2023年 江苏省中考复习专用数学一轮知识点梳理六　圆ppt课件.pptx

1、六圆六圆第第2525课时课时圆的相关概念及性质圆的相关概念及性质1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概 念.2.探索并掌握垂径定理及其推论.3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,了解并证明圆周角定理 及其推论.4.知道三角形的外心,并能画任意三角形的外接圆.知识点知识点1 1圆圆的的相相关关概念及性质概念及性质1.圆的相关概念:圆圆定义1在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做,线段OA叫做定义2圆是到定点的距离定长的所有点组成的图形 弦弦定义 连接圆上任意两点的叫做弦 直径经过的弦叫做直径;直径是圆内最_的弦

2、,直径等于的2倍圆心半径等于线段圆心长半径2.圆的对称性:圆既是一个轴对称图形,又是一个对称图形,圆还具有旋转 不变性.弧弧定义圆上任意两点间的部分叫做弧,弧有优弧、半圆、劣弧之分劣弧等弧在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧圆心角圆心角顶点在圆心且两边都和圆相交的角叫做圆心角圆周角圆周角顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角等圆等圆能够重合的两个圆叫做等圆同心圆同心圆圆心相同的圆叫做同心圆中心平分垂直知识点知识点3 3弧、弦、圆心角的关系弧、弦、圆心角的关系1.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧,所对的弦 也.2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组 量相

3、等,那么它们所对应的其余各组量都分别.相等相等相等 温馨提示温馨提示 弦心距、半径、弦的一半构成的直角三角形,常用于求未知线段的长或角的度数,为构造这个直角三角形,常连接半径或作弦心距,利用勾股定理求未知线段的长.知识点知识点4 4圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论1.定理:内容内容 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_情况情况圆心在圆周角的一条边上圆心在圆周角内部圆心在圆周角外部图形图形结论结论APB=一半2.推论:(1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角.(2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是 ;90的圆周角所对的弦是.(3)推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角

4、形是三角形.相等90(直角)直径直角 温馨提示温馨提示 1.一条弦(不是直径)对着两条弧,分为优弧和劣弧,优弧和劣弧对着的两个圆周角互补;2.一条弧只对着一个圆心角,但却对着无数个圆周角.知识点知识点5 5圆内接多边形圆内接多边形圆内接圆内接三角形三角形定义如果一个三角形的三个顶点都在同一个圆上,那么这个三角形叫做圆的内接三角形,这个圆叫做这个三角形的外接圆三角形的外心三角形三边 的交点,即三角形外接圆的圆心确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆圆内接圆内接四边形四边形定义如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上,那么这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆性质圆内接四边

5、形的互补 垂直平分线对角考点一垂径定理及其推论考点一垂径定理及其推论例例1 1(2022青海)如图所示为一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,C是O中弦AB的中点,CD经过圆心O交O于点D.若AB=4m,CD=6m,则O的半径长为m.思路点拨思路点拨 如图,连接OA,根据垂径定理的推论可得CDAB,在RtAOC中,利用勾股定理构造与半径有关的方程,解之即可.非常点评非常点评 利用垂径定理及其推论进行计算时,通常是在半径、弦心距和弦的一半所组成的直角三角形中,利用勾股定理直接求或构造方程求出未知线段的长,一般地,在圆中求弦长时往往作弦心距利用垂径定理、勾股定理求解.非常点评非常点

6、评 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.在运用弧、弦、圆心角之间的关系解决问题时,一定要注意“在同圆或等圆中”这一前提条件,否则结论不一定成立.考点三圆周角定理及其推论考点三圆周角定理及其推论例例3 3(2022兰州)如图,ABC内接于O,CD是O的直径.若ACD=40,则B的度数为 ()A.70 B.60 C.50 D.40 思路点拨思路点拨 由圆周角定理的推论知CAD=90,利用直角三角形的性质求得D的度数,最后利用同弧所对圆周角相等求出B的度数.非常点评非常点评 进行与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角

7、,再转化成同弧或等弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧或等弧所对的圆周角相等,同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解.CD是O的直径,CAD=90.ACD+D=90.ACD=40,D=B=90-40=50.故选C.考点四圆内接四边形考点四圆内接四边形例例4 4(2022自贡)如图,四边形ABCD内接于O,AB是O的直径.若ABD=20,则BCD的度数是 ()A.90B.100C.110D.120 思路点拨思路点拨 根据AB是O的直径,可以得到ADB=90,再根据ABD=20和三角形内角和定理,可以得到A的度数,最后根据圆内接四边形对角互补得到BCD的度数.AB是O的直径,ADB=90.AB

8、D=20,A=90-20=70.四边形ABCD是圆内接四边形,A+BCD=180.BCD=180-70=110.故选C.例4图 非常点评非常点评 解答与圆有关的角的度数的计算问题时,常常要结合“圆内接四边形的性质”及“圆周角定理及其推论”,有时再结合三角形的内角和定理等进行求解.DAAAB580622610.(2022盐城)请借助如图所示的图形,求证:垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧.第10题11.(2021徐州)如图,AB为O的直径,点 C,D在O上,AC与OD交于点E,AE=EC,OE=ED.连接BC,CD.求证:(1)AOECDE;(2)四边形OBCD是菱形.(1)在AOE

9、和CDE中,AE=CE,AEO=CED,OE=DE,AOECDE(2)AOECDE,AO=CD,AOE=D.OBCD.AO=OB,OB=CD.四边形OBCD为平行四边形.OB=OD,四边形OBCD是菱形第11题第第2626课时课时与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系1.探索并了解点与圆的位置关系,了解直线与圆的位置关系及三角 形内切圆的概念,会判断直线与圆的位置关系.2.掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径的关系,会用三角尺过 圆上一点画圆的切线.3.探索并证明切线长定理,会利用它进行证明和相关计算.知识点知识点1 1与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系1.点和圆的位置关系:如果设圆的半径为

10、r,点到圆心的距离为d,那么:(1)dr点在.圆内圆上圆外2.直线和圆的位置关系:设O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.即:(1)dr直线l与圆;(2)d=r直线l与圆;(3)d=相离相切相交 温馨提示温馨提示 判断直线和圆的位置关系有两种方法:一是根据公共点的个数判断;二是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断.知识点知识点2 2圆的切线圆的切线1.定义:与圆有 公共点的直线叫做圆的切线,唯一的公共 点叫做.2.切线的性质:(1)圆的切线垂直于经过的半径;(2)经过圆心且垂直于切线的直线经过;(3)经过切点且垂直于切线的直线经过.3.切线的判定:(1)与圆有公共点的直线是圆的切线;(2

11、)如果圆心到一条直线的距离等于圆的,那么这条直线是 圆的切线;(3)经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线.且只有一个切点切点切点圆心且只有一个半径垂直知识点知识点3 3切线长和切线长定理切线长和切线长定理切线长切线长在经过圆外一点的圆的切线上,这点与切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长切线长切线长定理定理过圆外一点所画的圆的两条切线长,圆心和这一点的连线两条切线的夹角 基本基本图形图形如图,P是O外一点,PA,PB分别切O于点A,B,AB交PO于点C,则有下列结论:PA=PB;APO=BPO,OAC=OBC,AOP=BOP=CAP=CBP;ABOP,且AC=BC相等平分知识点知识点

12、4 4三角形的内切圆三角形的内切圆1.三角形的内切圆:与三角形各边的圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的三角形.2.三角形的内心:内切圆的圆心叫做三角形的 ,它是三角形 的交点.三角形的内心到三边的相等.相切外切内心三条角平分线距离考点一与圆有关的位置关系考点一与圆有关的位置关系例例1 1(2021嘉兴)已知平面内有O和点A,B,O的半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,则直线AB与O的位置关系为 ()A.相离 B.相交C.相切 D.相交或相切 非常点评非常点评 本题是直线与圆位置关系的应用,要判断直线与圆的位置关系,在已知圆的半径的前提下,只要求出圆心到直线的距离,与半径比较大小

13、即可判断.设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.若dr,则直线与圆相离.O的半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,点A到圆心O的距离大于圆的半径,点B到圆心O的距离等于圆的半径.点A在O外,点B在O上.易得直线AB与O的位置关系为相交或相切.故选D.考点二切线的性质与判定考点二切线的性质与判定例例2 2(2022泰州)如图,PA与O相切于点A,PO与O相交于点B,点C在优弧AB上,且不与点A,B重合.若P=26,则C的度数为.思路点拨思路点拨 如图,连接OA,由PA与O相切于点A,可得OAP=90,从而根据P的度数求出AOB的度数,再根据圆周角定理求出C的度数.非常点评非常点评 看到圆

14、的切线就应想到过切点的半径与切线垂直,从而为求角度或勾股定理的应用进行铺垫.例例3 3(2022衡阳)如图,AB为O的直径,过圆上一点D作O的切线CD,交BA的延长线于点C,过点O作OEAD交CD的延长线于点E,连接BE.(1)直线BE与O相切吗?请说明理由.(2)若CA=2,CD=4,求DE的长.思路点拨思路点拨 (1)连接OD,由切线的性质可得ODE=90,然后利用平行线和等腰三角形的性质可得DOE=EOB,进而可证DOEBOE,最后利用全等三角形的性质证得OBE=90解决问题;(2)设O的半径为r,先在RtODC中,利用勾股定理求出r的长,再利用(1)的结论可得DE=BE,最后在RtBC

15、E中,利用勾股定理进行计算即可解答.(1)直线BE与O相切.理由:如图,连接OD.CD与O相切于点D,ODE=90.ADOE,ADO=DOE,DAO=EOB.OD=OA,ADO=DAO.DOE=EOB.OD=OB,OE=OE,DOEBOE.ODE=OBE=90.OB是O的半径,直线BE与O相切.(2)设O的半径为r.在RtODC中,OD2+DC2=OC2,r2+42=(r+2)2,解得r=3.AB=2r=6.BC=AC+AB=2+6=8.由(1),得DOEBOE,DE=BE.在RtBCE中,BC2+BE2=CE2,82+BE2=(4+DE)2.64+DE2=(4+DE)2.DE=6.DE的长为

16、6.方法归纳方法归纳 判定判定圆的切线的常见思路圆的切线的常见思路 (1)若已知直线与圆的公共点,则采用判定定理法,其基本思路是当已知点在圆上时,连接过这点的半径,证明这条半径与直线垂直即可,可简述为有切点,连半径,证垂直;(2)若未知直线与圆的公共点,则采用数量关系法,其基本思路是过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于圆的半径,可简述为无切点,作垂线,证相等.考点三切线长定理与内切圆考点三切线长定理与内切圆例例4 4(2022眉山)如图所示为不倒翁的主视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA,PB分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O.若OAB=28,则APB的度数为 ()A.28 B

17、.50 C.56 D.62 思路点拨思路点拨 由O与PA,PB分别相切于点A,B可知PA=PB,OAP=90,又因为OAB=28,从而可求得PAB的度数,最后利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质求解即可.非常点评非常点评 过圆外一点引圆的两条切线,根据切线长定理可得有关线段与角的结论,进而为解决其他问题打下基础.O与PA,PB分别相切于点A,B,PA=PB,OAP=90.PAB=PBA.OAB=28,PAB=90-28=62.APB=180-2PAB=180-124=56.故选C.例例5 5(2021毕节)如图,O是ABC的外接圆,点E是ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交O于点D,连

18、接BD,BE.(1)求证:DB=DE;(2)若AE=3,DF=4,求DB的长.思路点拨思路点拨 (1)依据三角形内心的性质可得BAD=CAD,ABE=CBE,由圆周角定理的推论可得CAD=CBD=BAD,从而可证BED=DBE,根据等角对等边即可得结论;(2)由D=D,BAD=FBD,可得ABDBFD,进而由相似三角形性质构造方程,从而可求DB的长.非常点评非常点评 本题考查了三角形内心的性质、圆周角定理的推论,相似三角形的判定与性质,根据三角形内心的性质证得ABDBFD是解题的关键.DAAD5.(2022连云港)如图,AB是O的直径,AC是O的切线,A 为切点,连接 BC,与O交于点D,连接

19、OD.若AOD=82,则C的度数是.6.(2022秦淮二模)如图,O是ABC的内切圆,与AB,BC,CA的切点分别 为D,E,F.若BDE+CFE=110,则A的度数是.7.(2021泰州)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(8,5),A与x 轴相切,点P在y轴正半轴上,PB与A相切于点B.若APB=30,则点P 的坐标为.8.如图所示的网格是由边长为1个单位长度的小正方形组成的,已知点A,B,C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则ABC 内心的坐标为.4940(0,11)(2,3)9.(2022安徽)已知AB为O的直径,C为O上一点,D为BA的延长线上

20、一点,连接CD.(1)如图,若COAB,D=30,OA=1,求AD的长;(2)如图,若DC与O相切,E为OA上一点,且ACD=ACE,求证:CEAB.10.(2022广元)如图,在RtABC中,ACB=90,以AC为直径的O交AB于点D,E是边BC的中点,连接DE.(1)求证:DE是O的切线;(2)若AD=4,BD=9,求O的半径.(1)如图,连接OD,OE.OA=OD,A=ODA.E是边BC的中点,OA=OC,OEAB.DOE=ODA,A=COE.COE=DOE.OC=OD,OE=OE,COEDOE.ACB=90,ODE=ACB=90.OD为O的半径,DE是O的切线第第2727课时课时与圆有

21、关的计算与圆有关的计算1.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系,能将正多边形问题 转化为三角形问题.2.会计算扇形的弧长、面积及组合图形的周长与面积.3.理解圆柱、圆锥的侧面展开图,掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面 积的计算方法.知识点知识点1 1正多边形和圆正多边形和圆正多边形正多边形和圆的和圆的关系关系正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的 正多边形正多边形和圆的和圆的有关概念有关概念一个正多边形的圆心叫做这个正多边形的中心 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 正多边形每一边所对的叫做正多边形的中心角 正多边形的到正

22、多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 外接圆外接圆半径圆心角中心与正多边与正多边形有关的形有关的计算计算(2)周长:C=na知识点知识点2 2弧长及扇形面积的相关弧长及扇形面积的相关计算计算圆的周长圆的周长C=(1)r为圆的半径;(2)n为弧所对的圆心角的度数;(3)l是扇形的弧长扇形的弧长扇形的弧长l=圆的面积圆的面积S=扇形的扇形的面积面积2rr2 温馨提示温馨提示 1.如果题目中没有明确给出精确度,可用含“”的数表示弧长;2.应区分弧、弧长这两个概念,弧长相等的弧不一定是等弧.知识点知识点3 3圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积圆锥圆锥简介简介(1)h是圆锥的高;(2)a是圆锥的

23、母线,其长为侧面展开后所得扇形的;(3)r是底面圆的半径;(4)圆锥的侧面展开图是半径等于_长,弧长等于圆锥底面圆的扇形圆锥的侧圆锥的侧面积面积S侧=圆锥的全圆锥的全面积面积S全=S侧+S底=ra+r2半径母线周长ra考点一与正多边形有关的计算考点一与正多边形有关的计算例例1 1(2022株洲)如图,MON=60,正五边形ABCDE的顶点A,B在射线OM上,顶点E在射线ON上,则AEO的度数为.例1图 误区警示误区警示 此类问题容易出错的地方,一是不知道几何体的侧面展开图与几何体各个部分之间的关联,二是没有掌握相关的计算公式.圆锥的侧面展开图的相关公式:S圆锥侧=rl,S圆锥全=rl+r2.其

24、中r为底面圆的半径,l为母线长.例例6 6(2022玄武二模)如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形.若扇形的半径R=6cm,扇形的圆心角=120,则该圆锥的高为cm.非常点评非常点评 圆锥的侧面展开图是扇形,要注意扇形与圆锥的联系:扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.非常点评非常点评 对于此类求不规则图形的面积的题目,关键是将不规则图形转化为规则图形,常通过直接和差、平移、旋转、分割等方法,把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差,如本题中将阴影部分的面积转化为扇形面积与三角形面积的差.例例8 8(2022宿迁)如图,在ABC中,ABC=45,AB=A

25、C,以AB为直径的O与边BC交于点D.(1)判断直线AC与O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=4,求图中阴影部分的面积.思路点拨思路点拨 (1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得BAC=90,从而可得结论;(2)连接OD,AD,根据图中阴影部分的面积=SABC-SBOD-S扇形AOD可求得结果.(1)直线AC与O相切.理由:ABC=45,AB=AC,ABC=C=45.BAC=180-245=90.BAAC.AB是O的直径,直线AC与O相切.非常点评非常点评 证明直线与圆相切时,若题中说明了直线与圆有交点,则连接交点与圆心,证明半径垂直于直线即可判定直线是圆的切线;若题中没有说明直线与圆有交点,则过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于圆的半径也可判定直线是圆的切线.当所求阴影部分的面积是不规则图形的面积时,可将不规则图形转化为规则图形或几个规则图形的组合来计算阴影部分的面积.1.(2022湖北)一个扇形的弧长是10cm,其圆心角是150,此扇形的 面积为 ()A.30cm2B.60cm2 C.120cm2D.180cm22.(2022无锡)在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4,以AC所在直线为轴,把ABC旋转1周,得到圆锥,则该圆锥的侧面积为 ()A.12B.15 C.20D.24BCCC302第9题第11题