2023年九年级数学中考复习二次函数综合之存在性问题 .docx

1、 二次函数综合一、二次函数与相似三角形例；如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1/2x2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线yax2bxc的对称轴是直线x3/2，且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)直接写出点B的坐标；求抛物线的解析式(2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 练习；1.如图，直线yx+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线yx2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F（1）求抛物线的解析

2、式；（2）求证：OEAB；（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由2.如图，已知抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）(1)求此抛物线的解析式及点B的坐标；(2)设抛物线的顶点为D，连接CD、DB、CB、AC求证：AOCDCB；在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C为顶点的三角形与DCB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 3如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（2，0），B（1，0

3、），交y轴于C（0，2）（1）求二次函数的解析式；（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（4）若P为抛物线上一点，过P作PQBC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使CPQBCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由 二、二次函数与角有关的存在性问题主要包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，角相等求动点的方法主要有两种：一

4、是解直角三角形法，二是交点法例1；如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x2，点A的坐标为（1，0）（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC当PCBACB时，求点P的坐标；练习；已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴分别交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，（1）求的值；（2）点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；角2倍求动点可以转化为角相等解决，常用方法是：（1）利用角平分线转化；（2）利用等腰三角形定焦的外角转化；（3）利用直角三角形斜边中线的等腰三角形转化。例2；如

5、图1，抛物线与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足QAB=2ACO，求点Q的坐标练习；1二次函数yax2+bx+4（a0）的图象经过点A（4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PDx轴于点D（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，当DPB2B

6、CO时，求直线BP的表达式；（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由2如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C直线经过点（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由三、其他角的存在性问题1如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（2，0），B，C三点的抛物线yax2+bx+（a0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知P是抛物线对称轴

7、上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得PQE45，求点P的坐标2如图，抛物线（）过点和，点是抛物线的顶点，点是轴下方抛物线上的一点，连接，（1）求抛物线的解析式；（2）如图，当时，求点的坐标；3如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当EAB的面积等于时，求E点的坐标；（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线ymx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：ADMACM454（2022呼和浩特

8、）如图，抛物线yx2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQy轴，分别交BC、x轴于点M、N，当PMC中有某个角的度数等于OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标答案一、二次函数与相似三角形例；【答案】(1)点B的坐标为(1，0)；y1/2x23/2x2；(2)存在点M1(0，2)，M2(3，2)，

9、M3(2，3)，M4(5，18)，使得以点A，M，N为顶点的三角形与ABC相似.解；(1)对于直线y1/2x2，当x0时，y2；当y0时，x4，C(0，2)，A(4，0)，由抛物线的对称性可知：点A与点B关于直线x3/2对称，点B的坐标为(1，0)；抛物线yax2bxc过A(4，0)，B(1，0)，可设抛物线解析式为ya(x4)(x1)，又抛物线过点C(0，2)，24a，a1/2，y1/2x23/2x2 (2)在RtAOC中，易知ABCACOCBO，如图，当M点与C点重合，即M(0，2)时，MANBAC；根据抛物线的对称性，当M(3，2)时，MANABC；当点M在第四象限时，设M(n，1/2

10、n23/2n2)，则N(n，0)，MN1/2n23/2n2，ANn4，当时，MNAN，即n2n2 (n4)，整理得n22n80，解得n14(舍)，n22，M(2，3)；当时，MN2AN，即n2n22(n4)，整理得n2n200解得n14(舍)，n25，M(5，18)综上所述，存在点M1(0，2)，M2(3，2)，M3(2，3)，M4(5，18)，使得以点A，M，N为顶点的三角形与ABC相似.练习；1.解：（1）直线yx+分别交x轴、y轴于点A，B，A（3，0），B（0，），抛物线yx2+bx+c经过A（3，0），D（0，3），解得：，该抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）yx2+2x+3（

11、x1）2+4，抛物线的对称轴为直线x1，设直线AD的解析式为ykx+a，将A（3，0），D（0，3）代入，得：，解得：，直线AD的解析式为yx+3，E（1，2），G（1，0），EGO90，tanOEG，OA3，OB，AOB90，tanOAB，tanOABtanOEG，OABOEG，OEG+EOG90，OAB+EOG90，AFO90，OEAB；（3）存在A（3，0），抛物线的对称轴为直线x1，C（1，0），AC3（1）4，OAOD3，AOD90，ADOA3，设直线CD解析式为ymx+n，C（1，0），D（0，3）， 解得：，直线CD解析式为y3x+3，当AOMACD时，AOMACD，如图2，OM

12、CD，直线OM的解析式为y3x，结合抛物线的解析式为yx2+2x+3，得：3xx2+2x+3，解得：x1，x2，当AMOACD时，如图3，AM2，过点M作MGx轴于点G，则AGM90，OAD45，AGMGAMsin4522，OGOAAG321，M（1，2），设直线OM解析式为ym1x，将M（1，2）代入，得：m12，直线OM解析式为y2x，结合抛物线的解析式为yx2+2x+3，得：2xx2+2x+3，解得：x，综上所述，点P的横坐标为或2. 【答案】（1）（3，0）；（2）见解析， P1（9，0）或P2（0， -1/3）解：（1）C（0，3），抛物线解析式为y=x2+bx+3，A（1，0），1

13、b+3=0，解得b=2.抛物线的解析式为：y=x2+2x+3，令y=0，则x2+2x+3=0，解得：x1=1，x2=3，点B的坐标是（3，0）；（2）证明：作DEy轴交于点E， 可求得顶点D（1，4），OA=1，OC=OB=3，OCB=45，DE=1，EO=4，EC=1，DCE=45，故DCB=90=AOC，由勾股定理求得：CD=，BC=3，AOCDCB 存在符合条件的点P有两个：P1（9，0）或P2（0， -1/3）.1.以C为顶点的角是90时， ACO+CAO=90，CPO+OCP=90，CPO=ACO，CPO=DBC，DCB=ACP=90，PCABCD，DBC=APC，tanDBC=ta

14、nAPC，即1/3=,OP=9，P（9，0）；2.以A为顶点的角是90时， 同理可证AOPBCD，DBC=PAO，tanDBC=tanPAO，即1/3=，OP=1/3，P（0， -1/3）.综上可得：存在符合条件的点P有两个：P1（9，0）或P2（0， -1/3）.3（1）y=x2x+2；（2）N（1，2），ANC的面积有最大值为1；（3）M的坐标为（1，0）或（，0）或（-3/2，0）；（4）点P的坐标为：（1，2）或（-7/3， -10/9）（2）如图1，过N作NDy轴，交AC于D，设N（n，n2n+2），设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A（2，0）、C（0，2）代入得： ，解得：

15、，直线AC的解析式为：y=x+2，D（n，n+2），ND=（n2n+2）（n+2）=n22n，SANC=1/22n22n=n22n=（n+1）2+1，如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，解得：x=3/2，M4在x轴的负半轴上，M4（3/2，0），综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（1，0）或（1，0）或（3/2，0）.（4）存在两种情况：如图4，过C作x轴的平行线交抛物线于P1，过P1作P1QBC，此时，CP1QBCO，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称，

16、P1（1，2），如图5，由（3）知：当M（3/2，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，过P2作P2QBC，此时，CP2QBCO，易得直线CM的解析式为：y=4/3x+2，则，解得：P2（7/3，10/9），综上所述，点P的坐标为：（1，2）或（7/3，10/9） 二、二次函数与角有关的存在性问题例1；【答案】（1）y=x2-4x+3，顶点（2，-1）；（2）（，）；（3）（2，）或（2，）解：（1）对称轴为直线，点的坐标为，当时，顶点，（2）作于，交于，直线的关系式为：，（舍，（3）点旋转后的对应点为，作对称轴于，对称轴于，当在上方时，则，设，将线段绕点顺时针旋转得线段，PQP=90

17、，则PQD+PQE=90，又PQD+DPQ=90，PQE=DPQ，又PQ=PQ，PDQ=QEP=90，（AAS），恰好落在抛物线上，解得，（舍），点Q的纵坐标为；，当在上方时，作对称轴于，可知：PQP为等腰直角三角形，点Q的纵坐标为，综上：或练习；1.【答案】（1）1；（2）；解；（1），即(2)由知其对称轴为x=-1，如图，设抛物线对称轴与x轴的交点为N，则；由(1)的抛物线：，得：在中，若，则；当M在x轴上方时，在中， MN=6；同理可得，当点M在x轴下方时可得，M；故例2；【答案】（1），；（2）P（0，-4）；（3）点Q的坐标为，【详解】（1）将A（-2,0），B（4,0）代入，得，解

18、得，抛物线解析式为，当x=2时，D（2，-4）设直线AD的解析式为，将A（-2,0）D（2，-4）代入，得，解得直线AD的解析式为 （2）根据题意作图，如图，在上，当x=0时， ，AD与y轴的交点M的坐标为（0，-2），OA=OM，AOM=90，OAB=45，PEx轴，PFy轴，PEF=OAB=45，EPF=90，PF=PE，设，P在AD的下方，-2x2，当x=0时，PF有最大值为2，此时PF+PE最大，P（0，-4）；（3）在BO上截取ONOA，连接CN，过点A作AHCN，如图， 点A（-2，0），点C（0，4），OA2，OC4， ONOA，CONCOA90，OCOC，OCNOCA（SAS）

19、，ACONCO，CNAC，NCA2ACO，QAB2ACO，QABNCA，SANCANOCAHCN，AH， 如图，当点Q在AB的下方时，设AQ与y轴交于点I，QABNCA，tanNCAtanQAB，OI，点I（0，），又点A（-2，0），直线AQ解析式为：，联立方程组得：，解得：或（不合题意舍去），点Q坐标为：，当点Q在AB的上方时，同理可求直线AQ解析式为：，联立方程组得：，解得：（不合题意舍去）或，点Q坐标为：，综上所述：点Q的坐标为，练习；1解：（1）二次函数yax2+bx+4（a0）的图象经过点A（4，0），B（1，0），解得：，该二次函数的表达式为yx23x+4；（2）如图，设BP与y

20、轴交于点E，PDy轴，DPBOEB，DPB2BCO，OEB2BCO，ECBEBC，BECE，设OEa，则CE4a，BE4a，在RtBOE中，由勾股定理得：BE2OE2+OB2，(4a)2a2+12，解得：a，E(0，)，设BE所在直线表达式为ykx+e(k0)，解得：，直线BP的表达式为yx+；（3）有最大值如图，设PD与AC交于点N，过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，设直线AC表达式为ymx+n，A(4，0)，C(0，4)，解得：，直线AC表达式为yx+4，M点的坐标为（1，5），BM5，BMPN，PNQBMQ，设P(a0，a023a0+4)(4a00)，则N(a0，a0+4)，当a02

21、时，有最大值，此时，点P的坐标为(2，6)2【答案】（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）解：（1）直线经过点当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）解得该抛物线的解析式为（2）的为直角三角形，理由如下：解方程=0，则x1=1，x2=5A（1,0），B（5,0）抛物线的对称轴l为x=3APB为等腰三角形C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）OB=CO=5,即ABP=45ABP=45，APB=180-45-45=90APC=180-90=90的为直角三角形；（3）如图

22、：作ANBC于N，NHx轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，M1A=M1C，ACM1=CAM1AM1B=2ACBANB为等腰直角三角形.AH=BH=NH=2N（3，2）设AC的函数解析式为y=kx+bC(0，5),A(1，0) 解得b=5，k=-5AC的函数解析式为y=-5x+5设EM1的函数解析式为y=x+n点E的坐标为（）= +n，解得：n=EM1的函数解析式为y=x+ 解得 M1的坐标为（）；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2设M2（a，-a+5）则有：3=，解得a= -a+5= M2的坐标为（，）综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）三

23、、其他角的存在性问题1【答案】（1）yx2+x+；（2）点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，-3）【详解】（1）A（-2，0），四边形OABC是平行四边形，BC/OA，BC=OA=2，抛物线与y轴交于点B，抛物线的对称轴为直线x=1，则x1，将点A的坐标代入抛物线表达式得：04a2b+，联立得，解得，抛物线的表达式为：yx2+x+；（2）作PEQ的外接圆R，过点R作RHME于点H，PQE45，PRE90，RP=RE，PRE为等腰直角三角形，直线MD上存在唯一的点Q，R与直线MD相切，RQMD，抛物线对称轴为直线x=1，当x=1时y=3，点M坐标为（1，3），D（4，0），ME3，ED413

24、，MD=，设点P（1，2m），则PHHEHRm，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），SMEDSMRD+SMRE+SDRE，即MEEDMDRQ+EDyR+MERH，33m+4m+3m，解得m，点P坐标为（1，），ME=MD=3，MDE=45，点P与点M重合时，符合题意，即P（1，3），过点D作DFMD，交对称轴于F，则FDE=45，符合题意，EF=DE=3，点F坐标为（1，-3），点P坐标为（1，-3），综上所述：点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，-3）2【详解】（1）把点和分别代入中，得：，解得，抛物线的解析式为；（2）如图，设抛物线的对称轴与轴相交于点C，与相交于点E，顶点，对称轴

25、与轴的交点C(3，0)，OC=3， CB=，在中，在中，点E的坐标为(3，)，设直线的解析式是（），把点E (3，)代入，得：解得，直线的解析式是，解得（舍去），当时，点D的坐标为(5，)；3解：（1）对于yx+3，令yx+30，解得x6，令x0，则y3，故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），抛物线yx2+bx+c经过坐标原点，故c0，将点A的坐标代入抛物线表达式得：036+6b，解得b2，故抛物线的表达式为yx22x；则抛物线的对称轴为x3，当x3时，yx22x3，则点M的坐标为（3，3）；（2）如图1，过点E作EHy轴交AB于点H，设点E的坐标为（x，x22x），则点H（x，x+3

26、），则EAB的面积SEHB+SEHAEHOA6（x+3x2+2x），解得x1或，故点E的坐标为（1，）或（，）；（3）直线AB向下平移后过点M（3，3），故直线CM的表达式为y（x3）3x，令yx0，解得x3，故点C（3，0）；故点D作DHCM于点H，直线CM的表达式为yx，故tanMCD，则sinMCD，则DMCDsinMCD（2+3），由点D、M的坐标得，DM，则sinHMD，故HMD45DCMADMACM45，ADMACM454解：（1）将点B（4，0）和点C（0，2）代入抛物线yx2+bx+c中，则，解得：，抛物线的解析式为yx2+x+2，在yx2+x+2中，令y0得x2+x+20，解

27、得：x11，x24，A（1，0）；（2）存在y轴上一点E，使得BDE是以BD为斜边的直角三角形，理由如下：如图：点D是线段AC的中点，A（1，0），C（0，2），D（，1），设E（0，t），又B（4，0），BED90，BE2+DE2BD2，即（40）2+（0t）2+（0）2+（1t）2（4+）2+（01）2，化简得：t2t20，解得：t11，t22，E的坐标为（0，1）或（0，2）；（3）B（4，0）、C（0，2），设直线BC的解析式为ykx+2（k0），把点B（4，0）代入解析式得，4k+20，解得：k，直线BC的解析式为yx+2，设点P（m，m2+m+2），则M（m，m+2），当PCM2O

28、BC时，过点C作CFPM于点F，如图，CFPM，PMy轴，CFOB，FCMOBC，F（m，2），又PCM2OBC，PCFFCMOBC，F是线段PM的中点，2，整理得：m22m0，解得：m2或m0，点P是第一象限内抛物线上的动点，m2；CMP2OBC时，CMPBMN，BMN2OBC，即BMN2NBM，PNx轴，BMN+NBM90，即3NBM90，NBM30，OCBC，BC24，此种情况不存在；当CPM2OBC时，CMPNMB90OBC，PCM180CPMCMP1802OBC（90OBC）90OBC，PCMCMP，PCPM，（m0）2+（+m+22）2（+m+2）（m+2）2，整理得：m2+m4m3+m2m42m3+4m2，解得：m；综上所述，满足条件的点P的横坐标为2或23