2021年中考数学全国版一轮专题复习指导第五章圆5.2　与圆有关的位置关系ppt课件.pptx

1、 中考数学5.2与圆有关的位置关系考点一点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2020广东广州,7,3分)如图,RtABC中,C=90,AB=5,cos A=,以点B为圆心,r为半径作B,当r=3时,B与AC的位置关系是()A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定45答案答案BC=90,AB=5,cos A=,AC=ABcos A=5=4,BC=3.r=3,B与AC的位置关系是相切.故选B.ACAB454522-AB AC225-42.(2019广东广州,5,3分)平面内,O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作O的切线的条数为()A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条答案答案C点P到

2、点O的距离为2,O的半径为1,点P到圆心的距离大于半径,点P在O外.过圆外一点可以作圆的两条切线,过点P可以作O的两条切线.故选C.考点二切线的判定与性质1.(2020重庆A卷,5,4分)如图,AB是O的切线,A为切点,连接OA,OB,若B=20,则AOB的度数为()A.40 B.50 C.60 D.70答案答案DAB是O的切线,OAB=90,又B=20,AOB=90-20=70,故选D.2.(2019重庆A卷,4,4分)如图,AB是O的直径,AC是O的切线,A为切点,BC与O交于点D,连接OD.若C=50,则AOD的度数为()A.40 B.50 C.80 D.100答案答案CAC是O的切线,

3、AB是O的直径,ABAC,CAB=90.C=50,B=180-90-50=40.AOD=2B=240=80,故选C.3.(2020山西,18,7分)如图,四边形OABC是平行四边形,以点O为圆心,OC为半径的O与AB相切于点B,与AO相交于点D,AO的延长线交O于点E,连接EB交OC于点F.求C和E的度数.解析解析连接OB.(1分)AB与O相切于点B,OBAB.OBA=90.(2分)四边形OABC是平行四边形,ABOC.BOC=OBA=90.(3分)OB=OC,C=OBC=(180-BOC)=(180-90)=45.(4分)四边形OABC是平行四边形,A=C=45.(5分)AOB=180-A-

4、OBA=180-45-90=45.(6分)E=DOB=AOB=45=22.5.(7分)1212121212思路分析思路分析连接OB,由切线的性质可得OBAB,再由四边形OABC是平行四边形可得BOC=OBA=90,然后根据OB=OC可求C,根据圆周角定理可求E.4.(2020陕西,23,8分)如图,ABC是O的内接三角形,BAC=75,ABC=45.连接AO并延长,交O于点D,连接BD.过点C作O的切线,与BA的延长线相交于点E.(1)求证:ADEC;(2)若AB=12,求线段EC的长.解析解析(1)证明:如图,连接OC.CE与O相切于点C,OCE=90.(1分)又ABC=45,AOC=90.

5、ADEC.(3分)(2)如图,过点A作AFEC,垂足为F.OA=OC,四边形AOCF为正方形.ABC=45,BAC=75,ACB=60.D=60.AD是直径,ABD=90,BAD=30.在RtABD中,AD=8.(6分)AF=CF=OA=4.ADEC,E=BAD=30.在RtAEF中,EF=12.EC=EF+FC=12+4.(8分)cos30AB33tan30AF35.(2020宁夏,23,8分)如图,在ABC中,B=90,点D为AC上一点,以CD为直径的O交AB于点E,连接CE,且CE平分ACB.(1)求证:AE是O的切线;(2)连接DE,若A=30,求.BEDE解析解析(1)证明:连接OE

6、.CE平分ACB,ACE=BCE.又OE=OC,ACE=OEC,BCE=OEC,OEBC,(2分)AEO=B.又B=90,AEO=90,OEAE,OE是O的半径,AE是O的切线.(4分)(2)解法一:CD是O的直径,DEC=90.又DCE=ECB,DCEECB.=.(6分)BEDECECDA=30,B=90,ACB=60,DCE=ACB=60=30.=cosDCE=cos 30=.=.(8分)解法二:设OD=OC=r,在RtAOE中,A=30,OE=r,AO=2r,即D为AO的中点,DE=AO=r.(6分)在RtABC中,AC=3r,A=30,BC=r.在RtBCE中,BC=r,BCE=30,

7、BE=BCtan 30=r=r,1212CECD32BEDE32123232323332=.(8分)BEDE32思路分析思路分析(1)连接OE,根据OE=OC及CE平分ACB可证OEBC,又B=90,从而可证OEAE,问题解决.(2)解法一:先证DCEECB,可得=,由A=30求出DCE的度数,再由cosDCE=求出的值;解法二:设OD=OC=r,在RtAOE中求出OA、DE的长,在RtABC中求出BC的长,在RtBCE中求出BE的长,从而求出的值.BEDECECDCECDBEDEBEDE6.(2019新疆,22,10分)如图,AB是O的直径,CD与O相切于点C,与AB的延长线交于点D,CEA

8、B于点E.(1)求证:BCE=BCD;(2)若AD=10,CE=2BE,求O的半径.解析解析(1)证明:连接OC,AC,AB是直径,ACB=90,ACO+OCB=90,又CD是O的切线,OCD=90,OCB+BCD=90.ACO=BCD.(2分)CEAB,CEB=90,BCE+ABC=90,A+ABC=90,BCE=A.OA=OC,A=ACO=BCD.BCE=BCD.(5分)(2)作BFCD于点F,得BFDCED,由(1)得BF=BE.CE=2BE,=,即CD=2BD.(7分)BCD=A,CDB=ADC,CBDACD,=.AD=10,BD=,AB=,OA=.O的半径为.(10分)BDCDBFC

9、EBECE12BDCDCDAD521521541547.(2019辽宁大连,23,10分)如图1,四边形ABCD内接于O,AC是O的直径,过点A的切线与CD的延长线相交于点P,且APC=BCP.(1)求证:BAC=2ACD;(2)过图1中的点D作DEAC,垂足为E(如图2).当BC=6,AE=2时,求O的半径.解析解析(1)证明:AC是O的直径,ABC=90,PA是O的切线,PAAC,PAC=90,APC=90-ACD,BCD=APC,BCD=90-ACD,ACB=BCD-ACD=90-2ACD,BAC=90-ACB=90-(90-2ACD)=2ACD.(2)连接DO并延长,与BC交于点F,如

10、图.AOD=2ACD,BAC=2ACD,AOD=BAC,DFAB,DFC=ABC=90,DFBC,BF=FC=3,DEAC,DEO=DFC=90,DOE=COF,OD=OC,DOE COF,DE=FC=3,在RtDOE中,OD2=DE2+OE2,即OD2=32+(OD-2)2,解得OD=,即O的半径为.1341348.(2018天津,21,10分)已知AB是O的直径,弦CD与AB相交,BAC=38.(1)如图,若D为的中点,求ABC和ABD的大小;(2)如图,过点D作O的切线,与AB的延长线交于点P,若DPAC,求OCD的大小.AB解析解析(1)AB是O的直径,ACB=90.BAC+ABC=9

11、0.又BAC=38,ABC=90-38=52.由D为的中点,得=.ACD=BCD=ACB=45.ABD=ACD=45.(2)如图,连接OD.ABADBD12DP切O于点D,ODDP,即ODP=90.DPAC,BAC=38,P=BAC=38.AOD是ODP的外角,AOD=ODP+P=128.ACD=AOD=64.又OA=OC,得ACO=BAC=38.12OCD=ACD-ACO=64-38=26.考点三三角形的内切圆1.(2019云南,13,4分)如图,ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=5,BC=13,CA=12,则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A.4 B

12、.6.25 C.7.5 D.9答案答案AAB=5,BC=13,AC=12,AB2+AC2=52+122=132=BC2,ABC为直角三角形,且A=90.AB,AC分别与O相切于点F,E,OFAB,OEAC,A=AEO=AFO=90,又OE=OF,四边形AEOF是正方形.设OE=r,则AE=AF=r,又ABC的内切圆O与BC,AC,AB分别相切于点D,E,F,BD=BF=5-r,CD=CE=12-r,BD+CD=BC,5-r+12-r=13,解得r=2,S阴影=22=4.故选A.2.(2019内蒙古呼和浩特,24,9分)如图,以RtABC的直角边AB为直径的O交斜边AC于点D,过点D作O的切线与

13、BC交于点E,弦DM与AB垂直,垂足为H.(1)求证:E为BC的中点;(2)若O的面积为12,AHD和BMH的外接圆面积之比为3,求DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比.解析解析(1)证明:连接OE,在ODE和OBE中,ODE OBE,DOE=BOE=DOB,ODOBOEOEEDEB12又DAB=DOB,DAB=BOE,OEAC,又O是AB的中点,E为BC的中点.(2)AHD与MHB都是直角三角形,且DAH=HMB,AHDMHB,其外接圆面积的比=3,=,易得AHDMHB,=,又DH=HM,=,BMH=30=DAH,C=60,又易知O的半径为2,AB=4,在RtABC中,

14、可求得BC=4,AC=8,122ADBMADBM3ADBMDHHB3HMHB333连接BD,由题意知BDC是直角三角形,由(1)知E是斜边BC的中点,而C=60,CDE是等边三角形,且边长为2,CDE的内切圆的半径r1=,又四边形ODEB的外接圆直径为OE,OE=AC=4,四边形ODEB的外接圆的半径r2=2,=.331212SS112考点一点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系教师专用题组1.(2020广东,17,4分)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,ABC=90,点

15、M,N分别在射线BA,BC上,MN的长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为 .答案答案2-25解析解析连接BE,在此滑动过程中,MN的长度始终保持不变,ABC=90,BE=MN,长度也始终保持不变.显然点E在以点B为圆心,MN的长为半径的圆弧上.如图,当B、D、E三点共线时,DE有最小值.ABC=90,MN=4,E为MN的中点,BE=2.点D到BA,BC的距离分别为4和2,BD=2,DE最小值=BD-BE=2-2.1212224255解题关键解题关键确定猫与老鼠的距离DE的最小值需判断点E的运动轨迹,利用直角

16、三角形斜边的中线等于斜边的一半确定点E在以点B为圆心,MN的长为半径的圆弧上是解题的关键.122.(2019河北,25,10分)如图1和图2,ABCD中,AB=3,BC=15,tanDAB=.点P为AB延长线上一点,过点A作O切CP于点P,设BP=x.(1)如图1,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系;(2)当x=4时,如图2,O与AC交于点Q,求CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小;(3)当O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围.图1 图243PQ解析解析(1)O切CP于点P,OPPC,即CPB=90.由四边形ABCD是平

17、行四边形得ADBC,tanCBP=tanDAB=,设PC=4k,BP=3k,则BC=5k,5k=15,即k=3.PC=12,BP=9.x=9.(2分)PE与BC垂直.(3分)4322PCBP(2)如图,连接OP,OQ,作CKAB于点K,OHAP于点H,同(1)得CK=12,BK=9.AK=AB+BK=12,CK=AK.CAP=ACK=45.(4分)BP=4,AP=7,HP=AP=.又PK=BK-BP=5,PC=13.HOP=90-OPH=CPK,RtHOPRtKPC.=,即=,OP=.(6分)POQ=2PAQ=90,l=.(8分)l.(9分)(3)x18.(10分)详解:由(1)和(2)可知,

18、满足(3)的点O在AP下方.如图,1272OPPCPHCK13OP72129124PQ91489148PQ当O与AD切于点A时,两者只有一个公共点A,则OAD=OPC=90.由OA=OP得OAP=OPA,DAP=CBP=CPA,BC=PC.作CKAP于K,则BK=PK.由(1)知,BP=2BK=18,即x=18.当x18时,趋势上点O越来越向右下,与线段AD只有一个公共点A,符合题意.x的取值范围是x18.考点二切线的判定与性质1.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是O的两条切线,A,B为切点,点C在O上,且ACB=55,则APB等于()A.55 B.70 C.110 D.125答案答

19、案B连接OA,OB.PA,PB是O的两条切线,OAAP,OBPB.OAP=OBP=90.AOB=2ACB=255=110,APB=360-OAP-OBP-AOB=360-90-90-110=70.故选B.2.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE=.答案答案60解析解析AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC.在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中点,BD=AB=BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE=360-90-90-120=60.12123.(2020内

20、蒙古呼和浩特,16,3分)已知AB为O的直径且长为2r,C为O上异于A,B的点,若AD与过点C的O的切线互相垂直,垂足为D.若等腰三角形AOC的顶角为120度,则CD=r;若AOC为正三角形,则CD=r;若等腰三角形AOC的对称轴经过点D,则CD=r;无论点C在何处,将ADC沿AC折叠,点D一定落在直径AB上,其中正确结论的序号为 .1232答案答案解析解析AOC=120,AO=OC,OCA=(180-120)=30,CD为O的切线,DCO=90,DCA=DCO-OCA=60,CA=2CD.在RtACB中,CAB=30,ACB=90,CA=AB,CD=AB=r,故错.AOC为正三角形,ACO=

21、60,ACD=DCO-ACO=30,12323432CD=CA=AO=r,故对.当AOC的对称轴经过点D时,AD=CD,四边形ADCO为正方形,CD=CO=r,故对.ADC=DCO=90,ADCO,DAC=ACO,CAO=ACO,DAC=CAO,将ADC沿AC折叠,点D一定落在AB上,故对.故答案为.323232方法指导方法指导解决动态几何问题时,要学会化动为静,在有关圆的问题中,要精准把握圆的性质,寻找圆中的等量关系,要注意利用数形结合的思想来解决问题.4.(2020四川成都,20,10分)如图,在ABC的边BC上取一点O,以O为圆心,OC为半径画O,O与边AB相切于点D,AC=AD,连接O

22、A交O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F.(1)求证:AC是O的切线;(2)若AB=10,tan B=,求O的半径;(3)若F是AB的中点,试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由.43解析解析(1)证明:连接OD,O与边AB相切于D,ADO=90,OC=OD,AC=AD,AO=AO,ACO ADO(SSS),ACO=ADO=90,OCAC,又C为O上一点,AC是O的切线.(2)AB=10,tan B=,BCA=90,AC=8,BC=6,sin B=,设CO=r,则DO=r,ODB=90,sin B=,OB=r,BC=OB+CO=r+r=6,r=.即O的半径为.43ACAB4545si

23、nODB54548383(3)BD+CE=AF.证明:连接ED,由(1)得CAE=DAE,又AC=AD,AE=AE,ACE ADE,CE=DE.F为AB的中点,ACB=90,AF=CF=BF.CAF=ACF,CFD=CAF+ACF=2ACF.ACB=90,BCF=90-ACF.OC=OE,BCF=OEC=90-ACF.ACE ADE,AEC=AED,OEC=OED=90-ACF,DEF=180-OEC-OED=180-(90-ACF)-(90-ACF)=2ACF,CFD=DEF,DE=DF,BD+CE=BD+DF=BF,BD+CE=AF.5.(2020新疆,22,11分)如图,在O中,AB为O

24、的直径,C为O上一点,P是的中点,过点P作AC的垂线,交AC的延长线于点D.(1)求证:DP是O的切线;(2)若AC=5,sinAPC=,求AP的长.BC513解析解析(1)证明:连接OP.P是的中点,=,DAP=BAP,又OA=OP,BAP=APO,DAP=APO,OPAD,D+OPD=180,又PDAD,D=90,OPD=90,又OP为O的半径,DP是O的切线.BCCPBP(2)连接PB,过点P作PHAB,垂足为点H,过点C作CGAP,垂足为点G.在CGP中,sinAPC=,设CG=5x,则CP=13x,DAP=PAB,PDAD,PHAB,PH=PD,D=PHB=90,P是的中点,CP=B

25、P,CGCP513BC在RtPDC和RtPHB中,RtPDC RtPHB(HL),DPC=HPB,AC=5,CG=5x,sinDAP=x,DAP=PAB,sinPAB=x,AB=13,OP=,DPO=APB=90,DPC+APC+APO=BPH+OPH+APO,又DPC=BPH,OPH=APC,sinOPH=sinAPC=,OH=,PH=6,AH=9,CPBPPDPHCGAC55xPBAB13xAB13251352根据勾股定理得,AP=3.22PHAH136.(2020云南,20,8分)如图,AB为O的直径,C为O上一点,ADCE,垂足为D,AC平分DAB.(1)求证:CE是O的切线;(2)若

26、AD=4,cosCAB=,求AB的长.45解析解析(1)证明:连接OC.(1分)AC平分DAB,DAC=CAB.OA、OC是O的半径,OA=OC,OAC=OCA,DAC=OCA,ADCO.(2分)ADC=OCE.ADCD,ADC=90,OCE=90.(3分)OCCE,OC是O的半径,CE是O的切线.(4分)(2)连接BC.(5分)DAC=CAB,cosCAB=,cosDAC=.(6分)在RtADC中,ADC=90,AD=4,AC=5.(7分)AB为O的直径,ACB=90.4545cosADDAC445AB=.(8分)cosACCAB545254思路分析思路分析(1)连接OC,根据题中条件判定O

27、CDE即可;(2)连接BC,构造RtABC,根据cosCAB=cosCAD=,解直角三角形CAD和直角三角形CAB,可得结果.457.(2020广西北部湾经济区,25,10分)如图,在ACE中,以AC为直径的O交CE于点D,连接AD,且DAE=ACE,连接OD并延长交AE的延长线于点P,PB与O相切于点B.(1)求证:AP是O的切线;(2)连接AB交OP于点F,求证:FADDAE;(3)若tanOAF=,求的值.12AEAP解析解析(1)证明:AC为直径,ADC=90,ACE+CAD=90,又DAE=ACE,DAE+DAC=90,OAAP,AP为圆O的切线.(2)证明:连接OB,PA,PB为圆

28、O的切线,PA=PB,又OB=OA,OP=OP,OBP OAP(SSS),BOD=DOA,=,FAD=ACE,在AOB中,AOF=BOF,OA=OB,OFAB,AFD=ADE=90,又ACE=DAE,FAD=DAE,FADDAE.(3)在RtOFA中,tanOAF=,设OF=x,则AF=2x,OA=x,DF=OD-OF=OA-OF=(-1)x,易知APO=OAF,AP=2OA=2x,由(2)知FAD=ACE,tanACE=tanFAD,ADDB12555即=,又AC=2OA=2x,AE=(5-)x,=.AEACDFAF(5-1)2xx55AEAP(5-5)2 5xx5-12思路分析思路分析(1

29、)证明OAAP即可得到结论,属于“连半径证垂直”的切线证明类型;(2)连接OB,由切线长定理可得PA=PB,根据SSS即可证明OBP OAP,进一步得到FAD=DAE,AFD=ADE=90,从而可证明FADDAE;(3)由tanOAF=可设OF=x,得到AF=2x,OA=x,AP=2x,由(2)知FAD=ACE,进而可得tanACE=tanFAD,列式=,最后进行求解即可.1255AEACDFAF(5-1)2xx8.(2020湖北武汉,21,8分)如图,在RtABC中,ABC=90,以AB为直径的O交AC于点D,AE与过点D的切线互相垂直,垂足为E.(1)求证:AD平分BAE;(2)若CD=D

30、E,求sinBAC的值.解析解析(1)证明:如图1,连接OD,OA=OD,OAD=ODA.DE是O的切线,ODDE.AEDE,AED+EDO=180,AEOD,EAD=ODA,EAD=OAD,AD平分EAB.(2)解法一:如图1,连接BD.设CD=a,BC=b.图1AB为O的直径,AEDE,BDC=E=90.ABC=90,AD平分EAB,CBD=BAD=DAE.又CD=DE,CDB DEA,AD=BC=b.CDB=CBA=90,C=C,CDBCBA,CB2=CDCA,即b2=a(a+b).+-1=0,=或(舍去负值).sinBAC=sinCBD=.解法二:如图1,设CD=DE=a,AD=b.A

31、B为O的直径,AEDE,CDB=CBA=E=90.ABC=90,AD平分EAB,CBD=BAD=DAE.2ababab-152-1-52ab5-12CDBCBADEA.BC2=CDCA=a2+ab.由CBADEA,得=,=,即=.解得=或(舍去负值).sinBAC=sinEAD=.(注:如图2,过点D作DFAB于点F,连接BD,则DF=DE=DC.可以由ADFACB,CDBCBA或CDB DEA,其中,两个组合列方程求解.)ADEDACCB2ADED2ACCB2baababa1521-52ab5-12图2思路分析思路分析(1)连接OD,由ED是O的切线和AEED可推AEOD,由OA=OD可证E

32、AD=OAD,问题解决;(2)思路一:连接BD,设CD=a,BC=b,由AB是直径可推ADB=BDC=90,再由ABC=90,AD平分EAB,CD=DE证明CDB DEA,进一步证明CDBCBA,由此列方程求出=的值,问题解决;思路二:设CD=DE=a,AD=b,由AB是直径可推出ADB=BDC=90,再由ABC=90,AD平分EAB,可证CDBCBADEA,得到BC2=CDCA和=,由此列方程求出=的值,问题解决.abCDBCADEDACCBabEDAD9.(2020四川南充,22,10分)如图,点A,B,C是半径为2的O上三个点,AB为直径,BAC的平分线交圆于点D,过点D作AC的垂线交A

33、C的延长线于点E,延长ED交AB的延长线于点F.(1)判断直线EF与O的位置关系,并证明;(2)若DF=4,求tanEAD的值.2解析解析(1)直线EF与O相切.(1分)理由如下:连接OD.(2分)AD平分BAC,EAD=OAD.OA=OD,ODA=OAD=EAD,(3分)ODAE.(4分)由AEEF,得ODEF.又点D在O上,EF是O的切线.(5分)(2)在RtODF中,OD=2,DF=4,由勾股定理得OF=6.(6分)ODAE,=,(7分)即=,得AE=,ED=.(9分)在RtAED中,tanEAD=.(10分)2ODAEOFAFDFEF2AE684 24 2ED 834 23DEAE22

34、10.(2020云南昆明,20,8分)如图,点P是O的直径AB延长线上的一点(PBOB),点E是线段OP的中点.(1)尺规作图:在直径AB上方的圆上作一点C,使得EC=EP,连接EC,PC(保留清晰作图痕迹,不要求写作法),并证明PC是O的切线;(2)在(1)的条件下,若BP=4,EB=1,求PC的长.解析解析(1)作图如图所示(正确作出EC,PC得1分,有作图痕迹得1分).(2分)证法一:连接OC,EC=EP,ECP=P,点E是线段OP的中点,EO=EP,EO=EC,EOC=ECO,(3分)在OPC中,POC+PCO+P=180,即EOC+ECO+ECP+P=180,2ECO+2ECP=18

35、0,ECO+ECP=90,OCPC,(4分)OC是O的半径,PC是O的切线.(5分)证法二:连接OC,点O,C,P三点在以点E为圆心,EO为半径的圆上,(3分)OP是E的直径,OCP=90,即OCPC,(4分)OC是O的半径,PC是O的切线.(5分)(2)BP=4,EB=1,EO=EP=BP+EB=5,OP=2EO=10,OC=OB=EO+EB=6,在RtOPC中,OCP=90,由勾股定理得:PC=8.(8分)(其他解法参照此标准给分)22-OP OC2210-6点E是线段OP的中点,OE=PE,CE=PE,OE=CE=PE,11.(2020贵州贵阳,23,10分)如图,AB为O的直径,四边形

36、ABCD内接于O,对角线AC,BD交于点E,O的切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且CAD=ABD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=4,BF=5,求sinBDC的值.解析解析(1)证明:在O中,ABD与ACD都是所对的圆周角,ABD=ACD.CAD=ABD,ACD=CAD.AD=CD.(2)AF是O的切线,AB是O的直径,FAB=ACB=ADB=ADF=90.FAD+BAD=90,ABD+BAD=90,FAD=ABD.又ABD=CAD,CAD=FAD.AD=AD,ADE ADF(ASA),AE=AF,ED=FD.在RtBAF中,AB=4,BF=5,AF=3,即AE=3.ABAF=B

37、FAD,AD=.在RtADF中,FD=,AD121212522-AF AD95BE=5-2=.BEC=AED,且ECB=EDA,BECAED,=,BC=.BDC与BAC都是所对的圆周角,BDC=BAC.在RtACB中,ACB=90,sinBAC=,即sinBDC=.9575BEAEBCAD2825BCBCAB725725思路分析思路分析(1)由圆周角定理的推论得ABD=ACD,进而得ACD=CAD,所以AD=CD.(2)证明ADE ADF,得AE=AF,DE=DF,由AF的长和ABF的面积求得AD的长,进而求得DF,BE的长,继而证明BECAED,得BC的长,求得sinBAC即可.12.(20

38、20内蒙古包头,24,10分)如图,AB是O的直径,半径OCAB,垂足为O,直线l为O的切线,A是切点,D是OA上一点,CD的延长线交直线l于点E,F是OB上一点,CF的延长线交O于点G,连接AC,AG,已知O的半径为3,CE=,5BF-5AD=4.(1)求AE的长;(2)求cosCAG的值及CG的长.34解析解析(1)过点C作CHl于点H,AHC=90.直线l为O的切线,A是切点,OCAB,AOC=OAH=90,四边形AOCH是矩形.OA=OC,四边形AOCH是正方形,AH=CH=OC=3.在RtEHC中,EH2+HC2=CE2,CE=,EH=5,AE=EH-AH=2.(3分)(2)OCAB

39、,AOC=BOC=90,AGC=CAB=45,34GCA=ACF,GCAACF,CAG=CFA.在RtEAD和RtEHC中,tanAED=tanHEC,=,AD=2=.5BF-5AD=4,BF=2,OB=3,FO=1.在RtCOF中,CF=,cosCAG=cosCFA=.(8分)GCAACF,=.在RtAOC中,AC=3,CG=.(10分)ADAEHCHE356522OCOF101010ACFCCGCA22OAOC29 105思路分析思路分析(1)过点C作直线l的垂线,垂足为H,通过AOC=OAH=CHA=90,OA=OC,判断出四边形OAHC是正方形,从而得到CH=AH=3.再根据勾股定理,

40、在RtCEH中求出EH=5,最后得到AE的长.(2)通过同弧所对的圆周角是圆心角的一半,得到AGC=CAB=45,再通过GCA=ACF,证得GCAACF,将CAG转化为CFA.通过(1)中线段的长度和tanAED=tanHEC,求出AD=,再根据5BF-5AD=4,求出BF=2,OF=1.根据勾股定理,在RtCOF中,得到CF=,求出cosCAG=.由GCAACF,根据相似比和AC=3,得到CG=.6510101029 10513.(2020黑龙江齐齐哈尔,20,8分)如图,AB为O的直径,C、D为O上的两个点,=,连接AD,过点D作DEAC交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是O的切线;(

41、2)若直径AB=6,求AD的长.ACCDDB解析解析(1)证明:连接OD.=,AOB=180,BOD=180=60.=,EAD=DAB=BOD=30,OA=OD,ADO=DAB=30.DEAC于E,E=90,EAD+EDA=90,EDA=60,EDO=EDA+ADO=90.ODDE.DE是O的切线.(2)连接BD.ACCDDB13CDDB12AB是O的直径,ADB=90.DAB=30,AB=6,BD=AB=3.AD=3.12226-3314.(2020天津,21,10分)在O中,弦CD与直径AB相交于点P,ABC=63.(1)如图,若APC=100,求BAD和CDB的大小;(2)如图,若CDA

42、B,过点D作O的切线,与AB的延长线相交于点E,求E的大小.解析解析(1)APC是PBC的一个外角,ABC=63,APC=100,C=APC-PBC=37.在O中,BAD=C,BAD=37.AB为O的直径,ADB=90.在O中,ADC=ABC=63,CDB=ADB-ADC,CDB=27.(2)如图,连接OD,CDAB,CPB=90,PCB=90-PBC=27.在O中,BOD=2BCD,BOD=54.DE是O的切线,ODDE,即ODE=90.E=90-EOD.E=36.解题关键解题关键(1)应用同圆中同弧所对的圆周角相等,得出BAD=C,ADC=ABC是解题的关键;(2)应用同圆中同弧所对的圆心

43、角是圆周角的2倍得出BOD=2BCD,根据切线垂直于过切点的半径作出辅助线是解题的关键.15.(2019贵州贵阳,23,10分)如图,已知AB是O的直径,点P是O上一点,连接OP,点A关于OP的对称点C恰好落在O上.(1)求证:OPBC;(2)过点C作O的切线CD,交AP的延长线于点D,如果D=90,DP=1,求O的直径.解析解析(1)证明:点A关于OP的对称点C恰好落在O上,=,AOP=POC,AOP=AOC,又ABC=AOC,AOP=ABC,OPBC.(2)连接PC,APPC1212OCD=90,又D=90,ADOC,POC=APO.由(1)知AOP=POC,APO=AOP,又AO=OP,

44、AOP是等边三角形.点A,点C关于OP对称,POC是等边三角形,OCP=60,DCP=30.DP=1,D=90,PC=2PD=2,AB=2PC=4,即O的直径为4.CD是O的切线,16.(2019北京,22,6分)在平面内,给定不在同一条直线上的点A,B,C,如图所示.点O到点A,B,C的距离均等于a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G,ABC的平分线交图形G于点D,连接AD,CD.(1)求证:AD=CD;(2)过点D作DEBA,垂足为E,作DFBC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM.若AD=CM,求直线DE与图形G的公共点个数.解析解析(1)证明:由题意,可知图形G是

45、以O为圆心,a为半径的圆,点A,B,C,D在O上.连接OA,OC,OD,如图.BD平分ABC,ABD=CBD.ABD=AOD,CBD=COD,AOD=COD.AD=CD.1212(2)AD=CD,AD=CM,CD=CM.CDM=CMD.CMD=CBD,CDM=CBD.DMBC,DCB+CDM=90,DCB+CBD=90.BDC=90.BC为O的直径.点O在BC上.OB=OD,OBD=ODB.ABD=ODB.ABOD.DEBE,ODDE,DE为O的切线.DE与O只有一个公共点,即直线DE与图形G的公共点个数为1.17.(2019四川成都,20,10分)如图,AB为O的直径,C,D为圆上的两点,O

46、CBD,弦AD,BC相交于点E.(1)求证:=;(2)若CE=1,EB=3,求O的半径;(3)在(2)的条件下,过点C作O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQCB交O于F,Q两点(点F在线段PQ上),求PQ的长.ACCD解析解析(1)证明:连接OD.OCBD,OCB=DBC,OB=OC,OCB=OBC,OBC=DBC,AOC=COD,=.(2)连接AC.=,CBA=CAD.又BCA=ACE,CBACAE.=.CA2=CECB=CE(CE+EB)=1(1+3)=4.CA=2.AB为O的直径,ACB=90.在RtACB中,由勾股定理,得AB=2.ACCDACCDCACECBCA22CACB2

47、2245O的半径为.(3)如图,设AD与CO相交于点N,5AB为O的直径,ADB=90,OCBD,ANO=ADB=90.PC为O的切线,PCO=90.ANO=PCO.PCAE.=.PA=AB=2=.PO=PA+AO=+=.过点O作OHPQ于点H,则OHP=90=ACB.PQCB,BPQ=ABC.OHPACB.=.PAABCEEB13131352 532 5355 53OPABOHACPHBCPQ=PH+HQ=.102 53OH=,PH=.连接OQ.在RtOHQ中,由勾股定理,得HQ=.AC OPAB5 5232 553BC OPAB5 5432 510322-OQ OH225(5)-32 53

48、18.(2019天津,21,10分)已知PA,PB分别与O相切于点A,B,APB=80,C为O上一点.(1)如图,求ACB的大小;(2)如图,AE为O的直径,AE与BC相交于点D,若AB=AD,求EAC的大小.解析解析(1)如图,连接OA,OB,PA,PB是O的切线,OAPA,OBPB,即OAP=OBP=90,APB=80,在四边形OAPB中,AOB=360-OAP-OBP-APB=100,在O中,ACB=AOB,ACB=50.(2)如图,连接CE,12AE为O的直径,ACE=90,由(1)知,ACB=50,BCE=ACE-ACB=40,BAE=BCE=40,在ABD中,AB=AD,ADB=A

49、BD=(180-BAE)=70,又ADB是ADC的一个外角,有EAC=ADB-ACB,EAC=20.1219.(2019湖北黄冈,23,8分)如图,RtABC中,ACB=90,以AC为直径的O交AB于点D.过点D作O的切线交BC于点E,连接OE.(1)求证:DBE是等腰三角形;(2)求证:COECAB.证明证明(1)连接OD.DE是O的切线,ODE=90,ADO+BDE=90,又ACB=90,OAD+B=90,OA=OD,OAD=ADO,BDE=B,EB=ED,DBE是等腰三角形.(2)ACB=90,AC是O的直径,CB是O的切线,又DE是O的切线,DE=EC.DE=EB,EC=EB.又OA=

50、OC,OEAB.COECAB.20.(2018四川成都,20,10分)如图,在RtABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.(1)求证:BC是O的切线;(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;(3)若BE=8,sin B=,求DG的长.513解析解析(1)证明:如图,连接OD.AD为BAC的平分线,BAD=CAD,OA=OD,ODA=OAD,ODA=CAD,ODAC.又C=90,ODC=90,ODBC,BC是O的切线.(2)连接DF.由(1)可知,BC为O的切线.易得FDC=DAF