2023高三讲义-等差数列与等比数列专题-二轮复习.docx

1、高三：数列专题目录5.1 等差数列25.2 等比数列205.1 等差数列【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1等差数列中，若，则等于s5ucomA79B80C81D822已知等差数列的公差d0，且满足，求数列的通项公式_.【知识点一：等差数列的定义及其表示】一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示如果一个数列不是从第项起，而是从第项或第项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第项或第项开始是等差数列求公差时。因为是这个数列的后一项与前一项的差，故

2、有,还有等差数列的单调性公差数列的增减性举例数列的递增数列数列的常数列数列的递减数列等差数列的判定方法方法 步骤 结论定义法数列是等差数列等差中项法【知识点二：等差数列通项公式】1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为，其中为首项，为公差.2对公式的理解（1）从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个其中和是基本量，只要知道和即可求出等差数列的任一项（2）从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，是的一次函数其图象是直线上均匀排开的一列孤立的点我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了3方法清单函数与方程思想在

3、等差数列运算中（1）学会运用函数与方程思想解题（2）抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键（3）等差数列的通项公式、前项和公式涉及五个量： 。知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个（俗称“知三求二”）（4）巧设未知量例如，若三个数成等差数列，可设这三个数分别为（其中为公差）；若四个数成等差数列，可设这四个数分别为（其中为公差）设项巧与不巧，关系到列式的简繁，计算是否容易，推理是否顺利等【典型例题】考点一：等差数列求通项例1等差数列中，若，则等于s5ucomA79B80C81D82例2已知等差数列的公差d0，且满足，求数列的通项公式_.练1.在等差数列中，若，则ABCD练2.已知是等差数列，

4、若，则_.【知识点三：等差数列求和公式】一般地，我们称叫数列的前项和，用表示，即.等差数列的前项和公式：（公式一）（公式二）（1）公式一反映了等差数列的第项与倒数第项的和等于首项与末项的和这个内在性质推导方法是倒序相加法（2）公式二反映了等差数列前项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于的函数：（不含常数项），其中，（3）当已知首项、末项和项数时，用公式一较为方便；当已知首项、公差和项数时，用公式二较为方便等差数列的前项和令，则（1）当（即）时，是关于的常数函数，是各项为的常数列（2）当（即）时是关于的一次函数，为各项非零的常数列（3）当（即）时是关于的二次函数（常数项为0）（4）当(即)时

5、不是等差数列【典型例题】考点一：等差数列求和例1.已知等差数列中,则数列的通项公式；.例2.等差数列中，若，为 的前项和，则ABCD练1.已知是公差为的等差数列，为其前和若，则ABCD练2.已知数列为等差数列,且,则数列的前5项和是ABCD例3.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所.天坛公园中的圜丘台共有三层,上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板,从中心向外围以扇面形石（如图2所示）.上层坛从第一环至第九环共有九环,中层坛从第十环至第十八环共有九环,下层坛从第十九环至第二十七环共有九环;第一环的扇面形石有9块,从第二环起,每环的扇面形石块数比前一环多9块,则第二十七环的扇面形石块数是_

6、;上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_.考点二：已知等差数列前项和，求通项例1.已知数列的前项和,则.例2.已知为等差数列,为其前项和.若,则数列的公差,通项公式.练1.设等差数列的前项和为.若,则数列的通项公式可以是.练2.设等差数列的前项和为,若,则;.【知识点四：等差数列的性质与应用】等差数列常用性质1. 等差中项：如果成等差数列,那么叫做与的等差中项，且.2. 若为等差数列，且则.3. 若，为等差数列，则也为等差数列.4. 若为等差数列，公差为，则若为公差为等差数列.5. 若为等差数列，则为等差数列.6. 若为等差数列，则为等差数列.7.若等差数列与的前项和分别是和,则.8.等差数列

7、前项和最值常用方法：法一：的图象可看作开口向下的抛物线，离对称轴最近的正整数是取得最大值的.法二：当时，有最大值；当时，有最小值. 【典型例题】考点一：等差数列的性质与应用例1.已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是A.B.1C.2D.3例2.已知为等差数列，且前项和分别为，若，则_练1.已知等差数列的前n项和为Sn，若a2=1，S5=10，则_例3.等差数列中,前项和为,公差,且,若,则ABC的值不确定D练1已知数列是以3为公差的等差数列，是其前n项和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是_例4.在等差数列中，设，则是的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充

8、要必要条件D. 既不充分也不必要条件例5.若等差数列满足，则当_时，的前项和最大练1.设等差数列的前项和为若，则_，的最小值为_练2在等差数列中，.记，则数列A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项练3. 设等差数列的前项的和为，若，则当取得最大值时，的值为A.5B.6C.7D.8例6.在无穷等差数列中，记，则“存在，使得”是“为递增数列”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件练1.设是等差数列,且公差不为零,其前项和为.则“”是“为递增数列”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不

9、必要条件练2.设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“，”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件例7.共享单车已经成为方便人们出行的交通工具，某公司决定从年月开始向某地投放共享单车，记第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：千辆），其中，.从第个月到年月，共享单车的每月投放量比上个月增加千辆，从年月开始，共享单车的每月投放量比上个月减少千辆；根据预测，从年月开始，共享单车的每月损失量比上个月增加辆设第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差，则该地区第个月底的共享单车的估计保有量为_千辆；当为_时，该地区第个月底的共享单车估计保

10、有量达到最大【小试牛刀】1.已知等差数列()中，则数列的通项公式_；_2.已知等差数列中，则的前10项和为（）A.90B.100C.110D.1203.已知等差数列的公差为，若，成等比数列，则= ；数列的前项和的最小值为 4.已知是等差数列的前项和,则“对恒成立”是“数列为递增数列”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5.设等差数列的前n项和为，若，则A.27B.39C.45D.636.已知等差数列中，则此数列前项和等于A. B. C. D.【巩固练习基础篇】1.在等差数列中，则_. 2.等差数列中，若，为的前项和，则A.B. C.D.3.已知为等差数列，

11、为其前项和若，则_；=_4.在公差不为零的等差数列中，且依次成等比数列，那么数列的前项和等于 . 5.设等差数列的前n项和为，若，则A.B.C.42D.6.设等差数列的前n项和为，若，则A.27B.39C.45D.63【巩固练习提高篇】1. 若数列为等差数列，且，则A.1B.2C.3D.42. 等差数列的前n项和为，若，则的值是A.130B.65C.70D.753. 已知等差数列中，0，且，前项的和，则等于_4在等差数列中, ,则数列的前4项的和为.5.已知数列为等差数列,为其前项的和,若,则.6.等差数列有两项，满足，则该数列前项之和为A. B. C. D. 5.2 等比数列【课前诊断】成绩

12、（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1.设等差数列的公差为，若，则“”是“为递减数列”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.若等差数列的前项和为，且，则的值为（ ）A. 21B. 63C. 13D. 843.在等差数列中,若,则使得数列前项的和取到最大值的4. 已知是公差为的等差数列，其前项和为，且， 若存在正整数，使得有最小值（）求的通项公式；（）求的最小值从，这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【知识点一：等比数列的定义及其表示】文字语言一般地，如果一个数

13、列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示符号语言在数列中，如果成立，则称数列为等比数列，常数称为等比数列的公比 递推关系或温馨提示 公比，这是必然的，也就是不存在的等比数列我们还可以理解为在等比数列中不存在数值为的项既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常数列常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。如各项均为的数列就不是等比数列“从第项起”，也就是说，等比数列中至少含有三项“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”【典型例题】考点一：等比数列定义及其表示例1.某班植树小组今年春天计划植树不少于棵,若第一

14、天植树棵,以后每天植树的棵数是前一天的倍,则需要的最少天数等于.例 2. “数列为等比数列”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件练1.已知等比数列中，则等于A.2 B.22 C.4 D .42练2.在等比数列中，则（）A.B.C.D.【知识点二：等比数列的通项公式】1等比数列的通项公式(1)若一个等比数列的首项为，公比为，则其通项公式为知识拓展在已知和的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项在已知等比数列中任意两项的前提下使用以可求等比数列中任意一项用函数的观点看等比数列的通项：等比数列的通项公式可以改写为.当，且时，因为是指一个指数函数，所

15、以是一个不为的常数与指数函数的积，因此等比数列的图象是函数的图象上的一群孤立的点（2）用方程的观点看通项公式在中，知三可求一2.等比中项如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项且，即.温馨提示（1）同号非零两数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数（2）一个等比数列从第项起，每一项（有穷等比数列末项除外）是前一项与后一项的等比中项【典型例题】考点一：等比数列通项公式例1.若是等比数列,且公比,则.例2.成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、后成为等比数列中的、，则数列的通项公式为A.B.C.D.练1.已知数列是各项均为正数的等比数列，若， ，则an等于（）

16、A.B.C.D.练2.已知是等比数列()的前项和，若，公比，则数列的通项公式_练3.已知数列是等差数列，公差，成等比数列，则数列的公差等于_。考点二：等比中项例1已知,成等比数列,且,则.练1.若数列满足：，则与的等比中项为A B C D练2.在公差为d(d0)的等差数列an中，a1=-1,且a2，a4，a12成等比数列，则d=.练3.设等比数列的前项和为若，成等差数列，则数列的公比为【知识点三：求解等比数列前项和】1. 等比数列的求和公式已知等比数列的首项为，公比为，前项和为，则有或2. 等比数列前项和公式与函数的关系当公比时，等比数列的前项和可变形为.设,上式可化简为.由此可见，非常数列的

17、等比数列的前项和是一个指数型函数当公比时，因为，所以是的正比例函数温馨提示当时，是函数的图象上一群孤立的点的纵坐标；当时，是正比例函数 图象上一群孤立的点的纵坐标当等比数列的公比不是一个常数，而是一个字母或一个代数式时要讨论公比是否等于1考点一：等比数列前项和例1.已知数列满足，（，则的前项和为_.练1.已知为等比数列，那么的公比为_，数列的前项和为_练2. 若等比数列满足,则公比;前项和_.练3设等比数列的前n项和为，若，则下列式子中的数值不能确定的是ABCD例2中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔

18、细算相还.”其大意为:“有一个人走里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为A里B里C里D里练1.复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；如此对开至规格.现有纸各一张.若纸的幅宽为，则纸的面积为_，这张纸的面积之和等于_.【知识点四：等比数列性质及应用】等比数列常用性质：1.若为等比数列，且时，则若时，则2.若为等比数列，则为等比数列.3.若等比数列共有项，则；若等比数列共

19、有项，则.4.等差数列单调性由共同决定.考点一：等比数列综合性质例1.已知等比数列的各项均为正数，且，则ABCD练1设等比数列满足，则的最大值为_练2.已知是各项均为正数的等比数列，则的通项公式 ；设数列的前项和为，则 练3.设为等比数列的前项之积，且，则公比_；当最大时,_例2. 设等比数列的公比,前n项和为,则.例3.已知是各项均为正数的等比数列,成等差数列，则ABC或D或练1.已知等比数列的前项和为,则下列结论中一定成立的A若,则B若,则C若,则D若,则例4.已知是等比数列，为其前项和，那么“”是“数列为递增数列”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件

20、练1.已知为等比数列,则“”是“数列为递减数列”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件练2.已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为_例5设无穷等比数列的前项和为，若，则A为递减数列B为递增数列C数列有最大项D数列有最小项练1记为等比数列的前n项和已知，则数列 A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项【小试牛刀】1.若等差数列的前项和为，且，则的值为（ ）A. 21B. 63C. 13D. 842. 已知等比数列为递增数列,是其前项和.若,则ABCD3. 成等差数列的三个正数和等于,并且这三个数分别加上后成为等比数列

21、中的,则数列的通项公式为ABCD4.设为等比数列,则“对于任意的,”是“为递增数列”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5.已知数列的前项和，则A3BCD6.已知等差数列的公差为，若，成等比数列，则= ；数列的前项和的最小值为 【巩固练习基础篇】1. 已知为无穷等比数列,且公比,记为的前项和,则下面结论正确的是ABC是递增数列 D存在最小值2. 已知等比数列中,则ABCD3. 在等比数列中,且,则.4. 等比数列满足如下条件:;数列的前项和.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式5.已知为无穷等比数列,且公比,记为的前项和,则下面结论正确的是ABC是递

22、增数列 D存在最小值6.已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于A.B.C.D.7.已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式 _8.已知数列an为等比数列，且an0，数列bn满足bn若b14，b23（）求数列an的通项公式；（）设数列bn+m前n项和为Sn，若当且仅当n5时，Sn取得最大值，求实数m的取值范围【巩固练习提高篇】1.已知等比数列的公比，则下面说法中不正确的是A.是等比数 B.对于，C.对于，都有 D.若，则对于任意，都有2.设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为若对，有，则的取值范围是（）A. B. C. D. 3. 设是定义在上不为零的函数，对任意，都，若，则数列的前项和是 . 4.已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中 都是大于的正整数，且，那么；若对于任意的，总存在，使得成立，则5.设数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件40宝剑锋从磨砺出！