AB的延长线上,CEAB,垂足为E,点F在AD的延长线上,CFAD,垂足为F.(1)若BAD=60,求证:四边形CEHF是菱形;(2)若CE=4,ACE的面积为16,求菱形ABCD的面积.解析解析(1)证明:在菱形ABCD中,BAD=60,BAC=30.(1分)CEAB,垂足为

22、E,H为对角线AC的中点,CE=AC=CH,ECH=90-EAC=60.CEH是等边三角形,CE=CH=EH.同理可证CF=CH=FH.(3分)CE=EH=FH=CF,四边形CEHF是菱形.(4分)(2)CE=4,SACE=16,CEAB,垂足为E,AECE=16,解得AE=8.(6分)四边形ABCD是菱形,AB=BC.设AB=BC=x,则BE=8-x.由BC2=CE2+BE2,即x2=42+(8-x)2,1212解得x=5,即AB=5.(8分)SABC=ABCE=54=10,S菱形ABCD=2SABC=20.(9分)1212思路分析思路分析(1)根据菱形的性质和含30角的直角三角形的性质,判

23、定CEH为等边三角形,得CE=CH=EH,进而得出四边形CEHF的四条边都相等;(2)由SACE=CEAE求得边AE的长,在RtBCE中利用勾股定理得BC的长,进而可求得菱形ABCD的面积.129.(2018北京,21,5分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分BAD,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=,BD=2,求OE的长.5解析解析(1)证明:ABCD,OAB=DCA.AC平分BAD,OAB=DAC,DCA=DAC,CD=AD.又AB=AD,AB=CD,四边形ABCD为平行四边形.又

24、CD=AD=AB,四边形ABCD为菱形.(2)四边形ABCD为菱形,OA=OC,BDAC.CEAE,OE=AO=OC.BD=2,OB=BD=1.在RtAOB中,AB=,OB=1,OA=2,OE=2.12522-AB OB考点三正方形1.(2019新疆,9,5分)如图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,AE与BD交于点P,F是CD上一点,连接AF分别交BD,DE于点M,N,且AFDE,连接PN,则以下结论中:SABM=4SFDM;PN=;tanEAF=;PMNDPE.正确的是()A.B.C.D.2 651534答案答案A正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,AB=BC=CD=AD

25、=2,ABC=C=ADF=90,CE=BE=1.AFDE,易证ADF DCE,DF=CE=1.ABDF,ABMFDM,=4,SABM=4SFDM,故正确.由勾股定理可知:AF=DE=AE=,ADDF=AFDN,DN=,EN=,AN=,tanEAF=,故正确.ABMFDMSS2ABDF2212512122 553 5522-AD DN4 55ENAN34过点P作PHAN于点H.BEAD,=2,PA=,sinEAF=,PAPEADBE2 53ENAE35PH=PAsinEAF=,PHEN,=,AH=,HN=,PN=,故正确.PNDN,DPNPDE,PMN与DPE不相似,故错误.故选A.2 55AH

26、ANPAAE23234 558 5154 51522PHNH2 65152.(2019广东,10,3分)如图,正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边在上方作正方形EFGB,延长FG交DC于M,连接AM、AF,H为AD的中点,连接FH分别与AB、AM交于点N、K,则下列结论:ANH GNF;AFN=HFG;FN=2NK;SAFN SADM=1 4,其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案答案C因为正方形ABCD的边长为4,正方形EFGB的边长为2,H为AD的中点,所以FG=AH=2,HAN=FGN=90,ADFM,所以AHN=GFN,所以ANH GNF,故正

27、确.因为在RtAFG中,AF=2,而AH=2,所以AHFAFH,则AFNHFG,故错误.由ADFM,可知AHKMFK,所以HK FK=AH FM=2 6=1 3.因为ANH GNF,所以FN=HN,所以HF=4HK=2FN,所以HK=NK,所以FN=2NK,故正确.易求得SAFN=12=1,SADM=24=4,所以SAFN SADM=1 4,故正确.综上所述,正确的结论有3个,故选C.222221212方法总结方法总结证明三角形全等,从已知中找边和角相等;在一个三角形中看两角是否相等,可以证明相对两边是否相等;一个边是另一个边的倍数关系常要联系到相似.3.(2019安徽,10,4分)如图,在正

28、方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12.点P在正方形的边上,则满足PE+PF=9的点P的个数是()A.0B.4C.6D.8答案答案D如图,作E,F关于AD的对称点E1,F1,连接E1F,EF1,交AD于H点,连接EE1,FF1,过点F作FOEE1,交E1E的延长线于点O,当P点在H点时,PE+PF取得最小值,由已知得AE=EF=CF=4,四边形ABCD是正方形,易求OE=EM=ME1=2,OF=OE=2,OE1=6,由勾股定理可得EF1=E1F=9,在AH和HD上各存在一点P,使得PE+PF=9,同理在AB、BC、CD上各存在2个这样的P点,一共有8个这样的P点,故选D.22

29、222(2 2)(6 2)80思路分析思路分析因为正方形具有对称性,所以只需找出正方形一条边上满足条件的个数,然后乘4即可,由E,F为定点且为AC的三等分点,分别作E,F关于AD的对称点,这样可求出PE+PF的最小值为9,从而可得AD上满足条件的点有两个,问题解决.804.(2017内蒙古呼和浩特,9,3分)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,E,F为BD所在直线上的两点.若AE=,EAF=135,则以下结论正确的是()A.DE=1B.tanAFO=C.AF=D.四边形AFCE的面积为51310294答案答案C四边形ABCD是边长为1的正方形,对角线AC、BD互相垂直平分且相等,AO=OD

30、=,在RtAOE中,OE=,DE=OE-OD=,A选项错误;易知ADO=45,ADE=135,ADE=EAF,又AED=FEA,DAEAFE,=,AF=,C选项正确;在RtAOF中,OF=,tanAFO=,B选项错误;EF=OF+OE=,四边形AFCE的面积=EFAC=,D选项错误.故选C.2222-AE AO3 222DEAEADAFAEFE2510222-AF AO2AOOF125 2212125 222525.(2019北京,14,2分)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼成如图2,图3所示的正方形,则图1中菱形的面积为.答案答案12解析解析设题图1中

31、一个小直角三角形的两条直角边长分别为a,b,则由题图2,题图3可列方程组解得所以题图1中菱形的面积为46=12.5,-1.aba b3,2.ab126.(2019江西,8,3分)我国古代数学名著孙子算经有估算方法:“方五,邪(通“斜”)七.见方求邪,七之,五而一.”译文为:如果正方形的边长为五,则它的对角线长为七.已知正方形的边长,求对角线长,则先将边长乘七再除以五.若正方形的边长为1,由勾股定理得对角线长为,依据孙子算经的方法,则它的对角线的长是.2答案答案75解析解析根据孙子算经的方法,求一个正方形的对角线长,则先将边长乘七再除以五,所以边长为1的正方形的对角线长为175=.757.(20

32、18内蒙古呼和浩特,16,3分)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM45,所以无论点M运动到何处,CHM一定大于135,故正确.所以都正确.2思路分析思路分析点E在运动的过程中,CBA=CHE=90,故B、E、H、C四点共圆,作出图形,再进行判断.解题关键解题关键解决本题的关键是要借助中点发现辅助圆.8.(2019北京,16,2分)在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合).对于任意矩形ABCD,下面四个结论中,存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;存在无数个四边形MNPQ是矩形;存在无数个四边形MNPQ是菱形;

33、至少存在一个四边形MNPQ是正方形.所有正确结论的序号是.答案答案解析解析如图,由于是任意矩形,不妨设ADAB,取矩形的中心O,在AB边上任取一点M,连接MO并延长交CD于点P,在BC边上任取一点N,连接NO并延长交AD于点Q,则四边形MNPQ是平行四边形,因为是任取,所以存在无数个四边形MNPQ是平行四边形,正确.可以构造NQ总垂直于MP,所以存在无数个四边形MNPQ是菱形,正确.以点O为圆心,OM长为半径作圆,当MO=AD时,O与矩形有六个交点,取AD与BC边上关于O点对称的两个交点分别为Q,N,取AB,DC边上的交点分别为M,P(如图1),顺次连接这四个交点,则四边形MNPQ为矩形;当A

34、DMOAO时,有8个交点,隔一个点取一个点分别为M,N,P,Q(如图2),顺次连接这四个交点,则四边形MNPQ为矩形.所以存在无数个四边形MNPQ是矩形,正确.12ADOMAO1212图1图2当四边形MNPQ是正方形时,MQ=PQ,MQP=90,易证AMQ DQP,AM=QD,AQ=PD,易证BOM DOP,PD=BM,AQ=BM,AB=AM+BM=QD+AQ=AD,四边形ABCD是正方形,与任意矩形ABCD矛盾,所以错误.所以正确结论的序号是.思路分析思路分析本题需要借助(特殊)平行四边形与对角线相关的判定方法来解决.解题关键解题关键解决本题的关键是用对角线的关系判定四边形的形状画图时一定要

35、关注AC,BD的交点O.9.(2019山东潍坊,22,10分)如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接DG,过点A作AHDG,交BG于点H.连接HF,AF,其中AF交EC于点M.(1)求证:AHF为等腰直角三角形;(2)若AB=3,EC=5,求EM的长.解析解析(1)证明:ADCG,AHDG,四边形ADGH为平行四边形,(1分)AD=HG.AD=BC,BC=HG,BC+CH=GH+HC,(2分)即BH=CG,GF=BH.(3分)在ABH和HGF中,AB=HG,B=HGF,BH=GF,ABH HGF,(4分)BAH=GHF,AH=HF.BAH+BHA=90,GHF+BHA=9

36、0,AHF=90,(5分)AHF为等腰直角三角形.(6分)(2)AB=3,EC=5,AD=CD=3,CE=EF=5,DE=2.(7分)ADEF,=,(9分)EM=DE=.(10分)DMEMADEF355854一题多解一题多解(1)四边形ABCD,四边形ECGF都是正方形,DABC,AD=CD,FG=CG,B=CGF=90.又AHDG,四边形AHGD是平行四边形,AH=DG,AD=HG=CD.DCG=HGF=90,FG=CG,DCG HGF(SAS),DG=HF,HFG=DGC,AH=HF.HGD+DGF=90,HFG+DGF=90,DGHF.AHDG,AHHF,AHF为等腰直角三角形.10.(

37、2020山西,22,12分)问题情境:如图,点E为正方形ABCD内一点,AEB=90,将RtABE绕点B按顺时针方向旋转90,得到CBE(点A的对应点为点C).延长AE交CE于点F,连接DE.猜想证明:(1)试判断四边形BEFE的形状,并说明理由;(2)如图,若DA=DE,请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明;解决问题:(3)如图,若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长.解析解析(1)四边形BEFE是正方形.(1分)理由:由旋转可知E=AEB=90,(2分)EBE=90.(3分)又AEB+FEB=180,AEB=90,FEB=90.四边形BEFE是矩形.(4分)由旋转可知,BE=BE.

38、四边形BEFE是正方形.(5分)(2)CF=FE.证明:如图,过点D作DHAE,垂足为H,(6分)则DHA=90,1+3=90,DA=DE,AH=AE.(7分)四边形ABCD是正方形,AB=DA,DAB=90.1+2=90.2=3.AEB=DHA=90,AEB DHA.(8分)AH=BE.由(1)知四边形BEFE是正方形,12BE=EF.AH=EF.(9分)由旋转可得CE=AE,FE=CE.CF=FE.(10分)12(3)3.(12分)详解:由(1)知四边形BEFE是正方形,FE=BE,由旋转得CE=AE,CF=3,BE=FE=AE-3,在RtABE中,AE2+BE2=AB2,即AE2+(AE

39、-3)2=152,解得AE=12或-9(舍),作DHAE于H点,DAH+ADH=DAH+EAB=90,ADH=EAB,又AHD=AEB=90,DAHABE,=1,DH=AE=12,AH=9,HE=3,DE=3.DHAEADAB22-AD DH2215-1222HEDH2231217思路分析思路分析(1)根据旋转先证四边形BEFE是矩形,再由旋转得BE=BE,问题得解;(2)作DHAE于点H,由等腰三角形“三线合一”可得点H为AE的中点,根据四边形ABCD是正方形可证AEB DHA,可得AH=BE,再根据(1)的结论及旋转可证;(3)由(1)可知BE=AE-3,在RtABE中,AE2+BE2=A

40、B2,解得AE=12,再作DHAE于H点,易证DAHABE,从而求出DH、AH,最后在RtDHE中求出DE.11.(2020四川南充,24,10分)如图,边长为1的正方形ABCD中,点K在AD上,连接BK,过点A,C作BK的垂线,垂足分别为M,N,点O是正方形ABCD的中心,连接OM,ON.(1)求证:AM=BN;(2)请判定OMN的形状,并说明理由;(3)若点K在线段AD上运动(不包括端点),设AK=x,OMN的面积为y,求y关于x的函数关系式(写出x的范围);若点K在射线AD上运动,且OMN的面积为,请直接写出AK的长.110解析解析(1)证明:AMBM,CNBN,AMB=BNC=90.又

41、ABC=90,MAB+MBA=90,NBC+MBA=90,MAB=NBC.(1分)又AB=BC,AMB BNC,AM=BN.(2分)(2)OMN是等腰直角三角形.(3分)理由如下:连接OB,O为正方形ABCD的中心,MAB-OAB=NBC-OBC,即MAO=OBN.(4分)OA=OB,AM=BN,AMO BNO,OM=ON,AOM=BON.(5分)AOB=AON+BON=90,MON=90.OMN是等腰直角三角形.(6分)(3)在RtABK中,BK=.由BKAM=ABAK,得BN=AM=.(7分)由AK2=KMBK,得KM=.(8分)MN=BK-BN-KM=-=.SOMN=MN2=.即y=(0

42、 x0),则BG=x-2,又知EG=4,在RtBGE中,利用勾股定理可得x2+(x-2)2=42,解得x=+.BE=+.222626三、解答题三、解答题(共33分)10.(2020江西南昌一模,15)如图,在矩形ABCD中,E、F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF,若ACEF,试判断四边形AECF的形状,并说明理由.解析解析四边形AECF是菱形,理由如下:四边形ABCD是矩形,B=D=90,AB=CD,AD=BC,ADBC.在RtABE和RtCDF中,RtABE RtCDF(HL),BE=DF.BC=AD,BC-BE=AD-DF,即CE=AF,又CEAF,四边形AECF是平行四边形,又AC

43、EF,四边形AECF是菱形.,AECFABCD11.(2020海南琼海一模,19)如图,已知在四边形ABCD中,ADBC,ABAD,BC=CD,BECD,垂足为点E,点F在BD上,连接AF、EF.(1)求证:AD=ED;(2)如果AFCD,判断四边形ADEF是什么特殊四边形,证明你的结论.解析解析(1)证明:BC=CD,CDB=CBD.ADBC,ADB=CBD.ADB=CDB.ABAD,BECD,BAD=BED=90,又BD=BD,ABD EBD,AD=ED.(2)四边形ADEF是菱形.证明:AFCD,AFD=EDF.又EDF=ADF,AFD=ADF,AF=AD.又AD=ED,AF=DE.四边

44、形ADEF是平行四边形,又AD=ED,四边形ADEF是菱形.12.(2019甘肃定西一诊,24)如图,在ABC中,点F是BC的中点,点E是线段AB的延长线上的动点,连接EF,过点C作AB的平行线CD,与线段EF的延长线交于点D,连接CE、BD.(1)求证:四边形DBEC是平行四边形;(2)若ABC=120,AB=BC=4,则在点E的运动过程中:当BE=时,四边形BECD是矩形,试说明理由;当BE=时,四边形BECD是菱形.解析解析(1)证明:ABCD,CDF=FEB,DCF=EBF.点F是BC的中点,BF=CF.在DCF和EBF中,DCF EBF(AAS),DC=BE.又DCBE,四边形BEC

45、D是平行四边形.(2)2.理由如下:当四边形BECD是矩形时,CEB=90.ABC=120,CBE=60,ECB=30,BE=BC=2.4.详解:四边形BECD是菱形,BE=EC,ABC=120,CBE=60,CBE是等边三角形,BE=BC=4.,CDFFEBDCFEBFFCBF 12B组20182020年模拟提升题组时间:50分钟分值:65分一、选择题一、选择题(每小题3分,共15分)1.(2020辽宁大连金州一模,9)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B落在AD上点F处,折痕为EC,若AB=3,BC=5,则AE的长为()A.B.1C.D.234353答案答案C由折叠知CF=BC=5,EF=

46、BE.CD=AB=3,D=90,DF=4,AF=5-4=1.设AE=x,则BE=EF=3-x,A=90,AE2+AF2=EF2,即x2+12=(3-x)2,解得x=,AE=.故选C.22-CF CD43432.(2020海南琼海一模,5)如图,在矩形ABCD中,AD=2AB,点M、N分别在边AD、BC上,连接BM、DN.若四边形MBND是菱形,则等于()A.B.C.D.AMMD38233545答案答案C四边形MBND是菱形,MD=MB.四边形ABCD是矩形,A=90.设AB=x,AM=y(x、y均为正数),则MB=2x-y.在RtABM中,AB2+AM2=BM2,即x2+y2=(2x-y)2,

47、解得x=y,MD=MB=2x-y=y,=.故选C.4353AMMD53yy353.(2019陕西宝鸡陈仓一模,8)如图,在矩形ABCD中,AD=10,AB=6,E为BC上一点,ED平分AEC,则CE的长为()A.1B.2C.3D.4答案答案B四边形ABCD是矩形,ADBC,DEC=ADE,又DEC=AED,ADE=AED,AE=AD=10.在RtABE中,BE=8,CE=BC-BE=AD-BE=10-8=2.故选B.22-AE AB2210-64.(2020甘肃兰州一诊,12)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为AB,AD的中点,CE,BF相交于点G,AB=2,则CG=()A.B.C.D.

48、322 534 354 55答案答案D在正方形ABCD中,BC=AB=2,A=EBC=90,点E,F分别为AB,AD的中点,AF=BE=1.在AFB与BEC中,AFB BEC,FBA=ECB.ECB+BEC=90,FBA+BEC=90,EGB=90.tanECB=,设BG=x,CG=2x,x0,由勾股定理可知x2+4x2=4,解得x=(舍负),CG=,故选D.,AFBEAEBCABBC BGCGEBBC122 554 555.(2019天津红桥一模,11)如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,P为AB上的一个动点,若AB=2,则PE+PC的最小值为()A.1+2B.2C.2+D.23513

49、答案答案D作点C关于直线AB的对称点Q,连接EQ交AB于P,则此时PE+PC的值最小,PE+PC的最小值为EQ的长.过E作EFBC于F,则四边形ABFE是矩形,EF=AB=2,BF=AE=AD=1,QF=3,EQ=,故选D.1222EFFQ222313二、填空题二、填空题(每小题3分,共9分)6.(2020江西南昌二模,10)如图,在菱形ABCD中,BAD=45,DE是AB边上的高,BE=1,则菱形的面积为.答案答案4+32解析解析设AB=x,四边形ABCD是菱形,AD=AB=x.BAD=45,DEAB,BAD=ADE=45,AE=ED=x-1,在RtADE中,由勾股定理得AD2=AE2+DE

50、2,即x2=(x-1)2+(x-1)2,x=2+或x=2-(舍去),AD=AB=2+,DE=+1,菱形的面积=ABDE=(2+)(+1)=4+3.22222227.(2019湖北武汉东西湖区模拟,14)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内的点F处,连接CF,则CF的长为.答案答案185解析解析连接BF,设BF与AE交于点H.BC=6,点E为BC的中点,BE=3.又AB=4,ABE=90,AE=5,易知BHAE,BH=,则BF=.FE=BE=EC,BFC=90,根据勾股定理得,CF=.22ABBE12524522-BC BF22246