2021年山东省中考一轮复习数学专题ppt课件6.2　图形的相似.ppt

1、 中考数学（山东专用）第六章 空间与图形6.2图形的相似A组20162020年山东中考题组考点一比例线段及性质1.(2020临沂,18,3分)如图,在ABC中,D、E为边AB的三等分点,EFDGAC,H为AF与DG的交点.若AC=6,则DH=.答案答案1解析解析D、E为边AB的三等分点,EFDGAC,BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF,AB=3BE,DH是AEF的中位线,DH=EF,EFAC,BEFBAC,=,即=,解得EF=2,DH=EF=2=1.12EFACBEAB6EF3BEBE1212思路分析思路分析由D、E为边AB的三等分点与平行线分线段成比例定理得出BE=DE=AD,B

2、F=GF=CG,AH=HF,所以DH是AEF的中位线,易证BEFBAC,得=,解得EF=2,则DH=EF=1.EFACBEAB122.(2017临沂,16,3分)如图,已知ABCD,AD与BC相交于点O.若=,AD=10,则AO=.BOOC23答案答案4解析解析根据平行线分线段成比例定理得=,即=,解得AO=4.AOODBOOC2310-AOAO233.(2016临沂,17,3分)如图,在ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,DEBC,EFAB.若AB=8,BD=3,BF=4,则FC的长为.答案答案125解析解析由已知易得AD=AB-BD=8-3=5.由DEBC得=,由EFAB得=,

3、=,即=,解得BC=,FC=BC-BF=-4=.ADABAEACAEACBFBCADABBFBC584BC325325125一题多解一题多解本题也可以先证明ADEEFC,得出比例式,然后证明四边形BDEF是平行四边形,得出EF的长,最后将相关数据代入比例式求出FC的长.考点二相似三角形的判定与性质1.(2020济宁,15,3分)如图,在四边形ABCD中,以AB为直径的半圆O经过点C,D.AC与BD相交于点E,CD2=CECA,分别延长AB,DC相交于点P,PB=BO,CD=2,则BO的长是.2答案答案4解析解析连接OC,CD2=CECA,=,又DCE=ACD,CDECAD,CAD=CDE,CA

4、D=CBD,CDB=CBD,BC=DC.CDCECADC设O的半径为r,CD=CB,=,BAC=DAC,BAD=2BAC,又BOC=2BAC,BOC=BAD,OCAD,=2,PC=2CD=4,易知PCB=PAD,又CPB=APD,PCBPAD,CDCBPCCDPOOA2rr2=,即=,r=4,即BO的长是4.PCPAPBPD4 23r6 2r思路分析思路分析连接OC,由CD2=CECA和ACD=DCE,可得CADCDE,于是得到CAD=CDE,再根据圆周角定理得CAD=CBD,所以CDB=CBD,再利用等腰三角形的判定可得BC=DC,设O的半径为r,先证明OCAD,利用平行线分线段成比例定理得

5、到=2,则PC=2CD=4,然后证明PCBPAD,利用相似比得=,即可计算.PCCDPOOA24 23r6 2r方法指导方法指导相似三角形的判定一直是中考的重点,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角等隐含条件,充分发挥基本图形的作用.寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形,或依据基本图形对图形进行分解、组合,或作辅助线构造相似三角形;判定三角形相似的方法有时可单独使用,有时需要综合运用,无论是单独使用还是综合运用,都要具备应有的条件方可.2.(2018泰安,18,3分)九章算术是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出

6、东门十五步有木,问:出南门几步而见木?”用今天的话说,大意是:如图,DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上).请你计算KC的长为步.答案答案20003解析解析由题意,可得RtCDKRtDAH,则=,又DH=DG=100步,KD=DE=100步,AH=15步,=,解得KC=步.KCDHKDAH1212100KC10015200033.(2017济宁,22,11分)定义:点P是ABC内部或边上的点(顶点除外),在PAB,PBC,PCA中,若至

7、少有一个三角形与ABC相似,则称点P是ABC的自相似点.例如:如图1,点P在ABC的内部,PBC=A,PCB=ABC,则BCPABC,故点P为ABC的自相似点.请你运用所学知识,结合上述材料,解决下列问题:在平面直角坐标系中,点M是曲线C:y=(x0)上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点.(1)如图2,点P是OM上一点,ONP=M,试说明点P是MON的自相似点;当点M的坐标是(,3),点N的坐标是(,0)时,求点P的坐标;(2)如图3,当点M的坐标是(3,),点N的坐标是(2,0)时,求MON的自相似点的坐标;(3)是否存在点M和点N,使MON无自相似点?若存在,请直接写出这两点的坐标;

8、若不存在,请说明理由.3 3x333解析解析(1)在ONP和OMN中,ONP=OMN,NOP=MON,ONPOMN.点P是MON的自相似点.由题意知MNx轴.过点P作PDx轴于点D.tanPOD=tanMON=.MON=60.ONPOMN,OPN=90.在RtOPN中,OP=ONcos60=.在RtPOD中,OD=OPcos60=,PD=OPsin60=,P.(2)如图,过点M作MHx轴于点H,MNON3323212343232343 3,44M(3,),N(2,0),MH=,OH=3,NH=1,直线OM的表达式为y=x,ON=2.MN=2,OM=2.P1是MON的自相似点,P1ONNOM.=

9、,即=,P1O=P1N=.333331PONOONOM1PNNM12PO22 312PN2 33过点P1作P1Qx轴于点Q,OQ=ON=1.P1的横坐标为1,P1的纵坐标为1=.P1.如图,过点N作NP2x轴,交OM于点P2,P2NMNOM,12333331,3=,P2N=P2M=.OP2=,在P2ON中,O=ON2+P2N2,P2ON是直角三角形,且P2NO=90,P2的纵坐标为,=x,x=2,P2.综上所述,自相似点的坐标为或.(3)存在.M(,3),N(2,0).2PMNM2PNONMNMO2 334 3322P2 332 33332 32,331,32 32,333方法指导方法指导本题

10、主要考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、反比例函数,解决此类问题的关键是会根据有关概念、性质熟练地运用数形结合思想.解后反思解后反思新定义型试题的求解,关键是先通过材料掌握概念,然后运用这种概念解决与此有关的问题.此类问题出错的原因是材料较长,学生在有限的时间内掌握不了新定义的内涵,无法用它解决有关问题.考点三位似1.(2018潍坊,8,3分)在平面直角坐标系中,点P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把AOB放大到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为()A.(2m,2n)B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.D.或11,22mn11,22mn11-,-22mn方法规律方法规律

11、位似图形是特殊的相似图形,它有以下性质:(1)任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比;(2)当以坐标原点为位似中心时,若原图形上点的坐标为(x,y),位似图形与原图形的相似比为k,则位似图形上的对应点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).答案答案B当放大后的AOB与AOB在原点O同侧时,点P的对应点的坐标为(2m,2n),当放大后的AOB与AOB在原点O两侧时,点P的对应点的坐标为(-2m,-2n),故选B.2.(2019烟台,15,3分)如图,在直角坐标系中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,ABO的顶点坐标分别为A(-2,-1),B(-2,-3),O(0,0).A1B1O1

12、的顶点坐标分别为A1(1,-1),B1(1,-5),O1(5,1).ABO与A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形,则P点的坐标为.答案答案(-5,-1)解析解析借助网格.任意两对对应点连线的交点为(-5,-1),即位似中心P的坐标为(-5,-1).一题多解一题多解设P点的坐标为(x,y).直线AA1平行于x轴,y=-1.又AB平行于A1B1,PA PA1=AB A1B1=2 4=1 2.PA=3,x=-3-2=-5,即P点的坐标为(-5,-1).3.(2017滨州,15,4分)在平面直角坐标系中,点C、D的坐标分别为C(2,3)、D(1,0).现以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB

13、,若点D的对应点B在x轴上且OB=2,则点C的对应点A的坐标为.答案答案(4,6)或(-4,-6)解析解析OB=2,B在x轴上,点B的坐标为(2,0)或(-2,0).CD与AB关于原点位似,点D的对应点为点B,D(1,0),AB与CD的位似比为2或-2.点C的对应点为点A,C(2,3),A的坐标为(4,6)或(-4,-6).思路分析思路分析根据OB长确定B点的坐标,从而求出两图形的位似比k,然后根据C点的坐标求得A点的坐标.易错警示易错警示本题易漏掉点B在x轴负半轴上的情况,导致结果漏掉一个.B组20162020年全国中考题组考点一比例线段及性质1.(2020辽宁营口,6,3分)如图,在ABC

14、中,DEAB,且=,则的值为()A.B.C.D.CDBD32CECA35234532答案答案A=,设CD=3x,BD=2x(x0).DEAB,=.故选A.CDBD32CECACDCB332xxx352.(2020四川成都,9,3分)如图,直线l1l2l3,直线AC和DF被l1,l2,l3所截,AB=5,BC=6,EF=4,则DE的长为()A.2B.3C.4D.103答案答案Dl1l2l3,由平行线分线段成比例可得=,AB=5,BC=6,EF=4,=,DE=4=,故选D.DEEFABBC4DE56561033.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,D

15、EBC,点F为BC边上一点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是()A.=B.=C.=D.=ADABAEECAGGFAEBDBDADCEAEAGAFACEC答案答案C根据平行线分线段成比例定理可知=,=,=,=,所以选项A、B、D错误,选项C正确.故选C.ADABAEACAGGFAEECBDADCEAEAGAFAEAC4.(2019四川雅安,7,3分)若a b=3 4,且a+b=14,则2a-b的值是()A.4B.2C.20D.14答案答案A根据比例的性质易得3b=4a,所以b=,代入a+b=14中,得a=6,b=8,所以2a-b=4.43a考点二相似三角形的判定与性质1.(2020

16、山西,5,3分)泰勒斯是古希腊时期的思想家,科学家,哲学家,他最早提出了命题的证明,泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长,标杆的高度,金字塔的影长,推算出金字塔的高度,这种测量原理,就是我们所学的()A.图形的平移B.图形的旋转C.图形的轴对称D.图形的相似答案答案D根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例,得到两个三角形相似,进而推算出金字塔的高度,测量原理是图形的相似.故选D.2.(2020云南,11,4分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则DEO与BCD的面积的比等于()A.B.C.D.12141618答案答案B在 ABCD中,BO=D

17、O,E是CD的中点,OEBC,OE=BC,DOEDBC,=.故选B.12DEOBCDSS2OEBC143.(2019重庆A卷,3,4分)如图,ABOCDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是()A.2B.3C.4D.5答案答案CABOCDO,=.OB=6,OD=3,CD=2,=,AB=4,故选C.ABCDOBOD2AB634.(2018重庆A卷,5,4分)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为()A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm答案答案C设所求最长边为xcm,由题意知两个三角形

18、相似,根据相似三角形的三边对应成比例,可列等式=,解得x=4.5,故选C.52.59x5.(2019甘肃定西,5,3分)如图,将图形用放大镜放大,应该属于()A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换答案答案B根据相似图形的定义知,用放大镜将图形放大,图形的形状相同,大小不相同,所以属于相似变换.6.(2020吉林,13,3分)如图,在ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点.若ADE的面积为,则四边形DBCE的面积为.12答案答案32解析解析D,E分别是边AB,AC的中点,DE是ABC的中位线,DEBC,DE=BC,ADEABC,=.SADE=,SABC=2,四边形DBCE的面积为2-

19、=.12ADEABCSS22DEBC141212327.(2018湖南邵阳,12,3分)如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF,写出图中任意一对相似三角形.答案答案ADFECF(答案不唯一)解析解析四边形ABCD为平行四边形,ADCE,DAF=E,D=FCE,ADFECF.8.(2019陕西,24,10分)在平面直角坐标系中,已知抛物线L:y=ax2+(c-a)x+c经过点A(-3,0)和点B(0,-6),L关于原点O对称的抛物线为L.(1)求抛物线L的表达式;(2)点P在抛物线L上,且位于第一象限,过点P作PDy轴,垂足为D.若POD与AOB

20、相似,求符合条件的点P的坐标.解析解析(1)由题意,得解之,得L:y=-x2-5x-6.(2分)(2)点A、B在L上的对应点分别为A(3,0)、B(0,6),设抛物线L的表达式为y=x2+bx+6.将A(3,0)代入y=x2+bx+6,得b=-5.抛物线L的表达式为y=x2-5x+6.(4分)A(-3,0),B(0,-6),AO=3,OB=6.设P(m,m2-5m+6)(m0).PDy轴,点D的坐标为(0,m2-5m+6).PD=m,OD=m2-5m+6.9-3(-)0,-6.ac acc-1,-6.acRtPOD与RtAOB相似,=或=.(6分)当=,即=时,解之,得m1=1,m2=6.P1

21、(1,2),P2(6,12).当=,即=时,解之,得m3=,m4=4.P3,P4(4,2).P1、P2、P3、P4均在第一象限,符合条件的点P的坐标为(1,2)或(6,12)或或(4,2).(10分)PDAOODBOPDBOODAOPDAOODBO3m2-566mm PDBOODAO6m2-563mm 323 3,2 43 3,2 4思路分析思路分析(1)把点A和点B的坐标代入抛物线表达式,求出a,c的值即可求得抛物线的表达式;(2)首先求出抛物线L的表达式,设点P的坐标为(m,m2-5m+6),得点D的坐标为(0,m2-5m+6),根据RtPOD与RtAOB相似,分两种情况列出比例式,求出m

22、的值,进而得出点P的坐标.考点三位似1.(2020重庆A卷,8,4分)如图,在平面直角坐标系中,ABC的顶点坐标分别是A(1,2),B(1,1),C(3,1),以原点为位似中心,在原点的同侧画DEF,使DEF与ABC成位似图形,且相似比为2 1,则线段DF的长度为()A.B.2C.4D.255答案答案D由题可知:AB=1,BC=2,AC=,因为DEF与ABC成位似图形,且相似比为2 1,则DF=2AC=2,故选D.22ABBC2212552.(2018湖南邵阳,8,3分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作ABx轴于点B.将AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的,得到

23、COD,则CD的长度是()A.2B.1C.4D.2125答案答案A根据位似图形的性质,可得=,因为AB=4,所以CD=2.故选A.CDAB123.(2018辽宁抚顺,17,3分)如图,AOB三个顶点的坐标分别为A(8,0),O(0,0),B(8,-6),点M为OB的中点,以点O为位似中心,把AOB缩小为原来的,得到AOB,点M为OB的中点,则MM的长为.12答案答案2.5或7.5解析解析由A,B,O三点坐标知AOB为直角三角形,由勾股定理得OB=10,因为M为OB的中点,所以OM=5,由题意及位似图形的性质可知位似图形可以与原图形在位似中心同一侧或异侧,当位似图形与原图形在位似中心的同侧时,点

24、B与点M重合,点M为OB的中点,所以OM=2.5,所以MM=5-2.5=2.5;当位似图形与原图形在位似中心的异侧时,MM=5+2.5=7.5,所以MM的长为2.5或7.5.4.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,=,则=.OEOA35FGBC答案答案35解析解析四边形ABCD与四边形EFGH位似,OEFOAB,OFGOBC,=,=.OFOBOEOA35FGBCOFOB355.(2020宁夏,17,6分)在平面直角坐标系中,ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1).(1)画出ABC关于x轴成轴对称的A1B1C1;

25、(2)画出ABC以点O为位似中心,位似比为1 2的A2B2C2.解析解析(1)正确画出A1B1C1如图.(2)正确画出A2B2C2如图.C组教师专用题组考点一比例线段及性质1.(2020潍坊,7,3分)如图,点E是 ABCD的边AD上的一点,且=,连接BE并延长交CD的延长线于点F.若DE=3,DF=4,则 ABCD的周长为()A.21B.28C.34D.42DEAE12答案答案C=,DE=3,AE=6,AD=AE+DE=6+3=9.四边形ABCD是平行四边形,ABCF,=,AB=8,ABCD的周长=2(AD+AB)=2(9+8)=34.DEAE12DEAEDFAB2.(2017甘肃兰州,1,

26、4分)已知2x=3y(y0),则下列结论成立的是()A.=B.=C.=D.=xy323x2yxy232x3y答案答案A在等式左右两边同时除以2y(y0),可得=,故选A.xy323.(2018临沂,6,3分)如图,利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m,BC=12.4m.则建筑物CD的高是()A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m答案答案B由题意知BECD,ABEACD,=,即=,解得CD=10.5m.BECDABAC1.2CD1.61.6 12.44.(2019四川凉山州,10,4分)如图,在ABC中,D在AC边上,AD DC=1 2,O是BD的

27、中点,连接AO并延长交BC于E,则BE EC=()A.1 2B.1 3C.1 4D.2 3答案答案B过O作OGBC,交AC于G,易知G是DC的中点.又AD DC=1 2,AD=DG=GC,AG GC=2 1,AO OE=2 1,SAOB SBOE=2 1,设SBOE=S,则SAOB=2S,BO=OD,SAOD=2S,SABD=4S,AD DC=1 2,SBDC=2SABD=8S,S四边形CDOE=7S,SAEC=9S,SABE=3S,=,即BE EC=1 3.BEECABEAECSS39SS135.(2018四川成都,13,4分)已知=,且a+b-2c=6,则a的值为.6a5b4c答案答案12

28、解析解析设=k(k0),则a=6k,b=5k,c=4k,a+b-2c=6,6k+5k-8k=6.解得k=2.a=6k=12.6a5b4c6.(2020吉林,12,3分)如图,ABCDEF.若=,BD=5,则DF=.ACCE12答案答案10解析解析ABCDEF,=.=,BD=5,DF=10.ACCEBDDFACCE12考点二相似三角形的判定与性质1.(2019甘肃兰州,8,4分)已知ABCABC,AB=8,AB=6,则=()A.2B.C.3D.BCBC43169答案答案B由相似三角形的性质可得=,故选B.BCBC ABAB86432.(2018湖北荆门,6,3分)如图,四边形ABCD为平行四边形

29、,E,F为CD边的两个三等分点,连接AF,BE交于点G,则SEFG SABG=()A.1 3B.3 1C.1 9D.9 1答案答案C四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,ABCD.E,F为CD边的两个三等分点,EF=CD=AB.由ABCD可知EFGBAG,SEFG SABG=(EF AB)2=1 9.故选C.13132133.(2020陕西,8,3分)如图,在 ABCD中,AB=5,BC=8.E是边BC的中点,F是 ABCD内一点,且BFC=90.连接AF并延长,交CD于点G.若EFAB,则DG的长为()A.B.C.3D.25232答案答案D延长EF交AD于H.EFAB,ABCD,EHCD,

30、AHF=D,AH=HD.DAG=HAF,AFHAGD.=.BFC=90,E为BC的中点,EF=BE=EC=BC=4.由题意易得四边形ABEH为平行四边形,AB=EH=5,AH=BE=BC,HF=EH-EF=5-4=1.又AH=HD,AH=AD,DG=2FH=2.故选D.AHADFHDG121212解后反思解后反思已知直角+斜边中点,联想到斜边上的中线等于斜边的一半.由两直线平行可知角之间的关系,联想到相似三角形.4.(2020云南昆明,14,4分)在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图,ABC是格点三角形,在图中的66正方形网格中作出格点三角形AD

31、E(不含ABC),使得ADEABC(同一位置的格点三角形ADE只算一个),这样的格点三角形一共有()A.4个B.5个C.6个D.7个答案答案C如图的6个三角形和ABC相似,其中相似比为1 2的三角形有4个,相似比为 2的三角形有2个,故选C.2思路分析思路分析ABC是等腰三角形,三边长分别为2,2,2,所以新的三角形也是等腰三角形,观察图形,由三角形的中位线,易得有4个和ABC相似比为1 2的三角形;由BC=2,可以得到2个和ABC相似比为 2的三角形.552225.(2020威海,17,3分)如图,点C在AOB的内部,OCA=OCB,OCA与AOB互补.若AC=1.5,BC=2,则OC=.答

32、案答案3解析解析OCA=OCB,OCA与AOB互补,OCA+AOB=180,OCB+AOB=180,OCA+COA+OAC=180,OCB+OBC+COB=180,AOB=COA+OAC,AOB=OBC+COB,AOC=OBC,COB=OAC,ACOOCB,=,OC2=21.5=3,OC=.OCACBCOC36.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90.(1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN;(2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC=,求tanC的值;(3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=

33、90,sinBAC=,=,直接写出tanCEB的值.2 5535ADAC25解析解析(1)证明:M=N=ABC=90,MAB+MBA=NBC+MBA=90,MAB=NBC,ABMBCN.(2)如图,过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N,则PMNAPB.=tanPAC=,设PN=2t,则AB=t.BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C,MPC=C,CN=PN=2t.易得ABPCBA,PNABPMAP2 555AB2=BPBC,(t)2=BP(BP+4t),BP=t,BC=5t,tanC=.(3)在RtABC中,sinBAC=,tanBAC=.555BCAC35BC

34、AB34过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H,DEB=90,CHAGDE,=,同(1)的方法得,ABGBCH,=,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n,AB=AE,AGBE,EG=BG=4m,=,n=2m,GHEGACAD52BGCHAGBHABBC43GHEG434mnm52EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在RtCEH中,tanCEB=.CHEH314思路分析思路分析(1)利用同角的余角相等判断出MAB=NBC,即可得出结论;(2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,得出=,设PN=

35、2t,则AB=t,再判断出ABPCBA,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论;(3)作AGBE,CHBE,先判断出=,同(1)的方法得,ABGBCH,所以=,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.PNABPMAP2 555GHEGACAD52BGCHAGBHABBC437.(2020枣庄,24,10分)在ABC中,ACB=90,CD是中线,AC=BC,一个以点D为顶点的45角绕点D旋转,使角的两边分别与AC、BC的延长线相交,交点分别为点E、F,DF与AC交于点M,DE与BC交于点N.(1)如图1,若

36、CE=CF,求证:DE=DF;(2)如图2,在EDF绕点D旋转的过程中,试证明CD2=CECF恒成立;(3)若CD=2,CF=,求DN的长.2解析解析(1)证明:ACB=90,AC=BC,CD是中线,ACD=BCD=45,ACF=BCE=90,DCF=DCE=135,在DCF和DCE中,DCF DCE(SAS),DE=DF.(2)证明:DCF=135,F+CDF=45,FDE=45,CFCEDCFDCEDCDC CDE+CDF=45,F=CDE,DCF=DCE,FCDDCE,=,CD2=CECF.(3)过点D作DGBC于G,DCB=45,GC=GD=CD=,CFCDCDCE222由(2)可知,

37、CD2=CECF,CE=2,ECN=DGN=90,ENC=DNG,ENCDNG,=,即=,解得NG=,由勾股定理得,DN=.2CDCF2CNNGCEDG2-NGNG2 222322DGNG2 53思路分析思路分析(1)根据等腰直角三角形的性质得到ACD=BCD=45,证明DCF DCE,根据全等三角形的对应边相等证明结论;(2)证明FCDDCE,根据相似三角形的性质列出比例式,整理即可证明结论;(3)过点D作DGBC于G,根据等腰直角三角形的性质求出DG,由(2)的结论求出CE,证明ENCDNG,根据相似三角形的性质求出NG,利用勾股定理即可计算DN的长.8.(2020江苏南京,26,9分)如

38、图,在ABC和ABC中,D、D分别是AB、AB上一点,=.(1)当=时,求证ABCABC.证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.ADAB ADAB CDCD ACAC ABAB(2)当=时,判断ABC与ABC是否相似,并说明理由.CDCD ACAC BCBC解析解析(1)=;A=A.(2)相似.理由如下:如图,过点D、D分别作DEBC、DEBC,DE交AC于点E,DE交AC于点E.DEBC,ADEABC,CDCD ACAC ADAD=.同理=.又=,=.=.同理=.=,即=.=,又=,=,DCEDCE.ADABDEBCAEAC ADAB DEBC AEACADAB ADABDEBC

39、 DEBC DEDE BCBCAEAC AEAC-AC AEAC-AC AEACECAC ECAC ECEC ACAC CDCD ACAC BCBC CDCD DEDE ECECCED=CED.DEBC,CED+ACB=180.同理CED+ACB=180,ACB=ACB.又=,ABCABC.ACAC BCBC评析评析本题考查相似三角形的性质和判定,添加平行线,构造相似三角形即可解决本题,是一道中档题.考点三位似1.(2020河北,8,3分)在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是()A.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边形NHMQD.四边形NHMR答案答案A根据“

40、两个位似图形一定是相似图形”以及四边形ABCD是菱形可知选A.2.(2018贵州毕节,11,3分)在平面直角坐标系中,OAB各顶点的坐标分别为:O(0,0),A(1,2),B(0,3),以O为位似中心,OAB与OAB位似,若B点的对应点B的坐标为(0,-6),则A点的对应点A的坐标为()A.(-2,-4)B.(-4,-2)C.(-1,-4)D.(1,-4)答案答案A由题意可知,OAB与OAB关于原点O是反向位似变换,相似比是-2,所以A的坐标为(-2,-4).故选A.3.(2017四川凉山州,21,8分)如图,在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系,已知ABC三个顶点分别为A(-1,2)、

41、B(2,1)、C(4,5).(1)画出ABC关于x轴对称的A1B1C1;(2)以原点O为位似中心,在x轴的上方画出A2B2C2,使A2B2C2与ABC位似,且位似比为2,并求出A2B2C2的面积.解析解析(1)如图所示,A1B1C1即为所求作的三角形.(2)如图所示,A2B2C2即为所求作的三角形.SABC=45-13-24-35=7,121212A2B2C2ABC,且相似比为2,SABC=4,=47=28.222A B CS222A B CSA组20182020年模拟基础题组时间:35分钟分值:40分一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2020临沂兰山模拟,13)如图,正五边形FGHMN

42、是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的,若AB FG=2 3,则下列结论正确的是()A.2DE=3MNB.3DE=2MN C.3A=2FD.2A=3F答案答案B正五边形FGHMN和正五边形ABCDE位似,DE MN=AB FG=2 3,A=F,3DE=2MN.2.(2020菏泽东明一模,7)如图,ABC中,AC=6,AB=4,点D与点A在直线BC的同侧,且ACD=ABC,CD=2,点E是线段BC延长线上的动点,当DCE和ABC相似时,线段CE的长为()A.3B.C.3或D.4或434334答案答案CDCE和ABC相似,ACD=ABC,AC=6,AB=4,CD=2,A=DCE,=或=,即=或=

43、,解得CE=3或CE=.ABCDACCEABCEACCD426CE4CE6243易错警示易错警示本题易错的地方是忽视此题有两种情况,导致漏解.3.(2019济南外国语学校阶段测试,11)如图,在ABC中,点D、E分别在AB、AC上,DEBC,若AD=2,DB=1,ADE、ABC的面积分别为S1、S2,则的值为()A.B.C.D.212SS231249答案答案CDEBC,ADEABC,=.12SS2ADAB49思路分析思路分析根据相似三角形的判定定理得到ADEABC,根据相似三角形的性质计算即可.4.(2019聊城东阿二中模拟,5)如图,已知点E、F分别是ABC的边AB、AC上的点,且EFBC,

44、点D是BC边上的点,AD与EF交于点H,则下列结论中错误的是()A.=B.=C.=D.=AEABAHADAEABEHHFAEABEFBCAEABHFCD答案答案BEFBC,=,=,=,选项A,C,D中结论正确,故选B.AEABAHADAEABEFBCAEABAFACHFCD5.(2020淄博沂源一模,11)如图,在ABC中,D为AC边上一点,DBC=A,BC=,AC=3,则CD的长为()A.1B.C.2D.63252答案答案CDBC=A,C=C,CBDCAB,=,即=,CD=2.CDCBCBCA6CD63思路分析思路分析由题中条件可证明CBDCAB,可得到=,代入可求得CD的长.CDCBCBC

45、A6.(2020潍坊一模,6)如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图,已知圆桌面的直径为1.2m,桌面距离地面1m.若灯泡距离地面3m,则地面上阴影部分的面积为()A.0.36m2B.0.81m2C.2m2D.3.24m2答案答案B如图所示.易知AB=1.2m,FG=1m,OG=3m,由OABOCD得=,即=,得CD=1.8m,故所求面积S=0.81m2.ABCDOFOG1.2CD3-13212CD21.82二、填空题(每小题3分,共6分)7.(2020山东大学附属中学期中,16)已知=,则=.2x3y4z2-3-xy zx yz答案答案37

46、解析解析设x=2k,y=3k,z=4k(k0),则=.2-3-xy zx yz43-46-34kkkkkk37kk378.(2019济南平阴一模,16)如图,OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1 2,OCD=90,CO=CD,若B(1,0),则点C的坐标为.答案答案(1,1)解析解析易知OAB=OCD=90,AO=AB,点B的坐标为(1,0),BO=1,则AO=AB=,点A的坐标为,等腰RtOAB与等腰RtOCD是位似图形,O为位似中心,相似比为1 2,点C的坐标为(1,1).221 1,2 2三、解答题(共16分)9.(2019滨州无棣一模,22)如图,在RtABC中,C=

47、90,线段AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E.(1)求证:ADEABC;(2)当AC=8,BC=6时,求DE的长.解析解析(1)证明:DE垂直平分线段AB,AED=90,AED=C,A=A,ADEABC.(2)在RtABC中,AC=8,BC=6,AB=10.DE垂直平分线段AB,AE=5.ADEABC,=,=,DE=.DEBCAEAC6DE58154思路分析思路分析(1)由题意可知AED=C,再根据A是公共角,即可证得ADEABC;(2)利用勾股定理求得AB=10,从而得AE=5,由ADEABC,根据相似三角形的对应边成比例即可求得DE的长.10.(2020临沂兰山期末,21)如图,在

48、等边三角形ABC中,点D,E分别在BC,AB上,且ADE=60.求证:ADCDEB.证明证明ABC是等边三角形,B=C=60,ADB=CAD+C=CAD+60,ADE=60,ADB=BDE+60,CAD=BDE,ADCDEB.B组20182020年模拟提升题组时间:50分钟分值:60分一、选择题(共3分)1.(2019东营校级期末,6)如图,在ABC中,中线BE、CD相交于点O,连接DE,有下列结论:=;=;=;=.其中正确的是()A.B.C.D.DEBC12DOECOBSS12ADABOEOBODEADCSS13答案答案BBE、CD是ABC的中线,即D、E分别是AB和AC的中点,DE是ABC

49、的中位线,DEBC,DE=BC,即=,DOECOB,=,=,故正确,错误,正确;设ABC的BC边上的高为AF,则SABC=BCAF,SADC=SABC=BCAF,12DEBC12DOECOBSS2DEBC21214OEOBDEBCADAB12121214ODE中,DE=BC,DE边上的高是AF=AF,SODE=BCAF=BCAF,=,故错误.故正确的是.12121316121216124ODEADCSS12414BC AFBC AF16二、填空题(共3分)2.(2020临沂蒙阴二模,15)如图,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,ABCD,AB=1.5m,CD=4.5m,点P到

50、CD的距离为2.7m,则AB与CD间的距离是m.答案答案1.8解析解析过点P作AB和CD的垂线,分别交AB,CD于点E,F,因为ABCD,所以PABPCD,所以=,因为PF=2.7m,所以PE=0.9m,所以EF=PF-PE=1.8m,即AB与CD间的距离是1.8m.PEPFABCD13三、解答题(共54分)3.(2019枣庄二模,24)如图1,ABCD中,点E是AB的中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点F.(1)求证:ADE BFE;(2)如图2,点G是边BC上任意一点(点G不与点B、C重合),连接AG,交DF于点H,连接HC,过点A作AKHC,交DF于点K.求证:HC=2AK;当点G是