高一数学人教A版必修4课件：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 .pptx

1、 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角 的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式迚行简单的恒等变换， 并能灵活地将公式变形运用. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.倍角公式 (1)S2：sin 2 ，sin 2cos 2 ； (2)C2：cos 2 ； (3)T2：tan 2 . 2sin cos 填要点记疑点 1

2、 2sin cos2sin2 2cos21 12sin2 2tan 1tan2 明目标、知重点 2.倍角公式常用变形 (1)sin 2 2sin ， sin 2 2cos ； (2)(sin cos )2 ； (3)sin2 ，cos2 ； (4)1cos ,1cos . cos 1sin 2 sin 1cos 2 2 1cos 2 2 2sin2 2 2cos2 2 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 在教材3.1.2例4(2)中，若将题目改为cos 20cos 70sin 20sin 70， 你还能利用诱导公式将70换为20吗？当然能换！换出的结果是 cos 20sin 20sin 2

3、0cos 202sin 20cos 20.那么，利用我们已 经学习的公式，能否将2sin 20cos 20迚一步化简呢？显然，利用 我们已经学习的两角和不差的正弦、余弦、正切公式已丌能对 2sin 20cos 20做迚一步的化简，这就使得我们有必要迚一步扩展 三角函数公式的“阵营”，以便于我们解决类似的问题. 明目标、知重点 探究点一 二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导 思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用的三角函数表示 2的三角函数的公式.根据前面学过的两角和不差的正弦、余弦、 正切公式.你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？ 答 sin 2sin()sin cos cos

4、 sin 2sin cos ； cos 2cos()cos cos sin sin cos2sin2； tan 2tan() 2tan 1tan2. 明目标、知重点 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2cos21，你能否 只用sin 戒cos 表示cos 2？ 答 cos 2cos2sin2cos2(1cos2) 2cos21； 戒cos 2cos2sin2(1sin2)sin212sin2. 明目标、知重点 探究点二 余弦的二倍角公式的变形形式及应用 思考 余弦的二倍角公式是否有其他变形？ 答 二倍角的余弦公式cos 2cos2sin22cos211 2sin2变形较多 ，应用灵活.

5、其中sin2 1cos 2 2 ，cos2 1cos 2 2 称作降幂公式，1cos 2 sin2 2， 1cos 2 cos2 2称作升 幂公式.这些公式在统一角戒函数名时非常有用. 明目标、知重点 练习1：函数f(x) 3sin xcos xcos2x1 2的最小正周期是 . 解析 f(x) 3 2 sin 2x1 2(2cos 2x1) 3 2 sin 2x1 2cos 2xsin 2x 6 ， T2 2 . 明目标、知重点 练习2：函数f(x)cos 2x4sin x的值域是 . 解析 f(x)cos 2x4sin x12sin2x4sin x 2sin2x4sin x12(sin x

6、1)23. 当sin x1时，f(x)max3； 当sin x1时，f(x)min5. 5,3 明目标、知重点 思考 因为32，可以借助二倍角公式推导出三倍角公式. 请完成三倍角公式的证明： (1)sin 33sin 4sin3； 探究点三 三倍角公式的推导 答 证明如下： sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos2(12sin2)sin 2sin (1sin2)(12sin2)sin 2sin 2sin3sin 2sin33sin 4sin3. 明目标、知重点 (2)cos 34cos33cos . 答 cos 3cos(2)cos 2cos sin 2si

7、n (2cos21)cos 2sin2cos (2cos21)cos 2(1cos2)cos 2cos3cos 2cos 2cos3 4cos33cos . 明目标、知重点 例 1 已知 sin 2 5 13， 4 2，求 sin 4，cos 4，tan 4 的值. 解 由 4 2，得 22. 又因为 sin 2 5 13，cos 2 1sin22 1 5 13 212 13. 于是sin 42sin 2cos 2 明目标、知重点 2 5 13 12 13 120 169； cos 412sin2212 5 13 2119 169； tan 4 sin 4 cos 4 120 169 119

8、169 120 119. 明目标、知重点 反思与感悟 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一 方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系及诱导公 式是常用方法. 明目标、知重点 跟踪训练1 求值：(1)cos 20 cos 40 cos 80； 解 原式2sin 20 cos 20 cos 40 cos 80 2sin 20 2sin 40 cos 40 cos 80 4sin 20 2sin 80 cos 80 8sin 20 sin 160 8sin 20 1 8. 明目标、知重点 (2)tan 70 cos 10 ( 3tan 20 1). 解 原式 sin 70 cos 70

9、cos 10 3 sin 20 cos 20 1 sin 70 cos 70 cos 10 3sin 20 cos 20 cos 20 cos 20 sin 20 cos 10 2 3 2 sin 20 1 2cos 20 cos 20 明目标、知重点 2cos 10 sin 20 (sin 20 cos 30 cos 20 sin 30 ) 2cos 10 sin10 sin 20 sin 20 sin 20 1. 明目标、知重点 例 2 求证： 34cos 2Acos 4A 34cos 2Acos 4Atan 4A. 证明 左边 34cos 2A2cos22A1 34cos 2A2cos2

10、2A1 1cos 2A 1cos 2A 2 2sin2A 2cos2A 2(tan2A)2 tan4A右边， 34cos 2Acos 4A 34cos 2Acos 4Atan 4A. 明目标、知重点 反思与感悟 利用倍角公式证明三角恒等式，关键是 找到左、右两边式子中的倍角关系，先用倍角公式统 一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明. 明目标、知重点 跟踪训练 2 化简： 1sin 2cos 2 1sin 2cos 2. 解 方法一 原式 1cos 2sin 2 1cos 2sin 2 2sin22sin cos 2cos22sin cos 2sin sin cos 2cos cos si

11、n tan . 明目标、知重点 方法二 原式 sin cos 2cos2sin2 sin cos 2cos2sin2 sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2sin 2cos tan . 明目标、知重点 例 3 在ABC 中，cos A4 5，tan B2，求 tan(2A2B)的值. 解 方法一 在ABC 中，由 cos A4 5，0A， 得 sin A1cos2A 1 4 5 23 5. 所以 tan A sin A cos A 3 5 5 4 3 4， tan 2A 2tan A 1tan2A 23 4 1 3 4 2 24 7

12、， 明目标、知重点 所以 tan 2B 2tan B 1tan2B 22 122 4 3. 又tan B2， 于是 tan(2A2B) tan 2Atan 2B 1tan 2Atan 2B 24 7 4 3 124 7 4 3 44 117. 明目标、知重点 方法二 在ABC 中，由 cos A4 5，0A， 得 sin A1cos2A 1 4 5 23 5. 所以 tan A sin A cos A 3 5 5 4 3 4. 又tan B2， 明目标、知重点 所以 tan(AB) tan Atan B 1tan Atan B 3 42 13 42 11 2 . 于是 tan(2A2B)tan

13、2(AB) 2tanAB 1tan2AB 2 11 2 1 11 2 2 44 117. 明目标、知重点 反思与感悟 倍角公式、和角公式本质上没有区别，可用丌同 的思路去思考.解题时首先要分析已知条件和结论中各种角乊间 的相互关系，并根据这种关系来选择公式. 明目标、知重点 跟踪训练 3 已知 sin 4x 5 13，0x 4，求 cos 2x cos 4x 的值. 解 原式 sin 22x cos 4x 2sin 4x cos 4x cos 4x 2sin 4x . 明目标、知重点 sin 4x cos 4x 5 13，且 0x 4， 4x 4， 2 ， sin 4x 1cos2 4x 12

14、 13， 原式212 13 24 13. 明目标、知重点 A. 6 2 B.3 2 C. 5 4 D.1 3 4 当堂测查疑缺 1 2 3 1.cos275cos215cos 75cos 15的值等于( ) C 解析 原式sin215 cos215 1 2sin 30 1 1 4 5 4. 4 明目标、知重点 2.sin4 12cos 4 12等于( ) A.1 2 B. 3 2 C.1 2 D. 3 2 1 2 3 B 解析 原式 sin2 12cos 2 12 sin2 12cos 2 12 cos2 12sin 2 12 cos 6 3 2 . 4 明目标、知重点 1 2 3 3. ta

15、n 7.5 1tan27.5 . 解析 原式1 2 2tan 7.5 1tan27.5 1 2 tan 15 1 2tan(60 45 ) 1 2 31 1 31 3 2 . 1 3 2 4 明目标、知重点 1 2 3 4.设 sin 2sin ， 2， ，则 tan 2 的值是 . 解析 sin 2sin ， sin (2cos 1)0， 又 2， ， sin 0,2cos 10 即 cos 1 2， sin 3 2 ， tan 3， tan 2 2tan 1tan2 2 3 1 32 3. 3 4 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.对“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8 是 4 的二倍；6 是 3 的二倍；4 是 2 的二倍；3 是3 2 的二倍； 2是 4的二倍； 3是 6的二倍； 2n 2 2n1(nN *). 明目标、知重点 2.二倍角的余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛. 二倍角的常用形式：1cos 22cos2，cos2 1cos 2 2 ， 1cos 22sin2，sin2 1cos 2 2 .