1、将军饮马问题饮马问题是线段和差最值问题中最基本的解题模式,同学们在学完轴对称的有关知识后就可以进行处理.一般命题人会在对称图形中进行出题,如利用角、特殊三角形、特殊四边形、圆、抛物线、双曲线为载体.主要思想都是将多条线段通过构造对称由“折”变“直”来解决问题.基本图形点A,B是直线l外同侧两点,则P点在如图位置时使AP+BP最小P是AOB内一点,Q,R分别在边OB,OA上,则点Q,R在如图位置时,使得PQ+PR+QR(PQR的周长)最小P,Q是AOB内两定点,M,N分别在边OB,OA上,则点M,N在如图位置时,使得PQ+MQ+MN+PN(四边形PQMN的周长)最小基本图形造桥选址问题:mn,则
2、直线m,n上的点M,N,当MNm,MN=AA,MNAA且A,N,B三点共线时,使得AM+MN+BN的值最小A,B两点在直线l的同侧,点P是直线l上任意一点,则P点在如图位置时,使|PA-PB|的值最大A,B两点在直线l的异侧,P在直线l上,则P点在如图位置时,使|PA-PB|的值最大(续表)(续表)总结以上六图是常见的轴对称类最短(长)路径,其最终均需转化为两点之间,线段最短解决构图模型怎么对称,作谁的对称:作任一定点关于河(动点所在直线)的对称点;对称完后和谁相连:与另一定点相连;所求点如何确定:与河(动点所在直线)的交点即为所求.本质构造对称构图口诀:同侧化异侧,折线变直线,最值就出现.巩
3、固训练1.如图W8-1,BAC=30,M为AC上一点,AM=2,点P是AB上一动点,PQAC,垂足为点Q,则PM+PQ的最小值为.图W8-12.如图W8-2,在矩形ABCD中,AD=4,DAC=30,点P,E分别在AC,AD上,则PE+PD的最小值是.图W8-23.如图W8-3,等腰三角形ABC,AB=AC=13,BC=10,AD是底边BC上的高,点E,F分别为AD,AC边上的动点,则CE+EF的最小值为.图W8-34.如图W8-4,菱形ABCD中,AB=2,A=120,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为.图W8-4图W8-56.如图W8-6,AOB=3
4、0,OP=10,OQ=13,在边OA,OB上分别有两个动点M,N,则PN+MN+MQ的最小值为.图W8-6答案 图W8-77.如图W8-7,点P是AOB内任意一点,OP=5 cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,若PMN周长的最小值是5 cm,则AOB的度数是.答案 308.如图W8-8,四边形ABCD中,C=50,B=D=90,E,F分别是BC,DC上的动点,当AEF的周长最小时,EAF的度数为.图W8-8答案 80解析 如图,分别作A关于BC和CD的对称点A,A,连接AA,交BC于E,交CD于F,则AA长即为AEF周长的最小值.作DA延长线AH,易知DAB=130,HAA=50
5、.又EAA=EAA,FAD=A,且EAA+EAA=AEF,FAD+A=AFE,所以AEF+AFE=EAA+EAA+FAD+A=2(AAE+A)=2HAA=100,所以EAF=180-100=80.9.2018遵义如图W8-9,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为.图W8-9答案 图W8-10答案 11.如图W8-11,在边长为2的等边三角形ABC中,D为BC的中点,E是AC边上的动点,则BE+DE的最小值为.图W8-11答案 图W8-12答案 413.如图W
6、8-13,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E为边CD上一点,DE=2,点P,Q分别是AD,AC上的动点,则PE+PQ的最小值为.图W8-1314.如图W8-14,A,B两点在直线l的两侧,点A到直线l的距离AM=4,点B到直线l的距离BN=1,且MN=4,P为直线l上的动点,则|PA-PB|的最大值为.图W8-14答案 5解析 作点B关于直线l的对称点B,连接AB并延长交直线l于P.BN=BN=1,作BDAM于D,利用勾股定理求出AB=5,|PA-PB|的最大值为5.15.已知:如图W8-15,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取AB的中点M,连接MC,把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO.(1)直接写出点D的坐标.(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上.试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得|TO-TB|的值最大?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.图W8-15(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上.试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得|TO-TB|的值最大?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
